Модель "Перевернутий клас". Конус. Усічений конус.
план-конспект уроку з геометрії (10 клас)

Учасники: студенти 22 групи, які навчаються за фахом 54.01.02. Ювелір.

При освоєнні професії СПО технічного профілю професійної освіти математика вивчається більш поглиблено як профільна навчальна дисципліна лише на рівні ФГОС середньої загальної освіти.

Технологія проведення: змішане навчання, модель «перевернутий клас»

Тривалість заняття: 90 хвилин (одна пара)

Мета: формування навичок вирішення практичних завдань на тему

«Конус. Усічений конус»

- Забезпечити засвоєння наступних основних знань: поняття конуса (усіченого конуса), його елементів. Формули площі поверхні конуса (усіченого конуса);

- сформувати такі вміння та навички: планування навчальної роботи, вирішення завдань, роботи з довідковим матеріалом, формування навичок самоконтролю.

- розвивати в учнів вміння виділяти головне, суттєве у досліджуваному матеріалі; формувати вміння порівнювати та узагальнювати досліджувані факти та поняття;

- розвивати в учнів самостійність мислення у процесі навчальної діяльності, використовуючи творчі завдання, самостійні вправи, узагальнення;

- Розвивати пізнавальні інтереси учнів.

- розвивати просторову уяву учнів, уміння застосовувати формули планіметрії під час вирішення стереометричних завдань;

- розвивати та вдосконалювати вміння застосовувати накопичені знання у зміненій ситуації;

Виховні: виховувати відповідальність за результат своєї праці. Формувати навички та вміння комунікативного спілкування, самооцінки та самоорганізації.

Тип уроку: навчальне заняття з вивчення та первинного закріплення нового матеріалу.

Актуалізація базових знань – фронтальне опитування

Розв'язання найпростіших завдань щодо готових креслень на обчислення елементів конуса. (Індивідуальна робота з карток з подальшою самоперевіркою)

Розв'язання задач на знаходження пощади поверхні конуса, усіченого конуса. (Спільна з викладачем діяльність)

Підбиття підсумків діяльності першої половини пари.

Первинне закріплення навичок розв'язання задач –

самостійна робота (по 3 завдання у кожному варіанті)

Розв'язання прикладних завдань (групова робота).

(Викладач – координатор діяльності)

Підбиття підсумків. Оцінювання.

1 ЕАП: Підготовча робота

Учням додому було запропоновано такі действия:

( Матеріал дано з надлишком, на вибір: або відео, або презентація, або текстовий файл. Кожен вибирає для себе те, що більш йому зрозуміло. Вивчає в певному для себе темпі)

1. Самостійно вивчити матеріал по темі уроку і переглянути файли, що дають уявлення про поняття, що вивчаються:

1. https://www.youtube.com/watch?v=9tX12GUc29o – відео урок
2. https://www.youtube.com/watch?v=Pl-KyG65o-E – відео урок
3. Презентація – Конус. Усічений конус»
4. Вирішити тестові завдання на закріплення вивченого матеріалу через Інтернет-сервіс Google - диск (причому тестові завдання студент може виконувати неодноразово доти, доки вірно відповість на всі запитання)

Тестові завдання містять питання знання визначень і найпростіші завдання обчислення його елементів.

1. Виписати в зошит основні визначення, формули та зробити замальовки конуса + усіченого конуса та його елементів, використовуючи теорію: Конус. Усічений конус. або https://ua.onlinemschool.com/math/formula/cone/ - конус

Таким чином, прийшовши на заняття, у студентів вже є первинні відомості про конус (усічений конус) як геометричній фігурі. Вони повинні знати визначення, основні елементи та властивості.

В результаті, у студентів до заняття є «готовий продукт» у формі конспекту зошита або роздруківки, наприклад:

Конус - це геометричне тіло, яке утворене сукупністю всіх променів, що виходять з точки і перетинають будь-яку плоску поверхню. У місці перетину утворюється основа конуса.

Усіченим конусом називається частина конуса, укладена між основою і січною площиною, паралельною основі.

