Які фрази є висловлюваннями

1.2. Основи математичної логіки

І не лише математичною, а взагалі здоровою, як я вже зазначав.

1.2.1. Висловлювання та висловлювальні форми

Висловлювання – це пропозиція, про яку можна сказати, істинно вона чи хибна. Висловлювання зазвичай позначають малими латинськими літерами , які істинність / хибність одиницею і нулем відповідно:
– цей запис (Не плутати з модулем!) повідомляє нам про те, що висловлювання істинно;
– а цей запис – про те, що висловлювання хибно.

Наприклад:
– люди не літають як птахи;
- Земля плоска;
- Двічі два буде два;
– п'ять більше, ніж три.

Цілком зрозуміло, що висловлювання та істинні: ,
а висловлювання та – хибні: .

Зрозуміло, далеко ще не всі пропозиції є висловлюваннями. До таких, зокрема відносяться запитальні та спонукальні пропозиції:
Ви не підкажете, як пройти до бібліотеки?
Ходімо в лазню!

Очевидно, що тут не йдеться про істину чи брехню. Як не йдеться про них мови і у випадках невизначеності чи неповної інформації:

Завтра Петя складе іспит - Навіть якщо він все вивчив, то не факт, що здасть; і навпаки – якщо нічого не знає, то може й здасть на шару. …Та гаразд, Співати, не переживай – здаси =)

- А тут ми не знаємо, чому одно «ен», тому це теж не висловлювання.

Однак останню пропозицію можна довизначити до висловлювання, А точніше, до висловної форми, вказавши додаткову інформацію про ен. Як правило, висловлювальні форми записуються з так званими кванторами. Їх два:

- Квантор спільності (перегорнута буква A – від англ. All) розуміється і читається як "для всіх", "для будь-якого (ой) (их)";

- Квантор існування (розгорнута буква E – від англ. Exist) розуміється і читається як «існує».

Приклади:
– для будь-якого натурального числа виконано нерівність. Ця висловлювальна форма хибнаоскільки їй, очевидно, не відповідають натуральні числа.
– а ось це висловлювальна форма вже істинна, як істинно і, наприклад, таке твердження:
…Ну, а що, хіба існує натуральне число, яке менше, ніж –10?

Промовляємо висловлювальні форми вголос.

…Молодці! Який дружній хор! І я застерігаю вас від необачного використання квантора спільності, бо «для будь-якого» може насправді виявитися зовсім не для будь-кого.

Далі. Я думаю, значить, я існую:
- Існує натуральне число, яке більше двох. Істина.

А ось це ось: - Брехня. І посперечатися важко.

Нерідко квантори працюють «в одній упряжці»:
- Для будь-якого вектора "а" існує протилежний йому вектор. Величезна істина, А точніше, аксіома (Твердження, що приймається без доказу) векторний простір.

Зверніть увагу, що Квантор існування має на увазі сам факт існування об'єкта (хоча б одного), який задовольняє певним характеристикам. Нехай у світі існують єдина снігова людина, але ж існують. …Чи ні? Більше того, в математиці (як шкільній, так і вищій) доводиться безліч теорем на існування і якраз єдиність чогось. Доказ такий теореми складається з двох частин:

1) Існування об'єкта, що задовольняє певним критеріям У цій частині обґрунтовується сам факт його існування.

2) Єдиність даного об'єкта. Цей пункт доводиться, як правило, методом від протилежного, Т. е.передбачається, що існує 2-й об'єкт з такими ж характеристиками і потім це припущення спростовується.

Школярів, втім, намагаються не лякати подібною термінологією, і теорема часто подається в завуальованому вигляді, наприклад:

У будь-який трикутник можна вписати коло, причому лише одну

До речі, а що таке загалом теорема? Логічну суть цього страшного слова ми дізнаємося дуже скоро.

