Кратне та дільник

Якщо одне натуральне число ділиться без залишку на інше натуральне число, то перше називається кратним другого, а друге - дільником першого.

Кратне числа - це поділення, яке ділиться на даний дільник без залишку.

Дільник числа — це дільник, який ділене ділиться без залишку.

приклад. Візьмемо, наприклад, такий поділ:

Число 6 ділиться на число 3 без залишку. Отже, число 6 – кратне числа 3, а число 3 – дільник числа 6.

Нехай m і n - натуральні числа, якщо число m є кратним числа n, то кажуть: m кратно n або m ділиться на n

приклад. 6 разів 3 (шість разів трьом) або 6 ділиться на 3 (шість ділиться на три).

Найменшим кратним будь-якого натурального числа є саме це число, тому що будь-яке натуральне число можна розділити саме на себе без залишку (в приватному завжди буде одиниця).

приклад. Для числа 7 найменшим кратним є число 7, для числа 2 число 2:

7: 7 = 1 (сім кратно семи);

2 : 2 = 1 (два рази двом).

Для будь-якого натурального числа існує безліч кратних. Отримати кратне для цього числа досить легко, можна просто помножити його на будь-яке натуральне число, отриманий твір і буде його кратним.

приклад. Отримаємо кратне числа 5, помноживши його, наприклад, на 2:

Число 10 - кратне числа 5:

Оскільки одиницю ділиться будь-яке натуральне число, то число 1 є дільником будь-якого натурального числа.

Що таке кратне число

Доброго дня, шановні читачі блогу KtoNaNovenkogo.ru. У цій статті ми розповімо, що таке КРАТНІ ЧИСЛА.

Цю тему кожен школяр у Росії проходить у 6 класі, коли докладно вивчають поділ.

Хоча з цією математичною функцією діти знайомляться набагато раніше – вже у 2 класі.

Кратне число - це.

Поділ – це математична операція, завдяки якій можна дізнатися, скільки частин чогось одного міститься в іншому. Або, іншими словами, замінює багаторазове віднімання з одного числа інше.

Операція поділу в математиці може бути позначена різними значками. Це двокрапка (:), коса риса (/), горизонтальна риса (-) або спеціальним значком під назвою «обелюс» (÷).

А у чисел, які беруть участь у розподілі, є певні назви:

1. Ділене - те число, яке збираються ділити;
2. Дільник - число, на яке ділитимуть ділене. Відповідно, дільник найчастіше менше ділимого. Хоча не виключено й інший варіант. Єдине число, яке може бути дільником, це нуль.
3. Приватне – результат поділу, тобто число, що у результаті виконання математичного дії.

Приватне, яке виходить повним чи повним. Перший варіант, коли число-ділене, було повністю поділено на дільник. Наприклад, 12/3 = 4. Але бувають варіанти і з неповним приватним, коли з'являється якийсь залишок. Наприклад, 14/3 = 4 (2), де 4 – це неповне приватне, а 2 – залишок.

Чому ми так докладно розповіли про поділ? Це безпосередньо стосується теми статті.

Одне число називається кратним іншому, якщо його можна на нього поділити без залишку.

Але йдеться лише про натуральні числа. Тобто тих, які ми використовуємо для рахунку у звичайному житті. Наприклад, 1, 2, 5, 10, 35, 100 і таке інше. У цьому дробові числа (наприклад, 2/5 чи 0,5) до натуральним не ставляться, отже, щодо них поняття «кратності» не застосовується.

Наприклад, Візьмемо число 12.Воно може бути кратне відразу кільком числам.

12 / 3 = 4
12 / 4 = 3
12 / 6 = 2
12 / 2 = 6

Таким чином, можна сказати, що 12 - кратне число 2, 3, 4 і 6. І так само можна розкласти по кратності будь-яке число.

Уважний читач міг би заперечити, що є ще два числа, на які можна поділити 12 без залишку. По-перше, це 12. А по-друге, це одиниця. Що ж, це абсолютна правда, і її можна навіть записати в одному математичному правилі:

Будь-яке натуральне число завжди кратно само собі та одиниці. У першому випадку виходить одиниця, а у другому саме число.

Таблиці чисел кратних 2,3,4,5,6,7,9

Насамперед розглянемо найпростіший варіант. Це числа, які є кратними двом. Визначити їх дуже просто, оскільки до них належать усі парні числа. Ось, наприклад, виглядає таблиця від 1 до 100.

А ось так виглядатиме таблиця чисел кратних трьом. Зверніть увагу, що всі вони в результаті знаходяться по діагоналі. Виходить дуже гарно.

Тепер покажемо таблицю чисел, які можна поділити без залишку на 4. Як можна побачити, це лише парні цифри.

А ось так виглядає таблиця чисел, які кратні п'ять. Запам'ятати їх дуже просто. Числа, кратні п'яти, повинні закінчуватися або 5, або 0. Інших варіантів просто не може.