1. Організаційний момент. Звучить епіграф до уроку: Єдиним джерелом знань є досвід. (А. Ейнштейн). А інший вчений Джордж Пойа писав: «Уміння вирішувати завдання – є мистецтво, що набуває практики». Сьогодні на уроці ми спробуємо торкнутися цього великого мистецтва вирішувати завдань. Повідомлення теми уроку та завдань діяльності.

II. Актуалізація базових знань.

Фронтальне опитування (з метою узагальнення знань та перевірки виконаної Д/З)

• Яка постать називається конусом? Тіло, обмеженою конічною поверхнею та навколо з кордоном L, називається конусом.
• Чому конус називають тілом обертання? Конус можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо однієї з його катетів.
• Назвіть види конусів? Похилий конус, прямий конус, усічений конус
• Назвіть елементи конуса. Основа конуса – коло. Висота конуса – це перпендикуляр, що з'єднує вершину конуса із центром основи.

Радіус конуса – це радіус його основи. Вісь конуса – це пряма, що проходить через центр основи конуса та вершину (вісь циліндра є віссю обертання конуса).

Утворююча конуса - це відрізок, що з'єднує вершину з відповідною точкою кола нижньої основи. Усі утворюючі мають однакову довжину.

Утворююча конуса при обертанні навколо осі утворює бічну (конічну) поверхню конуса.

Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор

• Назвіть основні види перерізів конуса. Яка постать виходить у кожному випадку? Осьовий переріз конуса – переріз конуса площиною, що проходить через вісь конуса. Усі осьові перерізи конуса – рівні рівнобедрені трикутники

Переріз площиною, паралельної осі циліндра. У перетині – прямокутники.

Круговий переріз конуса - переріз площиною перпендикулярної осі конуса. У перетині – коло. Перетин, що проходить через вершину, що не містить вісь конуса

ІІІ. Вирішення найпростіших завдань на обчислення елементів конуса.

(Індивідуальна робота з варіантів з подальшою самоперевіркою).

Наприклад: висота конуса дорівнює 15 см, радіус основи 8 см. Знайти його утворюючу.

IV. Розв'язання задач на знаходження пощади поверхні конуса, усіченого конуса .

1. Утворююча конуса дорівнює 25, висота 24. Знайти площу бічної та повної поверхні.
2. Знайти площу бічної та повної поверхні конуса, якщо радіус основи дорівнює 2 см, а твірна дорівнює 6 см.
3. Кут при підставі осьового перерізу конуса 30 0 радіус 6 см. SКЕ – переріз конуса, кут SКЕ дорівнює 30 0 . Знайти площу перерізу SКЕ.
4. Діаметри основ усіченого конуса 10 см та 16 см, висота 4 см. Знайти S п. п.

V. Розв'язання прикладних завдань (за групами – 4 особи)

1 група: Чому пожежне відро роблять у вигляді конуса? Скільки потрібно фарби, щоб пофарбувати пожежне відро, якщо на 100см² необхідно витратити 10г? Довжина кола основи відра С = 54см, довжина утворює ℓ = 38см.

Рішення: Для вирішення задачі треба виміряти:

а) довжину кола основи відра: С= 54см б) утворює: ℓ=38см

Знайти: Sбік. Sбік.= πRℓ С= 2πR R=

Sбок.= πRℓ= = Sбок.=54·38:2= 1026см² 1026:100·10·2=205,2г

2 група: Скільки квадратних метрів брезенту потрібно для спорудження намету конічної форми заввишки 4 метри та діаметром основи 6 метрів?

3 група: Обчисліть скільки метрів гірлянди знадобиться для прикраси ялинки? Гірлянди висітимуть під кутом 30 0 при вершині, висота ялинки – 12 м, а довжина ялинової гілки при основі – 5 м.

Рішення: Форму ялинки приймемо за конус з висотою 12м і радіусом основи – 5м. Нитки гірлянд закріплені на маківці ялинки і розподілені по бічній поверхні конуса через 30°. Скільки ниток гірлянд на ялинці? 360 ° : 30 ° = 12 (ниток). Як знайти довжину однієї нитки? Вона дорівнює утворює конуса. Розглянемо осьовий перетин конуса – рівнобедрений трикутник. З прямокутного НВС знаходимо ВС = 13 см.

