Геометричні тіла: призма, піраміда, циліндр, конус, куля

У цій статті Mathema розповість про геометричні тіла, їх властивості та основні відмінності. Найпростіші геометричні тіла учні починають вивчати ще молодшій школі, але завдання з ними з'являються набагато пізніше у старших класах. Призма, піраміда, циліндр, конус і куля є основними геометричними тілами, про які йтиметься у підлоги.

Що таке геометричне тіло?

Геометричним тілом називають обмежену частину простору, а точки, що обмежують геометричне тіло від простору, називаються поверхнею цього тіла. Не слід плутати геометричне тіло з об'ємною фігурою, всі точки якої знаходяться в одній площині.

Таке пояснення може трохи заплутувати спочатку, тому ось ілюстрація, яка спростить розуміння.

Призма

Визначити призму можна за її гранями:

• Дві грані призми дорівнюють багатокутникам і знаходяться на паралельних площинах. Їх називають основамипризми.
• Інші грані є паралелограмами. Їхня кількість може бути різною, залежно від виду призми. Ці грані називають бічними.

Якщо ребра призми перпендикулярні основі, таку призму називають прямий. Якщо основи такої призми – це правильні багатокутники, така призма називається правильно.

Піраміда

Визначити піраміду можна за її гранями:

• Одна грань піраміди є n-кутиком. Вона називається основою піраміди.
• Інші грані є трикутниками. Їх називають бічними гранями піраміди.

Бічні грані мають загальну вершину, яку називають вершиною піраміди. Щоб отримати висоту піраміди, потрібно провести від вершини піраміди перпендикуляр до її основи.

Циліндр

Циліндр - це тривимірна геометрична фігура, що складається з двох паралельних площинних областей, підстав і всіх точок, що лежать на прямих, що з'єднують відповідні точки цих двох підстав. Циліндр утворюється при обертанні прямокутника довкола його боку.

Осьовий переріз циліндра - це переріз циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра. Це переріз прямокутник.

Конус

Конус утворюється під час обертання прямокутного трикутника навколо його катета. Конус має вісь, що утворює і радіус. Основою конуса є коло.

Куля

Куля – тіло, що утворюється при обертанні кола навколо його діаметра. Радіусом кулі є пряма проведена від центру кулі до будь-якої точки на поверхні кулі. Поверхня кулі називається сферою.

Конус

Далі ми розглянемо найпоширеніший тип конуса – прямий круговий. Інші можливі варіанти малюнка перелічені в останній частині публікації.

Отже, прямий круговий конус - це об'ємна геометрична фігура, отримана обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів, який буде в цьому випадку віссю фігури. У зв'язку із цим такий конус іноді називають конусом обертання.

Конус на малюнку вище виходить внаслідок обертання прямокутного трикутника ACD (або BCD) навколо катета CD.

Елементи конуса

Визначення. Вершиною конуса є точка (К), з якої виходять промені. Визначення. Основа конуса - це площина, утворена перетином плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі підстави, як коло, еліпс, гіпербола та парабола. Визначення Утворюючий конус (L) — це будь-який відрізок, що з'єднує вершину конуса з межею основи конуса.Утворювальна - це відрізок променя, що виходить з вершини конуса):

Визначення. Напрямна конуса – це крива, що описує контур основи конуса. Визначення. Бічна поверхня конуса є сума всіх утворюючих конуса. Тобто Поверхня конуса складається з бічної поверхні і підстави конуса Визначення Висота конуса (Н) - це відрізок, що виходить з вершині конуса і перпендикулярна до основи. Визначення. Вісь конуса (а) є прямою лінією, що проходить через вершину конуса і центр підстави конуса. Визначення конусності (С) конуса – це відношення діаметра основи конуса до його висоти. У випадку зрізаного конуса це відношення різниці діаметрів перерізів D і d зрізаного конуса і відстані між ними:

де C - конусність, D - діаметр основи, d - діаметр меншої основи, h - відстань між основами.
Конусність характеризує гостроту конуса, тобто кут нахилу, що утворює до основи конуса. Чим більша конусність, тим гострішим буде кут нахилу кута конусності α:

де R – радіус основи, H – висота конуса.
Визначення: осьовим перерізом конуса називається переріз конуса площиною, що проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, де сторони утворені утворюючими, а основа трикутника є діаметром основи конуса.
Визначення: Стосовною площиною до конуса називається площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна до осьового перерізу конуса. Конус, що спочиває на колі, еліпсі, гіперболі або параболі, називається круговим, еліптичним, гіперболічним або параболічним конусом відповідно (останні два мають нескінченний обсяг).
Визначення: Прямий конус - це конус, вісь якого перпендикулярна до основи. У такого конуса вісь збігається з висотою, а утворюють рівні між собою Формула Обсяг круглого конуса:

де R – радіус основи, а H – висота конуса. Формули. Площа бічної поверхні (Sb) прямого конуса через радіус R і довжину утворює L:

Формули. Сумарна площа поверхні (Sp) прямого кругового конуса по радіусу R і довжині утворює L:

Визначення: Похилий (похилий) конус – це конус, вісь якого не перпендикулярна до основи. У такого конуса вісь не збігається з висотою.

