Скільки різних трицифрових чисел можна становити з цифр 1, 2, 3, за умови, що цифри можуть повторюватися?

111, 112, 113, 121, 122,123,131,132,133, 211,212,213,221,222,223,231,232,233,311,312,313,321,323 Усього їх 27.

111, 121, 123, 112, 113, 131, 211, 212, 213, 222, 231, 233, 333, 311, 312, 321, 331, 332, 323, 313, 122, 132, 133 итого 23 (числа)

Ми постійно додаємо новий функціонал до основного інтерфейсу проекту. На жаль, старі браузери не в змозі якісно працювати із сучасними програмними продуктами. Для коректної роботи використовуйте останні версії браузерів Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge або інсталюйте браузер Atom.

Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4?

Використовуючи кожну з цифр 1, 2, 3, 4 у кожній позиції, ми можемо скласти 4 різних числа на першому місці (1, 2, 3 та 4), 3 різних числа на другому місці (залишилося 3 цифри після вибору першої цифри) та 2 різні числа на третьому місці (залишилося 2 цифри після вибору перших двох цифр).

Оскільки цифри в числі можуть повторюватися, кожен із трьох розрядів можна поставити одну з п'яти цифр. Тобто загальна кількість чисел дорівнює

Якби, наприклад, за умови були цифри 0,1,2,3,4, тоді відповіддю було б

оскільки місце старшого розряду ми можемо поставити нуль (у разі число буде тризначним).

У будь-якому випадку ми перемножуємо кількість тих варіантів, які підходять нам як одна з цифр у числі.

Якщо мається на увазі таке тризначне число, в якому не повинні повторюватися цифри, то треба перемножити 5 на 4 (оскільки однією з цифр ми вже скористалися) на 3 (оскільки вже не можемо сюди поставити два числа).

Таким чином, виходить 5*4*3=60 варіантів.

Якщо ж нам не важливо, чи цифри будуть повторюватися, то просто множимо 5 на 5 на 5, і отримуємо:

5 * 5 * 5 = 125 різних варіантів, починаючи з 111, закінчуючи 555.

Пракікум "Рішення задач з комбінаторики"

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів деякої множини відповідно до заданих правил. Комбінаторика вивчає комбінації та перестановки предметів, розташування елементів, що має задані властивості. Звичайне питання у комбінаторних завданнях: скільки способами….

До комбінаторних завдань належать також завдання побудови магічних квадратів, завдання розшифрування та кодування.

Народження комбінаторики як розділу математики пов'язані з працями великих французьких математиків 17 століття Блеза Паскаля (1623–1662) і П'єра Ферма (1601–1665) з теорії азартних ігор. Ці праці містили принципи визначення кількості комбінацій елементів кінцевої множини. З 50-х років 20 століття інтерес до комбінаторики відроджується у зв'язку з бурхливим розвитком кібернетики.

Основні правила комбінаторики – це правило суми і правило твори.

Якщо певний елемент А можна вибрати n способами, а елемент можна вибрати m методами, то вибір «або А, або В» можна зробити n + m методами.

Наприклад, Якщо на тарілці лежать 5 яблук та 6 груш, то один плід можна вибрати 5 + 6 = 11 способами.

Якщо елемент А можна вибрати n способами, а елемент можна вибрати m способами, то пару А та В можна вибрати n • m методами.

Наприклад, якщо є 2 різні конверти та 3 різні марки, то вибрати конверт і марку можна 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило твору правильне й у тому випадку, коли розглядають елементи кількох множин.

Наприклад, якщо є 2 різні конверти, 3 різні марки та 4 різні листівки, то вибрати конверт, марку та листівку можна 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно називається n - факторіалом і позначається символом n!

Наприклад, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Вважають 0! рівним 1.
Число перестановок із n дорівнює n!

Наприклад, якщо є 3 кульки – червона, синя та зелена, то викласти їх у ряд можна 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Іноді комбінаторне завдання вирішується за допомогою побудови дерева можливих варіантів.