Щоб знайти довжину всієї гірлянди, довжину нитки множимо на кількість ниток. Довжина гірлянди 12 · 13 = 156 (м) Відповідь: 156 м

4 група: Скільки квадратних метрів брезенту потрібно для спорудження намету конічної форми висотою 4 метри та діаметром основи 6 метрів?

На підгин та шви необхідно додати 5%.

Рішення: Дано: конус, h = 4 м, d осн = 6 м

Рішення: Намет має форму конуса, тому нам необхідно обчислити площу поверхні конуса. Ми знаємо, що S підлога = S осн + S бік , де S бік = πRℓ і S осн = πR 2

R = d :2 = 6:2 = 3(м) Розглянемо осьовий перетин конуса – рівнобедрений трикутник. Опустимо висоту (медіану) ВН. Вона розіб'є АВС на два рівні прямокутні трикутники. З ВНЗ за теоремою Піфагора знайдемо твірну, ВС = =5м.

S бік = πR ℓ= π· 3·5 = 15 π ≈ 47,1 (м 2 ),

S осн = πR 2 = 9π ≈ 28,26 (м 2 ),

S підлога = S осн + S бік = 75,36 ≈ 75,4(м 2 ) брезента

Знайдемо 5% від S підлогу, що складе 3,8 м2. Значить S = S підлога + 3,8 = 79,2 (м 2 )

5 група: Поняття «Освітленість» як фізична величина, чисельно рівна світловому потоку, що падає на одиницю поверхні, відома вам з курсу фізики. Освітленість прямо пропорційна силі світла джерела світла. А ми сьогодні будемо обчислювати площу освітлюваної поверхні.

Ліхтар встановлений на висоті 8 м. Кут розсіювання ліхтаря 120 °. Визначте, яку поверхню висвітлює ліхтар.

Рішення: Освітлювана поверхня – коло, основа конуса. Лампа ліхтаря – вершина конуса. Промені спрямовані на коло основи – утворюють конуса. Розглянемо осьовий перетин конуса. Це рівнобедрений трикутник. Опустимо висоту. Вона поділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники з гострими кутами в 30° і 60°.

З FOC за другою властивістю прямокутного трикутника знаходимо FC=16 м. За визначенням тангенсу (або теореми Піфагора) обчислюємо ОС=.

Площа освітлюваної поверхні дорівнює площі основи (кола).

S = π R 2 = 192 π ≈ 603(м 2 ). Відповідь: S = 603 м 2 .

Приклад домашнього завдання, яке студент повинен виконати у зошиті з подальшою перевіркою викладача.

(Видається на бланку або посиланням на документ)

Радіуси основ усіченого конуса 3м і 6м, висота 4 м.

Радіуси підстав усіченого конуса R та r. Утворююча нахилена до основи під кутом 45 0 . Знайти висоту.

Радіуси основ усіченого конуса 11см і 16см,

Утворює 13 см. Знайти відстань від центру верхньої основи до кола більшого.

Утворена зрізаного конуса дорівнює 2а і нахилена під кутом 60 0 . Радіус однієї основи вдвічі більший за радіус іншої основи. Знайти кожен із радіусів.

Площі основ усіченого конуса 4 і 25.Васота розділена на три рівні частини і через точки розподілу проведені площини паралельні основам. Знайти площу перерізів.

Радіуси підстав усіченого конуса 2 дм та 5 дм, висота 4 дм. Знайти S бік. п.

Радіуси підстав усіченого конуса R та r. Утворююча нахилена до основи під кутом 60 0 . Знайти бічну поверхню.

Радіуси основ усіченого конуса та його утворювальна відносяться як 1:4:5, висота дорівнює 8см. Знайти S бік. п.

Скільки оліфи потрібно для фарбування 100 відер конічної форми, якщо діаметри відра 25 см і

30 см, а твірна 27,5 см і якщо на 1 кв.м потрібно 150 г оліфи.