де S – площа основи, а H – висота конуса.
Визначення. Усічений конус - це частина конуса, розташована між основою конуса і площиною перерізу, паралельною основі. Формули. Об'єм усіченого конуса:

де S1 і S2 - площі меншої та більшої основи відповідно, а H і h - відстань від вершини конуса до центру нижньої та верхньої основи відповідно.

Плоскі перерізи конуса

Перетину конуса в координатних площинах є пари прямих, що перетинаються, задовольняють рівнянням (для) або (для) відповідно в цих площинах.

Тепер розглянемо перетин конуса площиною, паралельною площині. Підставивши , де - довільна константа (параметр), рівняння (4.50), отримаємо

Цьому рівнянню задовольняє одна речова точка - початок координат. За будь-якого ненульового значення параметра рівняння визначає еліпс з півосями. Отже, частина конуса на площині є еліпс, центр якого лежить на осі докладання, а вершини належать координатним площинам.

Отже, конус можна як поверхню, утворену еліпсами, центри яких лежать на осі докладання, а вершини належать координатним площинам.

Види конусів

1. Правий конус має симетричну основу.
2. Косий (похилий) конус - ортогональна проекція вершини фігури на основу не збігається з центром цієї основи.
3. Усічений конус (конічний шар) - частина конуса, що залишається між основою і січною площиною, паралельною до цієї основи.
4. Круглий конус – основа фігури – коло. Розрізняють також: еліптичні, параболічні та гіперболічні конуси.
5. Рівносторонній конус – це прямий конус, що утворює якого дорівнює діаметру основи.

Рівняння конуса

1. Рівняння прямого кругового конуса в декартовій системі координат з координатами (x, y, z):

2. Рівняння прямого еліптичного конуса в декартовій системі координат з координатами (x, y, z):

Основні властивості кругового конуса

1. Всі утворюючі прямого кругового конуса рівні між собою.2. площиною, паралельною до основи конуса, утворюється коло. конус)

5. Якщо площина в точці перетину не паралельна підставі конуса і не перетинає дно, то в точці перетину утворюється еліпс (рис. 3).6. .Якщо площина перерізу проходить через вершину, у точці перетину утворюється рівнобедрений трикутник (див. осьовий переріз). Центр ваги будь-якого конуса знаходиться на чверті висоти від центру основи.

Осьовий переріз конуса та його площа

Щоб записати формулу площі осьового перерізу конуса, необхідно спочатку ознайомитися із самим перетином. Виходить так: потрібно взяти січну площину, розташувати її паралельно осі конуса. Потім необхідно розрізати конус площиною на дві однакові частини так, щоб вершина фігури потрапила до площини перерізу.

Неважко уявити, що в результаті описаної операції вийде рівнобедрений трикутник. Рівні сторони трикутника будуть такими ж, як утворюють довжини. А третя сторона дорівнюватиме діаметру основи.

Формула площі осьової частини конуса (див. рисунок вище) не складна. Йому відповідає формула обчислення цього значення описаного трикутника. Так як площа трикутника дорівнює добутку основи на висоту, яке потрібно розділити навпіл, то шукана рівність для осьового перерізу матиме вигляд:

Ця формула стверджує, що S вдвічі більше площі прямокутного трикутника, обертання якого було досягнуто конусом.

Усічений конус та його осьовий перетин

Усічений конус виходить з правильного конуса за допомогою січної площини, паралельної основи. Фігура, що вийшла, під площиною буде усіченим конусом. Це показано на зображенні.

Крім бічної поверхні, ця фігура складається з двох основ, які є великим і малим колами. Позначимо їх радіуси як r1 та r2. Відстань між основами називається висотою і позначається літерою h.

Осьовий переріз конуса, що розглядається, буде квадратом, дві сторони якого є утворюючими. А дві інші сторони будуть паралельні одна одній і дорівнюють 2*r1 і 2*r2 відповідно. Цей квадрат буде рівнобедреною трапецією, як показано на малюнку нижче.

Цей факт дозволяє використовувати вираз для трапеції для запису формули площі поперечного перерізу зрізаного осьового конуса. Він матиме вигляд:

S = (2 * r1 + 2 * r2) / 2 * h = h * (r1 + r2)

Тобто площа S дорівнює добутку суми радіусів підстав усіченого конуса з його висоту.

Для розв'язання геометричних завдань також може знадобитися формула зв'язку між утворювальною фігурою та її параметрами r1, r2 і h. Відповідний вираз матиме вигляд:

Його досить легко отримати самостійно, якщо розглянути прямокутний трикутник усередині конуса, побудований на сторонах g, h (r1 - r2).