Автор: Олександр Емелін

Висловлювання

Висловлювання — це граматично правильна оповідна пропозиція (див. Пропозиція) певного мови (природного або штучного - див. Мова), яке висловлює деяку сенс і є або істинним, або хибнимале не тим і іншим відразу. Зазвичай, висловлювання носять дескриптивний, чи описовий характер, та його основним завданням є опис певної реальності. Тим самим висловлювання виявляється або істинним або хибним; іноді допускається, що воно здатне приймати деякі «невизначені» значення істинності, проміжні між повною істиною та повною брехнею. Висловлювання, що розуміється таким чином, протиставляється зазвичай наказовим, запитальним, безглуздим і взагалі будь-яким іншим пропозиціям (наприклад, оцінки, норми, тимчасові твердження, що змінюють своє значення істинності з плином часу), оцінка істинності чи хибності яких неможлива. Поряд з оцінкою істинності висловлювання також розглядається у зв'язку з тими чи іншими модальностями ("ймовірно", "можливо", "неможливо", "необхідно" та іншими). У сучасній логіці висловлювання формалізуються і застосовуються, головним чином, при застосуванні логічних обчислень у будь-якій конкретній галузі об'єктів.За визначенням, будь-яке висловлювання має граматичні і логічні аспекти. Граматичний аспект висловлювання виражається оповідальною пропозицією (простою чи складною), а логічний — її змістом і істинним значенням. Висловлювання, що включає інші висловлювання, називається складним (Складовим); що не включає таких — простим (Неподільним). Будь-яке висловлювання висловлює деяку думка, що є його змістом і званою змістом висловлювання. Та чи інша істинна оцінка висловлювання називається його істинним значенням. Об'єкт, до якого належить висловлювання, називається предметом висловлювання. У зв'язку з мовною практикою виділяють методи вживання висловлювань. Мається на увазі, що висловлювання вживається ствердно, якщо метою його вживання є вираження правдивої думки. Ствердне вживання висловлювання — це найчастіше вживання, оскільки висловлюючи свої думки, люди зазвичай претендують з їхньої істинність. Але висловлювання можна використовувати просто як синтаксичне вираз. У разі, коли істинність змісту висловлювання однозначно не стверджується, мається на увазі нествердне вживання висловлювання. Одним із способів нествердного вживання висловлювань є їх непряме вживання. Воно має на меті не утвердження істинності думки, а лише передачу її змісту. Від різних видів вживання висловлювань слід відрізняти їх цитування, яке має на меті повідомити точний текст висловлювання (і лише за допомогою цього повідомлення висловити думку, що міститься в ньому).Тому цитовані висловлювання (які зазвичай входять до складу інших висловлювань) виділяються за допомогою тих чи інших знакових засобів (наприклад, за допомогою лапок). Непряме вживання висловлювань мало зустрічається у найбільш уживаних логічних обчисленнях, оскільки його припущення призводить до значних труднощів у формалізації. У природних мовах оцінка висловлювань з погляду істинності часто залежить від цього, хто, коли у якому контексті застосував те чи інше висловлювання. Виразом цієї залежності є слова-індикатори, що включаються до висловлювань: «я», «ти», «тепер», «там», і так далі; Значення цих слів буває різним залежно від ситуації. При побудові штучних мов - інтерпретованих обчислень математичної логіки або мов-посередників при перекладі з однієї природної мови на іншу (див. Формалізована мова) - відволікаються від залежності оцінки висловлювання від зазначених обставин, тобто виключають із розгляду прагматику мови (див. Семіотика), що дозволяє зробити поняття «висловлювання» точнішим. При побудові найелементарнішого логічного обчислення — двозначного обчислення висловлювань — виходять лише з розчленування висловлювань складові висловлювання. Ті висловлювання, які піддаються подальшому членування на складові, називаються елементарними. З них за допомогою логічних спілок (зазвичай для цього вибирається п'ять загальновідомих граматичних зв'язок: «ні», «і», «або», «якщо…, то» та «якщо…, і тільки якщо») складаються складні висловлювання. При побудові обчислення предикатів виходять із глибшого розчленування висловлювань окремі терміни (та інші мовні освіти).