А якщо поглянути на таблицю чисел, які кратні числу 6, можна зробити цікавий висновок. Є числа, які ніколи не потраплять до цієї категорії. Вони закінчуються на 1, 3, 5, 7 і 9. Іншими словами, лише парні числа можуть бути кратними 6. Але при цьому не всі парні числа є такими.

Цікаво буде подивитися та таблицю чисел, які є кратними 7. Щоб визначити їх, потрібно ходити по таблиці вниз, як ходити шахова фігура «кінь».У народі це називається «букою Г», у нашому випадку це «крок вліво і два кроки вниз».

І нарешті, цікаво розглянути числа, які кратні 9. Їх дуже легко визначити, чи це своєрідний математичний лайфхак.

Треба просто скласти всі цифри в числі, і якщо в сумі вийде 9, тоді число кратно дев'ятці.

Так, тут вказані ще й числа 18 та 27. Але вони при повторному додаванні також дадуть дев'ятку.

Замість ув'язнення

А знаєте, що є число, яке можна назвати кратним усім іншим натуральним числам? Це нуль. Адже якщо нуль поділити на будь-яке число, то вийде знову ж таки нуль. І жодного залишку. А значить, це твердження є вірним.

Ось і все, що ми хотіли розповісти про КРАТНІ ЧИСЛА.

Успіхів вам! До швидких зустрічей на сторінках блоґу KtoNaNovenkogo.ru

Ця стаття відноситься до рубрик:

Коментарі та відгуки (3)

Тут треба запам'ятати лише одне, те, що число має ділитися без залишку, а далі все буде просто і для цього навіть жодної таблиці не треба.

Але до речі, за таблиці все одно спасибі. Зараз моя якраз у школі проходить, і роздрукувала їй, щоб було просто зрозуміліше. Не знаю, нас якось краще навчали чи що. У мене ця тема взагалі у школі труднощів ніяких не викликала, а сучасні школярі взагалі не розуміють, що це таке.

Все коротко і ясно. Нема слів. Дякую.

Ваш коментар чи відгук

Дільники та кратні

У цій статті буде розглянута тема: «Дільники та кратні», наведено конспект з усіма необхідними визначеннями та правилами, а також розібрано приклади. Тож поїхали. З основними поняттями цієї теми прийнято знайомиться у курсі математики за 5 клас.

Якщо одне число ділиться на інше, то для опису їхнього взаємозв'язку використовуються слова «дільник» та «кратне».

Якщо одне натуральне число повністю ділиться на інше натуральне число, то перше число називають кратним другому числу, а друге число називають дільником першого числа.

Дільник числа

Якщо число a ділиться на число b, то число b називають дільником числа a.

Приклад #1. Знайдемо усі дільники числа 24.

Два дільники числа 24 очевидні. Це 1 і 24. Далі перевірятимемо всі числа поспіль починаючи з 2. Отримаємо ще шість дільників: 2, 3, 4, 6, 8, 12. Таким чином, число 24 має 8 дільників: 1, 2, 3, 4, 6 , 8, 12, 24.

Цей перебір можна скоротити, якщо знайшовши один дільник, записати відразу ж і інший, що є приватним від розподілу числа 24 на знайдений дільник. Такі пари дільників зручно записувати один під одним

Часто під час вирішення завдань доводиться шукати спільні дільники двох чи більше чисел. Візьмемо якісь два числа, наприклад, 30 і 45. Знайдемо всі дільники кожного з них і підкреслимо їх спільні дільники

Дільники числа 30:  1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Дільники числа 45:  1, 3, 5, 9, 15, 45.

Бачимо, що у чисел 30 і 45 є спільні дільники % 1, 3, 5, 15. Найбільший із них — чило 15. Його називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

З допомогою перебору ми встановили, що НОД(30;45) = 15.

Найбільший загальний дільник чисел a та b позначають так: НОД(a;b).

Кратні числа

Коли одне число ділиться інше, то описи їх взаємозв'язку використовують як слово «ділитель», а й слово «кратне».

Якщо число a ділиться на число b, то кажуть, що число a — кратне числа b (або число a кратне числу b).

Наприклад, число 45 поділяється на 9.Можна сміливо сказати, що число 9 є дільником 45 чи що число 45 — кратне числа 9.

"Кратний" - слово російського походження. "Кратний" означає "відоме число разів" - так говориться в тлумачному словнику старовинних термінів. Але в сучасній мові ми використовуємо слова з коренем "крат", наприклад: одногратно, багаторазово.

За допомогою перебору можна знайти всі дільники числа. А як справи з кратним?

Розглянемо, наприклад, числа, кратні 10. Для цього послідовно множитимемо 10 на 1, 2, 3, 4, 5 і т.д. Отримаємо наступну послідовність: 10, 20, 30, 40, 50, ….

Ця послідовність, як і натуральний ряд, нескінченна, і всі числа, кратні 10, не можна виписати. Зверніть увагу на те, як будується ця послідовність: у ній першим йде число 10 і кожне наступне число на 10 більше за попереднє.

• Будь-яке натуральне число має безліч кратних.
• Найменшим із кратних натурального числа є саме це число.

