Конус. Формули, ознаки та властивості конуса

Конус - Це геометричне тіло, яке утворене сукупністю всіх променів, що виходять з точки і перетинають будь-яку плоску поверхню. У місці перетину утворюється основа конуса.

Елементи конуса

Визначення. Основа конуса - це площина, утворена в результаті перетину плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі основи, як коло, еліпс, гіпербола та парабола.

Визначення. Утворюючий конус (L) називається будь-який відрізок, який з'єднує вершину конуса з межею основи конуса. Утворює відрізок променя, що виходить з вершини конуса.

Формули. Довжина утворює (L) прямого кругового конуса через радіус R і висоту H (через теорему Піфагора):

Визначення. Бічна поверхня Конуси - це сукупність всіх утворюють конуси. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом утворює по напрямній конусу.

Визначення. Висота конуса (H) - це відрізок, який виходить із вершини конуса і перпендикулярний до його основи.

Визначення. Ось конуса (a) - це пряма, що проходить через вершину конуса та центр основи конуса.

Визначення. Конусність (С) конуса - це відношення діаметра основи конуса до його висоти. У випадку зрізаного конуса - це відношення різниці діаметрів поперечних перерізів D і d зрізаного конуса до відстані між ними:

де C - конусність, D - діаметр основи, d - діаметр меншої основи і h - відстань між основами.

Конусність характеризує гостроту конуса, тобто кут нахилу, що утворює до основи конуса. Чим більша конусність, тим гостріший кут нахилу. кут конуса α буде:

Визначення. Осьовий переріз конуса - це переріз конуса площиною, що проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, у якого сторони утворені утворюючими, а основа трикутника – це діаметр основи конуса.

Визначення. Стосовна площина до конуса - це площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна до осьового перерізу конуса.

Визначення. Конус, що спирається на коло, еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно круговим, еліптичним, гіперболічним або параболічним конусом (останні два мають нескінченний обсяг).

Визначення. Прямий Конус - це конус у якого вісь перпендикулярна основі. У такого конуса вісь збігається з висотою, а всі утворюють рівні між собою.

Формули. Загальна площа поверхні (S_p) прямого кругового конуса через радіус R і довжину утворює L:

Визначення. Косий (похилий) Конус - це конус у якого вісь не перпендикулярна основі. У такого конуса вісь не збігається з висотою.

Визначення. Усічений Конус - це частина конуса, яка знаходиться між основою конуса і площиною перерізу, паралельна основі.

де S₁ та S₂ - площі меншої та більшої основи відповідно, а H та h - відстань від вершини конуса до центру нижньої та верхньої основи відповідно.

Рівняння конуса

2. Рівняння прямого еліптичного конуса в системі декартової координат з координатами ( x, y, z ):

Основні властивості кругового конуса

2. При обертанні прямокутного трикутника навколо свого катета на 360° утворюється прямий круговий конус.

3. При обертанні рівнобедреного трикутника навколо своєї осі на 180° утворюється прямий круговий конус.

4. У місці перетину конуса площиною, паралельною до основи конуса, утворюється коло. (Див. Зрізаний конус)

5. Якщо при перетині площина не паралельна основі конуса і не перетинається з основою, то в місці перетину утворюється еліпс (рис. 3).

6. Якщо площина перерізу проходить через основу, то у місці перетину утворюється парабола (рис. 4).

7. Якщо площина перерізу проходить через вершину, то в місці перетину утворюється рівнобедрений трикутник (див. осьовий переріз).

Конус у геометрії – елементи, формули, властивості з прикладами

Конусом називається тіло, отримане обертанням прямокутного трикутника навколо осі, що проходить через один із його катетів (рис. 126).

На малюнку 127 показано утворення конуса при обертанні прямокутного трикутника навколо прямої, якій належить катет. При цьому ламана описує поверхня конуса, гіпотенуза - бічну поверхню, а катет - підстава конуса (рис. 128). Саму гіпотенузу називають утворює конуса, нерухому точку - вершиною конуса, пряму, що проходить через нерухомий катет. віссю конуса, а перпендикуляр, опущений з вершини конуса на основу, заввишки конуса (рис. 129). Основа висоти конуса збігається з центром основи конуса.

Поверхня конуса можна розгорнути на площину, в результаті вийде сектор, що представляє бічну поверхню конуса, і коло, що представляє основу конуса. На малюнку 130 представлені конус та його розгортка.

Теорема 5.

Бічна поверхня конуса дорівнює добутку півкола його основи і утворює:

Доказ проведіть самостійно, використовуючи рисунок 130.

Важливою просторовою конфігурацією, яка часто зустрічається у завданнях, є поєднання конуса з площиною.

Якщо конус перетнути площиною, паралельною основі, то вийде коло (рис. 131), а якщо площиною, що проходить через вершину, то — рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони утворюють конуса (рис. 132).

Осьовий переріз конуса, тобто переріз площиною, що проходить через вісь конуса, є рівнобедреним трикутником, у якого основа дорівнює діаметру основи конуса (рис. 133).

Проведемо через вершину конуса січну площину і будемо її повертати навколо прямої, перпендикулярної осі конуса (рис. 134). При цьому основа трикутника-перетину буде коротшати, а його бічні сторони зближуватимуться до того моменту, поки не збігатимуться. Отримаємо площину, що повністю містить утворюючу і не має з конусом інших загальних точок. Така площина називається дотичною площиною конуса.

