Скільки чисел можна становити з цифр

Щоб порахувати, скільки чисел можна скласти із цифр, скористайтесь нашим дуже зручним онлайн калькулятором:

Скільки унікальних чисел можна скласти із певної кількості цифр

Скільки чисел можна становити з цифр?

Кількість унікальних чисел:

Теорія

Скільки унікальних чисел P_n можна скласти з n цифр?

Для того щоб відповісти на це питання, скористаємося кількістю перестановок з комбінаторики.

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки чисел можна становити з 5 цифр.

P₅ = 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120

Відповідь: З п'яти цифр можна становити 120 різних чисел.

При цьому ми використовуємо всі 5 цифр у кожному із 120 чисел. Тобто всі числа п'ятицифрові і кожна цифра в кожному числі використовується лише один раз.

Якщо одна з цифр нуль

Якщо одна з цифр 0, То вищеописана формула не підходить. Оскільки першою цифрою серед нуль бути не може. Отже, такі варіанти перестановок слід виключити.

Формула для варіанта з нулем

приклад

Наприклад, визначимо, скільки чисел можна становити з цифр: 0,1,2,3,4.

У нас 5 цифр, одна з яких 0.

Скільки унікальних X-значних чисел можна становити з певної кількості цифр

чисел можна скласти

Кількість унікальних чисел:

Теорія

Скільки унікальних k-значних чисел можна скласти з n цифр?

Якщо цифри в числі можуть повторюватися

Якщо цифри в числі можуть повторюватися, то відповіді на запитання можна скористатися числом розміщень з повтореннями.

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки 2-х значних чисел можна скласти з 5 цифр, при тому що цифри в числі можуть повторюватися.

З п'яти цифр можна становити 25 двозначних чисел.

Якщо цифри в числі можуть повторюватися і одна з цифр нуль

Якщо серед цифр є нуль, то формула буде така:

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки тризначних чисел можна скласти із цифр: 0,1,2,3,4 (цифри в числі можуть повторюватися).

З п'яти цифр, одна з яких нуль, можна становити 100 тризначних чисел. Цифри у своїй можуть повторюватися.

Якщо цифри в числі не можуть повторюватися

Якщо цифри в числі НЕ можуть повторюватися, то відповіді на запитання можна скористатися кількістю розміщень без повторень.

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки 2-х значних чисел можна скласти з 5 цифр, при тому, що цифри в числі НЕ можуть повторюватися.

З п'яти цифр можна становити 20 двоцифрових чисел без повторень.

Якщо цифри в числі не можуть повторюватися і одна з цифр нуль

Якщо серед цифр є нуль, то формула буде така:

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки тризначних чисел можна становити з цифр: 0,1,2,3,4 (цифри в числі НЕ можуть повторюватись).

З п'яти цифр, одна з яких нуль, можна скласти 48 трицифрових чисел, якщо цифри при цьому не можуть повторюватися.

Завдання та їх вирішення

Завдання №1

Скільки шестизначних чисел можна скласти з цифр 1 2 3 5 7 9 без повторення цифр?

Для вирішення цього завдання потрібно розуміти, що нам важливо знати кількість цифр, а не які вони. Тобто в цьому випадку цифр 6.

Отже, нам треба визначити, скільки шестицифрових чисел можна скласти з 6 цифр.

Відповідь: З цифр 1 2 3 5 7 9 можна скласти 720 шестицифрових чисел без повторення цифр.

Даний приклад можна вирішити і за допомогою формули числа перестановок, так як і кількість цифр у числах, і задану кількість цифр збігаються і дорівнює 6:

P₆ = 6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Завдання №2

Скільки різних чисел можна скласти з цифр 5, 4, 7 та 0, якщо цифри у записі числа не повторюються?

Ми маємо 4 різні цифри та одна з них нуль. Число не може починатися на нуль, отже, скористаємося числом перестановок і формулою для варіанта з нулем:

Відповідь: З цифр 5 4 7 0 можна скласти 18 чисел без повторення цифр.