Візьмемо якісь два числа, наприклад 8 і 6. Будь-яке число, що ділиться на 8, і на 6, є їх загальним кратним, і таких нескінченних чисел багато. Це, наприклад, добуток чисел 8 і 6, що дорівнює 48, числа 96, 192, 240. Однак при вирішенні багатьох завдань важливо знати найменше загальне кратне розглянутих чисел.

Знайдемо найменше загальне кратне 6 і 8. Перебиратимемо числа, кратні більшому їх, тобто. числу 8, і в кожному випадку перевіряти, чи це кратне ділиться на 6. Число 8 на 6 не ділиться, число 16 також не ділиться, а ось число 24 вже ділиться на 6. На цьому перебір можна закінчити, так як число 24 - перше число в натуральному ряду, яке поділяється на 8 та 6. Отже, НОК(6, 8) = 24.

Приклади та завдання на тему: «Дільники та кратні»

Приклад #2. Знайдемо всі дільники та кратні числа 8.
Рішення:
Два дільники числа 8 очевидні. Це 1 і 8. Далі перевірятимемо всі числа поспіль починаючи з 2. Отримаємо ще два дільники: 2, 4. Таким чином, число 8 має 4 дільники: 1, 2, 4, 8.

Далі знайдемо числа кратні 8. Для цього послідовно множитимемо 8 на 1, 2, 3, 4, 5 і т.д. Отримаємо таку послідовність: 8, 16, 24, 32, 40, ... - Всі ці числа є кратними 8.

Приклад #3. Знайдемо всі дільники та кратні числа 36.
Рішення:
Два дільники числа 36 очевидні. Це 1 і 36. Далі перевірятимемо всі числа поспіль починаючи з 2. Отримаємо такі дільники: 2, 18, 3, 12, 4, 9, 6. Таким чином, число 36 має 9 дільників: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Далі знайдемо числа кратні 36. Для цього послідовно множитимемо 36 на 1, 2, 3, 4, 5 і т.д. Отримаємо таку послідовність: 36, 72, 108, 144, 180, ... - Всі ці числа кратні 36.

Приклад #4. Знайдемо всі дільники та кратні числа 9.
Рішення:
Два дільники числа 9 очевидні. Це 1 і 9. Далі перевірятимемо всі числа поспіль починаючи з 2. Отримаємо наступні дільника: 3. Таким чином, число 9 має 3 дільники: 1, 3, 9.

Далі знайдемо числа кратні 9. Для цього послідовно множитимемо 9 на 1, 2, 3, 4, 5 і т.д. Отримаємо таку послідовність: 9, 18, 27, 36, 45, ... - Всі ці числа кратні 9.

Приклад #5. Знайдемо всі дільники та кратні числа 2.
Рішення:
Два дільники числа 2 очевидні. Це 1 і 2. Більше дільників у 2 немає. Таким чином, число 2 має 2 дільники: 1, 2.

Далі знайдемо числа кратні 2. Для цього послідовно множитимемо 2 на 1, 2, 3, 4, 5 і т.д. Отримаємо наступну послідовність: 2, 4, 6, 8, 10, ... - Всі ці числа кратні 2.

Приклад #6. Знайдемо число дільників та кратні числа 5.

Рішення:
Два дільники числа 5 очевидні. Це 1 і 5. Більше дільників у 5 немає.Таким чином, число 5 має 2 дільники: 1, 5.

Далі знайдемо числа кратні 5. Для цього послідовно множитимемо 5 на 1, 2, 3, 4, 5 і т.д. Отримаємо таку послідовність: 5, 10, 15, 20, 25, ... - Всі ці числа кратні 5.

Приклад #7. Виберіть усі кратні числа 5: 1, 2, 5, 10, 15, 50, 51, 55.

Рішення:
Згадаймо таблицю множення на 5
З представлених числа кратно 5 такі: 5, 10, 15, 50, 55.

Отже ми розглянули як знаходити дільники та кратні для числа. Якщо у вас залишилися питання — ставте їх у коментарі.

Приклад #8. Виберіть усі кратні числа 10: 1, 2, 5, 10, 15, 50, 70, 85.

Рішення:
Згадаймо таблицю множення на 10. З представлених числу 10 кратні такі: 10, 50, 70.

Отже ми розглянули як знаходити дільники та кратні для числа. Якщо у вас залишилися питання — ставте їх у коментарі.

Приклад #9. Кожен крок чарівних чобіт-скороходів складає 7 миль. Скільки миль у них можна пройти?
Варіанти відповіді: 4 милі, 14 миль, 17 миль, 23 милі, 28 миль, 56 миль.
Рішення:
Для розв'язання цієї задачі слід знайти всі числа кратні 7. Це 14, 28 та 56.
Відповідь: У чарівних чоботях-скороходах можна пройти 14, 28 або 56 миль

Отже ми розглянули як знаходити дільники та кратні для числа. Якщо у вас залишилися питання — ставте їх у коментарі.

• Джерело: Математика. Арифметика. Геометрія. Підручник 5 клас. Бунемович Є.А., Дорофєєв Г.В. Суворова С.Б та ін.