Наприклад, вирішимо попередню задачу про три кулі побудовою дерева.

Практикум з вирішення задач з комбінаторики.

1. У вазі 6 яблук, 5 груш та 4 сливи. Скільки варіантів вибору одного плоду?

6 + 5 + 4 = 15

Відповідь: 15 варіантів.

2. Скільки існує варіантів купівлі однієї троянди, якщо продають 3 червоні, 2 червоні та 4 жовті троянди?

3. З міста А до міста В ведуть п'ять доріг, а з міста В до міста С ведуть три дороги. Скільки шляхів, що проходять В, ведуть з А в С?

4. Скільки способами можна скласти пару з однієї голосної та однієї згодної букв слова «хустка»?

голосні: а, про - 2 шт.
приголосні: п, л, т, до - 4 шт.

2 • 4 = 8

Відповідь: 8 способами.

5. Скільки танцювальних пар можна становити з 8 юнаків та 6 дівчат?

6. У їдальні є 4 перші страви та 7 других. Скільки різних варіантів обіду із двох страв можна замовити?

7.Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4 та 7, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 3 способи
3 цифра – 3 способи

3 • 3 = 9

Відповідь: 9 різних двоцифрових чисел.

8. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 3 і 5, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 2 способи
2 цифра – 2 способи
3 цифра – 2 способи

2 • 2 • 2 = 8

Відповідь: 8 різних чисел.

9. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 4 способи

3 • 4 = 12

Відповідь: 12 різних чисел.

10. Скільки існує трицифрових чисел, у яких усі цифри парні?

парні цифри – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способи
2 цифра – 5 способів
3 цифра – 5 способів

4 • 5 • 5 = 100

Відповідь: Існує 100 чисел.

11. Скільки є парних трицифрових чисел?

1 цифра - 9 способів (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способів (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 5 = 450

Відповідь: Існує 450 чисел.

12. Скільки різних трицифрових чисел можна становити з трьох різних цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 2 способи
3 цифра – 1 спосіб

3 • 2 • 1 = 6

Відповідь: 6 різних чисел.

13. Скільки способів можна визначити вершини трикутника, використовуючи літери А, В, С, D?

1 вершина – 4 способи
2 вершина – 3 способи
3 вершина – 2 способи

4 • 3 • 2 = 24

Відповідь: 24 способи.

14. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, за умови, що жодна цифра не повторюється?

1 цифра – 5 способів
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи

5 • 4 • 3 = 60

Відповідь: 60 різних чисел.

15.Скільки різних трицифрових чисел, менших за 400, можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, 9, якщо будь-яка з цих цифр може бути використана лише один раз?

1 цифра – 2 способи
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи

2 • 4 • 3 = 24

Відповідь: 24 різних числа.

16. Скільки способів можна скласти прапор, що складається з трьох горизонтальних смуг різних кольорів, якщо є матеріал шести кольорів?

1 смуга - 6 способів
2 смуга - 5 способів
3 смуга - 4 способи

6 • 5 • 4 = 120

Відповідь: 120 способів.

17. З класу вибирають 8 осіб, які мають кращі результати з бігу. Скільки способами можна скласти з них команду з трьох осіб для участі в естафеті?

1 людина – 8 способів
2 чоловік – 7 способів
3 осіб – 6 способів

8 • 7 • 6 = 336

Відповідь: 336 способів.

18. У четвер у першому класі має бути чотири уроки: лист, читання, математика та фізкультура. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на цей день?

1 урок – 4 способи
2 урок – 3 способи
3 урок – 2 способи
4 урок – 1 спосіб

4 • 3 • 2 • 1 = 24

Відповідь: 24 варіанти.

19. У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків та всі уроки різні?

1 урок – 8 варіантів
2 урок – 7 варіантів
3 урок – 6 варіантів
4 урок – 5 варіантів
5 урок – 4 варіанти

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

Відповідь: 6720 варіантів.

20. Шифр ​​для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру?

