Досконалі числа

Досконалу красу чисел вперше помітили піфагорійці. Саме вони були першовідкривачами досконалих натуральних чисел. З тих далеких часів досконалі числа становлять особливий інтерес для математичних досліджень.

Досконале число - це число, що дорівнює сумі всіх своїх дільників, у тому числі одиниця, але виключаючи саме себе. Перше і найменше зі скоєних чисел — 6. Досконале число шість дорівнює сумі трьох своїх дільників 1, 2 і 3. Наступне довершене число 28=1+2+4+7+14. Далі в міру того, як натуральні числа зростають, досконалі числа зустрічаються все рідше. Третє досконале число - 496, четверте - 8128, п'яте - 2096128, шосте - 33550336, сьоме - 8589869056 (відповідно до послідовності A000396 в OEIS).

Цікаво дізнатися, що Мартін Гарднер у своїй книзі «Математичні новели» вперше побачив досконало чисел 6 і 28 особливий зміст. Згадайте, адже Бог створив світ за 6 днів. А Місяць оновлюється кожні 28 діб.

Перше велике досягнення у сфері теорії досконалих чисел була теорема Евкліда у тому, що число 2n-1(2n-1) — парне і досконале, у разі, якщо число 2n-1 просте.

Через багато століть Леонардо Ейлер довів справедливість теорії Евкліда. Таким чином, у формулі Евкліда містяться всі парні досконалі числа. За час вивчення досконалих чисел був знайдено жодного непарного досконалого числа. У зв'язку з цим вчені говорять лише про існування парних досконалих чисел. Однак це не виключає можливості їхнього існування. Невідома також достовірність припущення про нескінченність множини всіх досконалих чисел.

До речі, при більш детальному розгляді формули Евкліда можна побачити зв'язок досконалих чисел із членами геометричної прогресії 1, 2, 4, 8, 16, .

За допомогою формули Евкліда можна довести безліч властивостей досконалих чисел. Наприклад: всі досконалі числа, крім 6, можна як часткових сум низки кубів послідовних непарних чисел 13+33+53+. Не менш цікавою властивістю досконалих чисел є те, що сума величин, обернених усім дільникам досконалого числа, включаючи його самого, завжди дорівнює 2:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Цікаве уявлення досконалих чисел у двійковій формі та багато іншого. Слід зазначити, що всі парні досконалі числа (крім 6) закінчуються в десятковому записі на 16, 28, 36, 56, 76 чи 96.

Крім того, всі парні досконалі числа є трикутними числами, що означає, якщо взяти досконале число куль, завжди можна скласти з них рівносторонній трикутник. Також скоєні числа є шестикутними і можуть бути представлені у вигляді n(2n−1).

Досконалі числа

Досконалу красу чисел вперше помітили піфагорійці. Саме вони були першовідкривачами досконалих натуральних чисел. З тих далеких часів досконалі числа становлять особливий інтерес для математичних досліджень.

Досконале число - це число, що дорівнює сумі всіх своїх дільників, у тому числі одиниця, але виключаючи саме себе. Перше і найменше зі скоєних чисел — 6. Досконале число шість дорівнює сумі трьох своїх дільників 1, 2 і 3. Наступне довершене число 28=1+2+4+7+14. Далі в міру того, як натуральні числа зростають, досконалі числа зустрічаються все рідше. Третє досконале число - 496, четверте - 8128, п'яте - 2096128, шосте - 33550336, сьоме - 8589869056 (відповідно до послідовності A000396 в OEIS).

Цікаво дізнатися, що Мартін Гарднер у своїй книзі «Математичні новели» вперше побачив досконало чисел 6 і 28 особливий зміст. Згадайте, адже Бог створив світ за 6 днів. А Місяць оновлюється кожні 28 діб.

Перше велике досягнення у сфері теорії досконалих чисел була теорема Евкліда у тому, що число 2n-1(2n-1) — парне і досконале, у разі, якщо число 2n-1 просте.

Через багато століть Леонардо Ейлер довів справедливість теорії Евкліда. Таким чином, у формулі Евкліда містяться всі парні досконалі числа. За час вивчення досконалих чисел був знайдено жодного непарного досконалого числа. У зв'язку з цим вчені говорять лише про існування парних досконалих чисел. Однак це не виключає можливості їхнього існування. Невідома також достовірність припущення про нескінченність множини всіх досконалих чисел.

До речі, при більш детальному розгляді формули Евкліда можна побачити зв'язок досконалих чисел із членами геометричної прогресії 1, 2, 4, 8, 16, .

За допомогою формули Евкліда можна довести безліч властивостей досконалих чисел. Наприклад: всі досконалі числа, крім 6, можна як часткових сум низки кубів послідовних непарних чисел 13+33+53+. Не менш цікавою властивістю досконалих чисел є те, що сума величин, обернених усім дільникам досконалого числа, включаючи його самого, завжди дорівнює 2:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Цікаве уявлення досконалих чисел у двійковій формі та багато іншого. Слід зазначити, що всі парні досконалі числа (крім 6) закінчуються в десятковому записі на 16, 28, 36, 56, 76 чи 96.

Крім того, всі парні досконалі числа є трикутними числами, що означає, якщо взяти досконале число куль, завжди можна скласти з них рівносторонній трикутник. Також скоєні числа є шестикутними і можуть бути представлені у вигляді n(2n−1).