Радіуси підстав усіченого конуса 1см та 5см,

Утворює 5 см. Знайти радіус циліндра з такою самою висотою і такою самою величиною бічної поверхні.

Радіуси основ усіченого конуса 6см і 10см,

Утворює 5 см. Знайти:

а) радіус циліндра з такою ж висотою, повна поверхня якого була б рівновелика бічній поверхні даного зрізаного конуса;

б) радіус циліндра з такою ж висотою, повна поверхня якого була б рівновелика повної поверхні даного зрізаного конуса

Діаметри підстав усіченого конуса 10 см

16 див, висота 4 див. Знайти S п. п.

Конуси: визначення, перерізи, побудова

де - Позитивні параметри, що характеризують конус, причому .

Початок координат називається центром конуса (рис.4.44 а).

Конус є конічною фігурою, оскільки разом з будь-якою своєю точкою рівняння (4.50) задовольняють також усі точки при луча . Крапка , що належить конусу, є його твірною .

Плоскі перерізи конуса

Перетину конуса координатними площинами є пари прямих, що перетинаються, задовольняють у цих площинах рівнянням (при ) або (при . Підставляючи — довільна постійна (параметр), у рівняння (4.50), отримуємо

При цьому рівняння задовольняє одна речова точка - початок координат. При будь-якому відмінному від нуля значення параметра рівняння визначає еліпс з півосями. Отже, переріз конуса площиною та .

Таким чином, конус можна уявити як поверхню, утворену еліпсами, центри яких лежать на осі аплікат, а вершини належать координатним площинам (див. рис.4.44,а).

Круговий конус

При всі перерізи конуса площинами стають колами. Такий конус є фігурою обертання і називається прямим круговим конусом. Він може бути отриманий в результаті обертання, наприклад, прямий навколо осі, що утворює аплікат (рис.4.44,б).

1. Конус є лінійною поверхнею, оскільки може бути отриманий за допомогою прямої переміщення.

2. Конус, утворений асимптотами гіпербол, що виходять при перетині гіперболоїда площинами, що проходять через вісь, називається асимптотичним конусом цього гіперболоїду. На рис.4.44, зображений асимптотичний конус для однопорожнинного і двопорожнинного гіперболоїдів.

3. Конус (4.50) може бути отриманий із прямого кругового конуса (у якого і .

4.Початок канонічної системи координат є центром симетрії конуса, координатні осі осями симетрії конуса, координатні площини площинами симетрії конуса.

Справді, якщо точка належить конусу, то точки з координатами за будь-якого вибору знаків також належать конусу, оскільки їх координати задовольняють рівняння (4.50).

5. Розглянемо переріз прямого кругового конуса площинами, що не проходять через його вершину, наприклад, площинами , де в площині . Зауважимо, що утворюють конуса, що розглядається, в площині описуються рівнянням з кутовим коефіцієнтом в рівняння конуса, отримуємо

Це рівняння проекції на координатну площину лінії перетину площини з конусом. Обчислюємо інваріанти

При маємо. За таблицею 3.2 визначаємо, що перетин, що розглядається, який перетинає всі утворюють прямого кругового конуса, є еліпсом. При маємо. За таблицею 3.2 визначаємо, що розріз, що розглядається паралельно двом утворюючим кругового конуса, є гіперболою. При . За таблицею 3.2 визначаємо, що розріз, що розглядається паралельно однієї утворює кругового конуса, є параболою. Оскільки при афінних перетвореннях тип ліній не змінюється, такий висновок можна зробити для довільного конуса (4.50):

- Перетин конуса площиною, що перетинає всі його утворюють, є еліпсом (рис.4.45, а);

– переріз конуса площиною, паралельною двом його утворюючим, є гіперболою (рис.4.45 б);

– переріз конуса площиною, паралельною однією його твірною, є параболою (рис.4.45,в).

6. Конічні перерізи можуть бути взяті як еквівалентні визначення еліпса, гіперболи, параболи.