1 цифра – 5 способів
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи
4 цифра – 2 способи
5 цифра – 1 спосіб

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

Відповідь: 120 варіантів.

21. Скільки можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Відповідь: 720 способів.

22.Скільки варіантів семизначних телефонних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з нуля та 9?

1 цифра – 8 способів
2 цифра – 10 способів
3 цифра – 10 способів
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 10 способів
6 цифра – 10 способів
7 цифра – 10 способів

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

Відповідь: 8.000.000 варіантів.

23. Телефонна станція обслуговує абонентів, у яких номери телефонів складаються з 7 цифр та починаються з 394. На скільки абонентів розрахована ця станція?

№ телефону 394

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

Відповідь: 10.000 абонентів

24. Є 6 пар рукавичок різних розмірів. Скільки можна вибрати з них одну рукавичку на ліву руку і одну рукавичку на праву руку так, щоб ці рукавички були різних розмірів?

Ліві рукавички – 6 способів
Праві рукавички - 5 способів (6 рукавичка того ж розміру, що й ліва)

6 • 5 = 30

Відповідь: 30 способів.

25 . З цифр 1, 2, 3, 4, 5 становлять п'ятизначні числа, у яких всі цифри різні. Скільки таких парних чисел?

5 цифра – 2 способи (дві парні цифри)
4 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи
2 цифра – 2 способи
1 цифра – 1 спосіб

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

Відповідь: 48 парних чисел.

26. Скільки існує чотиризначних чисел, що складаються з непарних цифр і поділяються на 5?

Непарні цифри – 1, 3, 5, 7, 9.
У тому числі діляться на 5 – 5.

4 цифра – 1 спосіб (цифра 5)
3 цифра – 4 способи
2 цифра – 3 способи
1 цифра – 2 способи

1 • 4 • 3 • 2 = 24

Відповідь: 24 числа.

27. Скільки існує п'ятизначних чисел, які мають третю цифру – 7, останню цифру – парну?

1 цифра – 9 способів (усі, крім 0)
2 цифра – 10 способів
3 цифра – 1 спосіб (цифра 7)
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

Відповідь: 4500 чисел.

28.Скільки існує шестизначних чисел, у яких друга цифра – 2, четверта – 4, шоста – 6, а решта – непарні?

1 цифра – 5 варіантів (з 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифри – 1 варіант (цифра 2)
3 цифри – 5 варіантів
4 цифри – 1 варіант (цифра 4)
5 цифра – 5 варіантів
6 цифра – 1 варіант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

Відповідь: 125 чисел.

29. Скільки різних чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 8 і 9?

Однозначних – 2
Двозначні – 2 • 2 = 4
Тризначні – 2 • 2 • 2 = 8
Чотиризначні – 2 • 2 • 2 • 2 =16
П'ятизначні – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначні – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Усього: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Відповідь: 126 чисел.

30. У футбольній команді 11 осіб. Потрібно вибрати капітана та його заступника. Скільки способами це можна зробити?

Капітан – 11 способів
Заступник – 10 способів

11 • 10 = 110

Відповідь: 110 способів.

31. У класі навчаються 30 осіб. Скільки способами з них можна вибрати старосту та відповідального за проїзні квитки?

Староста – 30 способів
Відповідь. за квитки – 29 способів

30 • 29 = 870

Відповідь: 870 способів.

32. У поході беруть участь 12 хлопчиків, 10 дівчаток та 2 вчителі. Скільки варіантів груп чергових із трьох осіб (1 хлопчик, 1 дівчинка, 1 вчитель) можна скласти?

12 • 10 • 2 = 240

Відповідь: 240 способів.

33. Скільки комбінацій із чотирьох літер російського алфавіту (в алфавіті всього 33 літери) можна скласти за умови, що 2 сусідні літери будуть різними?

1 літера – 33 способи
2 літери – 32 способи
3 літери – 32 способи
4 літери – 32 способи

33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

Відповідь: 1.081.344 комбінацій.