Упр.710 ГДЗ Колягін Ткачова 7 клас (Алгебра)

710. Скільки існує різних двоцифрових чисел, у записах яких можна використовувати цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри в числі: 1) можуть повторюватися; 2) мають бути різними?

*Цитування завдання з посиланням на підручник проводиться виключно з метою для кращого розуміння розбору рішення завдання. 7 kolyagin7 710

Популярні решітки 7 клас

©Reshak.ru - збірка решібників для учнів старших та середніх класів. Тут можна знайти решібники, ГДЗ, переклади текстів за шкільною програмою. Практично весь матеріал, зібраний на сайті, - авторський з докладними поясненнями профільними фахівцями. Ви зможете завантажити гдз, решібники, покращити шкільні оцінки, підвищити знання, отримати набагато більше вільного часу.

Головне завдання сайту: допомагати школярам та батькам у вирішенні домашнього завдання. Крім того, весь матеріал удосконалюється, додаються нові збірки рішень.

Скільки чисел можна становити з цифр

Щоб порахувати, скільки чисел можна скласти із цифр, скористайтесь нашим дуже зручним онлайн калькулятором:

Скільки унікальних чисел можна скласти із певної кількості цифр

Скільки чисел можна становити з цифр?

Кількість унікальних чисел:

Теорія

Скільки унікальних чисел P_n можна скласти з n цифр?

Для того щоб відповісти на це питання, скористаємося кількістю перестановок з комбінаторики.

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки чисел можна становити з 5 цифр.

P₅ = 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120

Відповідь: З п'яти цифр можна становити 120 різних чисел.

При цьому ми використовуємо всі 5 цифр у кожному із 120 чисел.Тобто всі числа п'ятицифрові і кожна цифра в кожному числі використовується лише один раз.

Якщо одна з цифр нуль

Якщо одна з цифр 0, То вищеописана формула не підходить. Оскільки першою цифрою серед нуль бути не може. Отже, такі варіанти перестановок слід виключити.

Формула для варіанта з нулем

приклад

Наприклад, визначимо, скільки чисел можна становити з цифр: 0,1,2,3,4.

У нас 5 цифр, одна з яких 0.

Скільки унікальних X-значних чисел можна становити з певної кількості цифр

чисел можна скласти

Кількість унікальних чисел:

Теорія

Скільки унікальних k-значних чисел можна скласти з n цифр?

Якщо цифри в числі можуть повторюватися

Якщо цифри в числі можуть повторюватися, то відповіді на запитання можна скористатися числом розміщень з повтореннями.

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки 2-х значних чисел можна скласти з 5 цифр, при тому що цифри в числі можуть повторюватися.

З п'яти цифр можна становити 25 двозначних чисел.

Якщо цифри в числі можуть повторюватися і одна з цифр нуль

Якщо серед цифр є нуль, то формула буде така:

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки тризначних чисел можна скласти із цифр: 0,1,2,3,4 (цифри в числі можуть повторюватися).

З п'яти цифр, одна з яких нуль, можна становити 100 тризначних чисел. Цифри у своїй можуть повторюватися.

Якщо цифри в числі не можуть повторюватися

Якщо цифри в числі НЕ можуть повторюватися, то відповіді на запитання можна скористатися кількістю розміщень без повторень.

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки 2-х значних чисел можна скласти з 5 цифр, при тому, що цифри в числі НЕ можуть повторюватися.

З п'яти цифр можна становити 20 двоцифрових чисел без повторень.

Якщо цифри в числі не можуть повторюватися і одна з цифр нуль

Якщо серед цифр є нуль, то формула буде така:

Формула

приклад

Наприклад, визначимо, скільки тризначних чисел можна становити з цифр: 0,1,2,3,4 (цифри в числі НЕ можуть повторюватись).

З п'яти цифр, одна з яких нуль, можна скласти 48 трицифрових чисел, якщо цифри при цьому не можуть повторюватися.

Завдання та їх вирішення

Завдання №1

Скільки шестизначних чисел можна скласти з цифр 1 2 3 5 7 9 без повторення цифр?

Для вирішення цього завдання потрібно розуміти, що нам важливо знати кількість цифр, а не які вони. Тобто в цьому випадку цифр 6.

Отже, нам треба визначити, скільки шестицифрових чисел можна скласти з 6 цифр.

Відповідь: З цифр 1 2 3 5 7 9 можна скласти 720 шестицифрових чисел без повторення цифр.

Даний приклад можна вирішити і за допомогою формули числа перестановок, так як і кількість цифр у числах, і задану кількість цифр збігаються і дорівнює 6:

P₆ = 6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Завдання №2

Скільки різних чисел можна скласти з цифр 5, 4, 7 та 0, якщо цифри у записі числа не повторюються?

Ми маємо 4 різні цифри та одна з них нуль. Число не може починатися на нуль, отже, скористаємося числом перестановок і формулою для варіанта з нулем:

Відповідь: З цифр 5 4 7 0 можна скласти 18 чисел без повторення цифр.

Інший варіант вирішення:

Нам дано 4 цифри, і в кожному з чисел ми маємо використовувати кожну з них.

