Конус

Конус (конічна поверхня), безліч прямих (утворюючих) евклідового простору, що проходять через усі точки деякої лінії (напрямної) і дану точку O O O простору (вершину конуса). Якщо напрямна – пряма, то конус перетворюється на площину. Якщо спрямовуюча – крива другого порядку , не що у однієї площині з вершиною, виходить конус другого порядку (рис. 1, де направляючої служить еліпс ).

Мал. 1. Приклад конічних поверхонь, утворених за допомогою напрямних у вигляді еліпсів. Мал. 1. Приклад конічних поверхонь, утворених за допомогою напрямних у вигляді еліпсів. Найпростішим з конусів другого порядку є прямий круговий конус, що спрямовує якого служить коло , а вершина ортогонально проектується в її центр.

У цьому випадку конічною поверхнею є сукупність всіх прямих (утворюючих), що проходять через ту саму точку O O O і складають один і той же кут з прямою, що проходить через центр кола і точку O O O (віссю конуса). Конічна поверхня має дві порожнини, розташовані симетрично щодо вершини.

Іноді конусом називають безліч K K K , що складається з усіх напівпрямих, що виходять з точки O O O і лежать в одній з порожнин конічної поверхні. Часто конусом називають перетин K K K з напівпростором, що містить O O O і обмеженою площиною, що не проходить через O O O (рис. 2).

Мал. 2. Прямий круговий конус. Мал. 2. Прямий круговий конус. У цьому випадку частина площини, що лежить усередині конічної поверхні, називається основою конуса, а частина конічної поверхні, укладеної між вершиною та основою, – бічною поверхнею конуса.

Якщо основа прямого кругового конуса є коло радіусу R R R , а довжина відрізка між вершиною і основою (висота конуса) дорівнює h h h , то обсяг такого конуса дорівнює V = π R 2 h / 3 , V = πR^2h/3, V = π R 2 h /3 , площа бічної поверхні дорівнює S бік = π R l , S_=πRl, S бік = π Rl , де l l l - Довжина відрізка утворює між вершиною і основою.

Мал. 3. Усічений конус. Мал. 3. Усічений конус. Частина конуса, укладена між двома паралельними площинами, називається усіченим конусом, або конічним шаром (рис. 3). Шар прямого кругового конуса між площинами, паралельними підставі, має об'єм V = π (R 2 + r 2 + R r ) h / 3 , V = ( R 2 + r 2 + R r ) h /3 , де R R R і r r r – радіуси основ усіченого конуса, h h h – його висота, тобто відрізок, що з'єднує центри його основ, площа бічної поверхні S бік = π l ( R + r ) , S_=πl(R+r), S бік = π l ( R + r ) , де l l l - Довжина відрізка утворює.

Редакція математичних наук. Перша публікація: Велика російська енциклопедія, 2010.

Опубліковано 30 серпня 2023 р. о 15:28 (GMT+3). Останнє оновлення 30 серпня 2023 р. о 15:28 (GMT+3). Зв'язатися з редакцією

Що це – конус? Визначення, властивості, формули та приклад розв'язання задачі

Конус – це одна з просторових фігур обертання, характеристики та властивості яких вивчає стереометрія. У цій статті дамо визначення цій фігурі і розглянемо основні формули, що зв'язують лінійні параметри конуса з площею поверхні та об'ємом.

Що це – конус?

З погляду геометрії йдеться про просторову фігуру, яка утворена сукупністю прямих відрізків, що з'єднують деяку точку простору з усіма точками плавною плоскою кривою. Цією кривою може бути коло або еліпс.На малюнку нижче показано конус.

Представлена ​​фігура не має об'єму, оскільки стінки її поверхні мають нескінченно малу товщину. Однак якщо її заповнити речовиною і обмежити зверху не кривою, а плоскою фігурою, наприклад кругом, ми отримаємо тверде об'ємне тіло, яке також називається конусом.

Форму конуса можна часто зустріти у житті. Так, нею має морозиво-ріжок або смугасті чорно-жовтогарячі дорожні конуси, які виставляють на проїжджу частину для привернення уваги учасників руху.