Інший варіант вирішення:

Нам дано 4 цифри, і в кожному з чисел ми маємо використовувати кожну з них.

Нуль не може бути першою цифрою в числі. Отже, для першої цифри числа ми можемо використовувати лише 5, 4 або 7 – лише три варіанти.

Для другої цифри серед нас також є 3 варіанти, оскільки одну цифру з чотирьох ми вже використовували.

Для третьої залишилося два варіанти, а для четвертої лише один.

Запишемо це так: 3⋅3⋅2⋅1 = 18

Ми отримали ту саму відповідь: 18 варіантів.

Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1, 2, 3

Чи правильно вирішив?
Скільки трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить до зображення числа один раз?

Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Всім привіт. Знайшов таке просте завдання: Відповідь: 72. Вирішив її тупим перебором і.

Скільки трицифрових чисел можна скласти з парних цифр
Скільки трицифрових чисел можна скласти з парних цифр, без урахування 0, так, щоб 1).

Скільки трицифрових чисел, що діляться на 3, можна становити з цифр?
Скільки трицифрових чисел, що діляться на 3, можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне.

Скільки трицифрових чисел можна становити з десяткових цифр?
Скільки трицифрових чисел можна становити з десяткових цифр, якщо кожна парна цифра в числі.

Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Скільки трицифрових чисел, кратних 3, можна становити з цифр 1,2,3,4,5,6, якщо цифри у підсумковому числі можуть повторюватися?

Вирішив її тупим перебором та підрахунком усіх можливих варіантів (спочатку всі цифри різні, потім дві, потім 3 і склав усі).
Але на це йде достатня кількість часу та терпіння

Питання: чи є формула чи спосіб якнайшвидше вирішити це завдання? Фактично потрібно знайти всі набори цифр, сума яких ділиться на 3. Чи можна вирішити узагальнений варіант (приблизний): скільки підмножин розміром k можна скласти з безлічі чисел розміром nщоб сума чисел у кожному підмножині ділилася націло на q?

Скільки трицифрових чисел, що діляться на 3, можна становити з цифр?
Скільки трицифрових чисел, що діляться на 3, можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне.

Скільки трицифрових чисел можна скласти з парних цифр
Скільки трицифрових чисел можна скласти з парних цифр, без урахування 0, так, щоб 1).

Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (числа повторюються)
Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 за умови, що.

Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (числа не повторюються)
Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 за умови, що.

Перші 2 числа можна вибрати з повтореннями способами. Кожна така пара має при розподілі на 3 у залишку або 0, або 1, або 2, тоді третє число повинно мати додатковий до 3 залишок (тобто 0 або 2 або 1 відповідно). Серед чисел 1.6 є по 2 числа кожного виду. Тому для будь-якої з 36 пар перших чисел знайдеться рівно 2 третини числа, щоб сума чисел ділилася на 3.

Знайти всі набори чи порахувати кількість таких наборів? Це не одне й те саме. У першому випадку потрібен алгоритм перерахування таких трійок, у другому – формула, що написана вище.

Розмите формулювання. Це числа від 1 до n чи n якихось чисел? У другому випадку не можна. У першому. давайте перевіримо.
Візьмемо у вашій задачі числа від 1 до 7. При додаванні чисел складаються їх залишки при розподілі на 3. Взяли ми, як і раніше, перші 2 числа, що можна зробити 49 способами. Проблеми дві:
1) пара з різними залишками буде не однакова кількість (49 не ділиться на 3 без залишку)
2) третіх чисел з доповнювальними до 3 залишками буде теж не однакова кількість, як було у вихідному завданні: із залишком 1 3 шт, із залишком 2 2 шт та із залишком 0 2 шт. Тому написати відповідь 49*2=98 не вийде. Таких трійок 114. Загалом для якогось n і якогось q швидше за все не вийде написати загальну формулу кількості. Принаймні відразу не видно, як це зробити.