Нуль не може бути першою цифрою в числі. Отже, для першої цифри числа ми можемо використовувати лише 5, 4 або 7 – лише три варіанти.

Для другої цифри серед нас також є 3 варіанти, оскільки одну цифру з чотирьох ми вже використовували.

Для третьої залишилося два варіанти, а для четвертої лише один.

Запишемо це так: 3⋅3⋅2⋅1 = 18

Ми отримали ту саму відповідь: 18 варіантів.

Пракікум "Рішення задач з комбінаторики"

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів деякої множини відповідно до заданих правил. Комбінаторика вивчає комбінації та перестановки предметів, розташування елементів, що має задані властивості. Звичайне питання у комбінаторних завданнях: скільки способами….

До комбінаторних завдань належать також завдання побудови магічних квадратів, завдання розшифрування та кодування.

Народження комбінаторики як розділу математики пов'язані з працями великих французьких математиків 17 століття Блеза Паскаля (1623–1662) і П'єра Ферма (1601–1665) з теорії азартних ігор. Ці праці містили принципи визначення кількості комбінацій елементів кінцевої множини. З 50-х років 20 століття інтерес до комбінаторики відроджується у зв'язку з бурхливим розвитком кібернетики.

Основні правила комбінаторики – це правило суми і правило твори.

Якщо певний елемент А можна вибрати n способами, а елемент можна вибрати m методами, то вибір «або А, або В» можна зробити n + m методами.

Наприклад, Якщо на тарілці лежать 5 яблук та 6 груш, то один плід можна вибрати 5 + 6 = 11 способами.

Якщо елемент А можна вибрати n способами, а елемент можна вибрати m способами, то пару А та В можна вибрати n • m методами.

Наприклад, якщо є 2 різні конверти та 3 різні марки, то вибрати конверт і марку можна 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило твору правильне й у тому випадку, коли розглядають елементи кількох множин.

Наприклад, якщо є 2 різні конверти, 3 різні марки та 4 різні листівки, то вибрати конверт, марку та листівку можна 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно називається n - факторіалом і позначається символом n!

Наприклад, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Вважають 0! рівним 1.
Число перестановок із n дорівнює n!

Наприклад, якщо є 3 кульки – червона, синя та зелена, то викласти їх у ряд можна 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Іноді комбінаторне завдання вирішується за допомогою побудови дерева можливих варіантів.

Наприклад, вирішимо попередню задачу про три кулі побудовою дерева.

Практикум з розв'язання задач з комбінаторики.

1. У вазі 6 яблук, 5 груш та 4 сливи. Скільки варіантів вибору одного плоду?

6 + 5 + 4 = 15

Відповідь: 15 варіантів.

2. Скільки існує варіантів купівлі однієї троянди, якщо продають 3 червоні, 2 червоні та 4 жовті троянди?

3. З міста А до міста В ведуть п'ять доріг, а з міста В до міста С ведуть три дороги. Скільки шляхів, що проходять В, ведуть з А в С?

4. Скільки способами можна скласти пару з однієї голосної та однієї згодної букв слова «хустка»?

голосні: а, про - 2 шт.
приголосні: п, л, т, до - 4 шт.

2 • 4 = 8

Відповідь: 8 способами.

5. Скільки танцювальних пар можна становити з 8 юнаків та 6 дівчат?

6. У їдальні є 4 перші страви та 7 других. Скільки різних варіантів обіду із двох страв можна замовити?

7. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4 і 7, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 3 способи
3 цифра – 3 способи

3 • 3 = 9

Відповідь: 9 різних двоцифрових чисел.

8. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 3 і 5, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 2 способи
2 цифра – 2 способи
3 цифра – 2 способи

2 • 2 • 2 = 8

Відповідь: 8 різних чисел.

9. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 4 способи

3 • 4 = 12

Відповідь: 12 різних чисел.

10. Скільки існує трицифрових чисел, у яких усі цифри парні?

парні цифри – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способи
2 цифра – 5 способів
3 цифра – 5 способів

4 • 5 • 5 = 100

Відповідь: Існує 100 чисел.

11. Скільки є парних трицифрових чисел?

1 цифра - 9 способів (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способів (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 5 = 450

Відповідь: Існує 450 чисел.

12. Скільки різних трицифрових чисел можна становити з трьох різних цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 2 способи
3 цифра – 1 спосіб

3 • 2 • 1 = 6

Відповідь: 6 різних чисел.

13. Скільки способів можна визначити вершини трикутника, використовуючи літери А, В, С, D?

1 вершина – 4 способи
2 вершина – 3 способи
3 вершина – 2 способи

4 • 3 • 2 = 24

Відповідь: 24 способи.

14. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, за умови, що жодна цифра не повторюється?

1 цифра – 5 способів
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи

5 • 4 • 3 = 60

Відповідь: 60 різних чисел.

15. Скільки різних трицифрових чисел, менших за 400, можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, 9, якщо будь-яка з цих цифр може бути використана лише один раз?

1 цифра – 2 способи
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи

2 • 4 • 3 = 24

Відповідь: 24 різних числа.