Теорема 6.

Якщо площина стосується конуса деякою твірною, то їй перпендикулярна площина, що проходить через цю утворюючу і вісь конуса.

Доказ:

Нехай площина стосується конуса з віссю утворює (рис. 135). Доведемо, що площина, що містить цю утворювальну і вісь, перпендикулярна до площини .

Проведемо пряму, яка перпендикулярна до утворюючої, перетинає вісь конуса в точці, відмінної від вершини. Через точку проведемо площину, перпендикулярну до осі, вона перетне конус по колу з центром і площину — по прямій, що стосується кола з центром. Ця дотична за якістю дотичної до кола перпендикулярна радіусу відповідного кола. Але цей радіус є проекцією похилої на площину, тому по теоремі про три перпендикуляри пряма перпендикулярна до похилої, тобто прямої.

Таким чином, пряма перпендикулярна до прямої і , які перетинаються і лежать у площині , тому за ознакою перпендикулярності прямої та площини пряма перпендикулярна до площини . Значить, площина, що містить пряму, перпендикулярна до площини.

Теорема 6 висловлює властивість дотичної площини конуса.

Теорема 7.

Площина стосується конуса, якщо вона проходить через його утворюючу і перпендикулярну площині, що проходить через цю утворюючу і вісь конуса.

Доказ:

Нехай площина проходить через утворюючу конуса з віссю та перпендикулярна до площини (рис. 136). Доведемо, що площина стосується конуса, тобто, що точки утворює , і тільки вони є спільними точками конуса і площини .

Точки, що утворює, належать і конусу, і площині. Нехай - яка-небудь точка площини поза твірною. Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі, вона перетинає поверхню конуса по колу з центром, що утворює — в деякій точці і площину — по прямій. Нехай — пряма, яка перпендикулярна до площини і перетинає вісь у точці . Тоді за теоремою про три перпендикуляри пряма , проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до неї, перпендикулярна до її проекції . Значить, - дотична до кола, і тому точка знаходиться поза коло, а значить, і поза конусом.

Теорема 7 висловлює ознака дотичної площини конуса.

Нехай є конус із вершиною (рис. 137). Впишемо в основу конуса багатокутник і через його вершини проведемо утворюючі. В результаті отримаємо тіло, що є пірамідою. Її називають пірамідою, вписаною в конус, а сам конус - конусом, описаним біля піраміди.

Якщо основа конуса вписана в основу піраміди, а бічна поверхня конуса стосується бічних граней піраміди, то кажуть, що піраміда описана біля конуса, або конус вписаний у піраміду (Рис. 138).

Теорема 8.

Обсяг конуса дорівнює третій частині добутку Рис. 139 т його основи та висоти:

Доказ:

Нехай є конус із віссю (рис. 139). У нього впишемо правильну піраміду, а біля нього опишемо правильну пі-раміду. Відповідно до теореми 4 обсяг першої піраміди дорівнює третій частці добутку площі багатокутника і висоти піраміди, т.е. е. висоти конуса, а об'єм другий - добутку площі багатокутника і тієї ж висоти. Обсяг самого конуса укладено між цими числами.

Збільшуватимемо кількість сторін основ пірамід.Тоді обсяг першої піраміди збільшуватиметься, обсяг другої — зменшуватиметься, причому їхня різниця прагне до нуля, якщо значення змінної необмежено збільшується. Те число, якого наближаються обсяги обох пірамід, приймається за обсяг конуса.

В описаному процесі висота піраміди не змінюється, а площі обох багатокутників - і - прагнуть площі кола, що є основою конуса. Отже, обсяг конуса дорівнює третій частині добутку площі основи конуса та його висоти:

Теорема 9.

Якщо конус перетнути площиною, паралельною його підставі, то:

• а) утворює та висота поділяються на пропорційні частини;
• б) площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини.

Використовуючи рисунок 140, доведіть цю теорему самостійно.

Сікуча площина, паралельна до основи конуса, поділяє його на дві частини (рис. 141). Одна з цих частин також є конусом, а інша – тілом, яке називається усіченим конусом.

Основа даного конуса та коло, отримане в перерізі, називають підставами усіченого конуса, а відрізок утворює даного конуса, укладений між його основою і січною площиною, утворює усіченого конуса (рис. 142). Висотою усіченого конуса називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї його основи до площини іншої основи.

Усічений конус можна отримати обертанням прямокутної трапеції навколо бокової сторони, до якої належать прямі кути (рис. 143).

Приклад:

Знайдемо бічну поверхню зрізаного конуса. Нехай є усічений конус, у якого радіуси основ і рівні і відповідно, а твірна дорівнює (рис. 144).

Добудуємо його до конуса.Добудована частина є конусом, у якого радіус основи дорівнює . Нехай утворює добудований конус дорівнює .

Бічна поверхня зрізаного конуса можна отримати як різницю бічних поверхонь і повного і добудованого конусів. Нехай і — довжини кіл нижньої і верхньої підстав усіченого конуса.

Знайдемо з огляду на подобу трикутників і :

Таким чином, бічна поверхня усіченого конуса дорівнює добутку напівсуми довжин кіл його основ і утворює.

Приклад:

Використовуючи рисунок 144, можна, як і для усіченої піраміди (див. параграф 9), довести, що обсяг усіченого конуса дорівнює третій частці добутку висоти конуса та суми площ та підстав конуса та їх середнього геометричного :

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.