Завдання визначення площі перерізу осьового конуса усіченого

Покажемо, як знайти площу осьового перерізу на прикладі зрізаного конуса.

Відомо, що висота цієї фігури дорівнює 10 см. Відомо також, що для конуса з осьовим перерізом площа дорівнює різниці площ основ. Знаючи, що діаметр підстав відрізняється рівно вдвічі, необхідно знайти площу цієї частини по осі.

Залежно стану завдання можна записати два рівняння:

Значення висоти відоме з умови. Таким чином, у нас є 2 подібності та 2 невідомі. Вирішимо цю систему:

h * (2 * r2 + r2) = pi * ((2 * r2) 2 - r22) =>

Ми здобули неповне квадратне рівняння, яке необхідно вирішити щодо змінної r2. Рівняння 2 кореня, але рішення r2 = 0 не є фізичним, тому ми просто запишемо одне значення для малого радіуса:

Тоді великий радіус r1 дорівнюватиме:

Підставивши ці рівності у формулу площі осьової частини конуса, отримаємо:

Підставляємо числове значення h і записуємо відповідь: S 95,54 см2.

Об'єм, площі бічної та повної поверхонь конуса та усіченого конуса

Введемо такі позначення

Тоді справедливі наступні формули для розрахунку обсягу, площі бічної та всієї поверхні конуса, а також формули для розрахунку обсягу, площі бічної та всієї поверхні зрізаного конуса.

де
h – висота зрізаного конуса,
r – радіус нижньої основи усіченого конуса,
r1 - радіус верхньої основи усіченого конуса,

Формули для об'єму, бічної та повної площі поверхні:

Формули для об'єму, бічної та повної площі поверхні:

де
h – висота зрізаного конуса,
r – радіус нижньої основи усіченого конуса,
r1 - радіус верхньої основи усіченого конуса,

3. Формула розрахунку обсягу конуса

можна отримати з формули об'єму правильної n-вуглецевої піраміди

дійшовши до краю, коли кількість сторін правильної піраміди n зростає до нескінченності.

4. Формула розрахунку обсягу зрізаного конуса

можна отримати з формули об'єму правильної усіченої n-вуглецевої піраміди

переходячи до межі, коли кількість сторін правильної зрізаної піраміди n зростає до нескінченності. Однак доказ цього виходить за межі шкільної програми.

Круговий конус

Для всіх частин конуса після площини стають колами. Такий конус є фігурою обертання та називається прямим круговим конусом. Це може бути досягнуто в результаті обертання, наприклад, прямої лінії (утворюючої) навколо відповідної осі (рис. 4.44 б).

1. Конус є лінійчастою поверхнею, оскільки його можна отримати, пересуваючи пряму лінію.

2. Конус, утворений асимптотами гіпербол, отриманих при розрізанні гіперболоїда площиною, що проходить через вісь, називається асимптотичним конусом цього гіперболоїду. На рис. 4.44в показаний асимптотичний конус для гіперболоїдів з однією та двома пластинами.

3. Конус (4.50) може бути отриманий із прямого кругового конуса (для якого) в результаті двох стисків (розтягувань) до координатних площин і .

4. Початок канонічної системи координат – центр симетрії конуса, координатні осі – осі симетрії конуса, координатні площини – площини симетрії конуса.

Справді, якщо точка належить конусу, то точки з координатами за будь-якого вибору знака також належать конусу, оскільки їх координати задовольняють рівнянню (4.50).

5. Розглянемо переріз прямого кругового конуса площиною, що не проходить через вершину, наприклад площиною , де довільна постійна (параметр) нахил прямої на площині. Зазначимо, що утворюють конуса, що розглядається, на площині описуються рівнянням з нахилом. Підставляючи в рівняння конуса, отримуємо

Це рівняння проекції на координатну площину лінії перетину площини та конуса. Обчислювальні інваріанти

Коли ми маємо.За таблицею 3.2 визначаємо, що перетин, що розглядається, що перетинає всі утворюють прямого кругового конуса, є еліпсом. Коли ми маємо. За таблицею 3.2 визначаємо, що аналізований переріз, паралельний двом утворюючим кругового конуса, є гіперболою. Коли ми маємо. За таблицею 3.2 визначаємо, що розріз, що розглядається, паралельне однієї утворює кругового конуса, є параболою. Так як тип прямих не змінюється при афінних перетвореннях, такий висновок можна зробити і для довільного конуса (4.50):

- Перетин конуса площиною, що перетинає всі його утворюють, є еліпс (рис. 4.45, а);

- Перетин конуса площиною, паралельною двом його утворюючим, є гіперболою (рис. 4.45, б);

— перетин конуса площиною, паралельною до однієї з його утворюючих, є параболою (рис. 4.45, в).

6. Конічні перерізи можна сприйняти як еквівалентні визначення еліпса, гіперболи, параболи.