16. Скільки способів можна скласти прапор, що складається з трьох горизонтальних смуг різних кольорів, якщо є матеріал шести кольорів?

1 смуга - 6 способів
2 смуга - 5 способів
3 смуга - 4 способи

6 • 5 • 4 = 120

Відповідь: 120 способів.

17. З класу вибирають 8 осіб, які мають кращі результати з бігу. Скільки способами можна скласти з них команду з трьох осіб для участі в естафеті?

1 людина – 8 способів
2 чоловік – 7 способів
3 чоловік – 6 способів

8 • 7 • 6 = 336

Відповідь: 336 способів.

18. У четвер у першому класі має бути чотири уроки: лист, читання, математика та фізкультура. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на цей день?

1 урок – 4 способи
2 урок – 3 способи
3 урок – 2 способи
4 урок – 1 спосіб

4 • 3 • 2 • 1 = 24

Відповідь: 24 варіанти.

19. У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків та всі уроки різні?

1 урок – 8 варіантів
2 урок – 7 варіантів
3 урок – 6 варіантів
4 урок – 5 варіантів
5 урок – 4 варіанти

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

Відповідь: 6720 варіантів.

20. Шифр ​​для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру?

1 цифра – 5 способів
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи
4 цифра – 2 способи
5 цифра – 1 спосіб

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

Відповідь: 120 варіантів.

21. Скільки можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Відповідь: 720 способів.

22. Скільки варіантів семизначних телефонних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з нуля та 9?

1 цифра – 8 способів
2 цифра – 10 способів
3 цифра – 10 способів
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 10 способів
6 цифра – 10 способів
7 цифра – 10 способів

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

Відповідь: 8.000.000 варіантів.

23. Телефонна станція обслуговує абонентів, у яких номери телефонів складаються з 7 цифр та починаються з 394. На скільки абонентів розрахована ця станція?

№ телефону 394

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

Відповідь: 10.000 абонентів.

24. Є 6 пар рукавичок різних розмірів. Скільки можна вибрати з них одну рукавичку на ліву руку і одну рукавичку на праву руку так, щоб ці рукавички були різних розмірів?

Ліві рукавички – 6 способів
Праві рукавички - 5 способів (6 рукавичка того ж розміру, що й ліва)

6 • 5 = 30

Відповідь: 30 способів.

25 . З цифр 1, 2, 3, 4, 5 становлять п'ятизначні числа, у яких всі цифри різні. Скільки таких парних чисел?

5 цифра – 2 способи (дві парні цифри)
4 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи
2 цифра – 2 способи
1 цифра – 1 спосіб

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

Відповідь: 48 парних чисел.

26. Скільки існує чотиризначних чисел, що складаються з непарних цифр і поділяються на 5?

Непарні цифри – 1, 3, 5, 7, 9.
У тому числі діляться на 5 – 5.

4 цифра – 1 спосіб (цифра 5)
3 цифра – 4 способи
2 цифра – 3 способи
1 цифра – 2 способи

1 • 4 • 3 • 2 = 24

Відповідь: 24 числа.

27. Скільки існує п'ятицифрових чисел, у яких третя цифра – 7, остання цифра – парна?

1 цифра – 9 способів (усі, крім 0)
2 цифра – 10 способів
3 цифра – 1 спосіб (цифра 7)
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

Відповідь: 4500 чисел.

28. Скільки існує шестизначних чисел, у яких друга цифра – 2, четверта – 4, шоста – 6, а решта – непарні?

1 цифра – 5 варіантів (з 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифри – 1 варіант (цифра 2)
3 цифри – 5 варіантів
4 цифри – 1 варіант (цифра 4)
5 цифра – 5 варіантів
6 цифра – 1 варіант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

Відповідь: 125 чисел.

29. Скільки різних чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 8 і 9?

Однозначних – 2
Двозначні – 2 • 2 = 4
Тризначні – 2 • 2 • 2 = 8
Чотиризначні – 2 • 2 • 2 • 2 =16
П'ятизначні – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначні – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Усього: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Відповідь: 126 чисел.

30. У футбольній команді 11 осіб. Потрібно вибрати капітана та його заступника. Скільки способами це можна зробити?

Капітан – 11 способів
Заступник – 10 способів

11 • 10 = 110

Відповідь: 110 способів.

31. У класі навчаються 30 осіб. Скільки способами з них можна вибрати старосту та відповідального за проїзні квитки?

Староста – 30 способів
Відповідь. за квитки – 29 способів

30 • 29 = 870

Відповідь: 870 способів.

32. У поході беруть участь 12 хлопчиків, 10 дівчаток та 2 вчителі. Скільки варіантів груп чергових із трьох осіб (1 хлопчик, 1 дівчинка, 1 вчитель) можна скласти?

12 • 10 • 2 = 240

Відповідь: 240 способів.

33. Скільки комбінацій із чотирьох літер російського алфавіту (в алфавіті всього 33 літери) можна скласти за умови, що 2 сусідні літери будуть різними?

1 літера – 33 способи
2 літери – 32 способи
3 літери – 32 способи
4 літери – 32 способи

33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

Відповідь: 1.081.344 комбінацій.