Елементи конуса та його види

Оскільки конус поліедром не є, то кількість елементів, що його утворюють, не така велика, як для багатогранників. У геометрії конус загального вигляду складається з наступних елементів:

• основи, що обмежує крива якого називається директрисою, або твірною;
• бічній поверхні, яка є сукупністю всіх точок прямих відрізків (генератріс), що з'єднують вершину та точки напрямної кривої;
• вершини, що є точкою перетину генератрис.

Зауважимо, що вершина в площині основи повинна лежати, оскільки у разі конус вироджується в плоску фігуру.

Якщо з вершини провести перпендикулярний відрізок до основи, то отримаємо висоту фігури. Якщо остання основа перетинає геометричному центрі, це конус прямий. Якщо перпендикуляр не збігається з геометричним центром основи, то фігура буде похилою.

Прямий і похилий конуси показано на малюнку. Тут висота та радіус основи конуса позначені h і r відповідно. Лінія, яка з'єднує вершину фігури та геометричний центр основи, є віссю конуса.З малюнка видно, що з прямої фігури висота цієї осі лежить, а похилої фігури висота з віссю утворює певний кут. Вісь конуса позначена літерою a.

Прямий конус із круглою основою

Мабуть, це конус найпоширеніший із класу фігур, що розглядається. Складається він із кола та бічної поверхні. Отримати геометричними методами його не становить жодних труднощів. Для цього слід взяти прямокутний трикутник і обертати його навколо осі, що збігається з одним із катетів. Вочевидь, що це катет стане висотою фігури, а довжина другого катета трикутника утворює радіус основи конуса. Схема нижче демонструє описану схему отримання фігури обертання, що розглядається.

Зображений трикутник можна обертати навколо іншого катета, при цьому вийде конус з більшим радіусом основи та меншою висотою, ніж перший.

Для однозначного визначення всіх параметрів прямого круглого конуса слід знати будь-які дві його лінійних характеристики. Серед них виділяють радіус r, висоту h або довжину генератрису g. Усі названі величини є довжинами сторін розглянутого прямокутного трикутника, тому їхнього зв'язку справедлива теорема Піфагора:

Площа поверхні

Під час вивчення поверхні будь-якої об'ємної фігури зручно користуватися її розгорткою на площину. Конус не є винятком. Для круглого конуса розгортка показана нижче.

Ми бачимо, що розгортка фігури складається із двох частин:

1. Коло, що утворює основу конуса.
2. Сектор кола конічної поверхні фігури.

Площу кола знайти легко, і відповідна формула відома кожному школяру. Говорячи про круговий сектор, зауважимо, що він є частиною кола з радіусом g (довжина конуса генератриси).Довжина дуги цього сектора дорівнює довжині кола основи. Ці параметри дозволяють однозначно визначити його площу. Відповідна формула має вигляд:

Перше і друге доданки у виразі - це конуса основи та бічної поверхні площі відповідно.

Якщо довжина генератрис g невідома, але дана висота h фігури, тоді формулу можна переписати у вигляді:

Об'єм фігури

Якщо взяти пряму піраміду і збільшувати на нескінченності кількість сторін її основи, то форма основи прагнутиме кола, а бічна поверхня піраміди наближатися до конічної поверхні. Ці міркування дозволяють використовувати формулу обсягу піраміди при розрахунку аналогічної величини для конуса. Об'єм конуса може бути знайдений за формулою:

Справедлива ця формула завжди, незалежно від того, що являє собою основу конуса, що має площу S_o. Більше того, формула застосовна також для похилого конуса.

Оскільки ми вивчаємо властивості прямої фігури з круглою основою, то для визначення його обсягу можна користуватися таким виразом:

Справедливість формули очевидна.

Завдання на знаходження площі поверхні та обсягу

Нехай дано конус, радіус якого дорівнює 10 см, а довжина утворює становить 20 см. Необхідно визначити об'єм та площу поверхні для цієї фігури.

Для обчислення площі S можна скористатися формулою, записаної вище. Маємо:

Для визначення обсягу необхідно знати висоту фігури h. Розрахуємо її, користуючись зв'язком між лінійними параметрами конуса. Отримуємо:

h = √(g 2 - r 2 ) = √(20 2 - 10 2 ) ≈ 17,32 см.

Тепер можна скористатися формулою для V:

V = 1/3*h*pi*r 2 = 1/3*17,32*3,14*10 2 ≈ 1812,83 см 3 .

Зазначимо, що об'єм круглого конуса становить третину від циліндра, який він вписаний.