У основі аналізу висловлювань (зокрема елементарних) математичної логіки перебуває поняття предикату, чи логічної функції, тобто функції, яка кожному предмету аналізованої області предметів відносить або істину, або брехня. Логічні функції — те, що у логічному обчисленні зазвичай відповідає поняттям змістовного людського мислення. Наприклад, логічна функція, яка кожному з чисел 1 і 2 відносить істину, а кожному з чисел 3, 4, 5, … і так далі - брехня, відповідає поняттю "бути менше 3" (область предметів - цілі позитивні числа). Висловлювання, які у мові логічні функції, власними силами не істинні і хибні, тобто є висловлюваннями. Такі вирази містять змінні і перетворюються на висловлювання під час підстановки замість них імен предметів з даної галузі (див. Ім'я). Таке, наприклад, вираз «x <3»; якщо замість «x» у нього підставити «1», ми отримаємо справжнє висловлювання, і якщо «5» — хибне. Іншим способом утворення висловлювань із висловлювань, що представляють логічні функції, є операції зв'язування змінних кванторами спільності чи існування, яким у мові відповідають слова «все» («для всякого») та «існує» («деякі»). Цим способом ми отримаємо висловлювання «для кожного x вірно, що x < 3» і «існує таке x, Що менше 3 », перше з них хибно, а друге істинно. У логічних обчислення з висловлюваннями мають справу головним чином при застосуванні обчислень до конкретних галузей науки. У формулах самих обчислень фігурують переважно звані змінні висловлювання.Змінне висловлювання немає висловлювання у справжньому значенні, оскільки питання про його істинності чи хибності немає сенсу; це — змінна для висловлювання, тобто символ, місце якого можна підставляти конкретні висловлювання (чи його імена). Щоб підкреслити відмінність змінних висловлювань від цих висловлювань, останні часто називають постійними висловлюваннями. Застосування змінних висловлювань служить висловлювання загальності: воно дозволяє формулювати закони обчислення будь-яких висловлювань цього виду. У деяких обчисленнях також вводяться постійні висловлювання. При аксіоматичному побудові логічних обчислень (див. Метод аксіоматичний) до тих пір, поки не дана інтерпретація обчислення, поняття постійного та змінного висловлювання не мають змісту, який зазначено вище, а розглядаються просто як символи, що вводяться спеціальними визначеннями. Однак ці визначення підбираються так, щоб при інтерпретації обчислення формально певні поняття збіглися зі змістовними поняттями про постійне та змінне висловлювання. Жодне літочислення неспроможна відобразити всі логічні властивості різноманітних видів виразів, які у природних мовах. Будь-яке логічне обчислення виходить з деяких ідеалізованих уявлень про зміст, що формалізується. Від висловлювання, наприклад, потрібно, щоб він був або істинним, або хибним і до того ж обов'язково одне з двох. Але існують пропозиції, що не задовольняють безпосередньо цій вимогі. Вони потребують уточнення. Це насамперед відноситься до виразів, що за формою є граматично правильними пропозиціями, але не мають сенсу.Зазвичай в таких випадках буває можливо так уточнити зміст термінів, щоб вираз, що розглядається, стало істинним або помилковим. У логічних обчисленнях і дедуктивних теоріях поняття осмисленого виразу визначається зазвичай незалежно від поняття істинного (або хибного) виразу, і істинні значення, істина і брехня відносяться лише до осмислених виразів, які в таких випадках і називають висловлюваннями. Слід зазначити, що поряд з терміном «висловлювання» іноді вживають також терміни «пропозиція» і «судження» - або як синоніми або за ними закріплюються значення, що їх розрізняють. Розрізнення зазначених понять відноситься до логічної семантики (див. Логічна семантика), при цьому в логічній та філософській літературі з ним пов'язаний ряд дискусій. У цілому нині, дані розрізнення зводяться до наступного. Пропозицію як синтаксичну освіту, що розглядається лише за формою, незалежно від змісту та оцінок істинності чи модальності, називають граматичною пропозицією. Висловлювання, що належать різним мовам і навіть тому самому мові, можуть висловлювати одну й ту саму думку. Якщо пропозиції, які мають однаковий зміст, але розрізняються як синтаксичні утворення, розглядаються як одне й те саме висловлювання, їх називають судженнями. Слід, проте, пам'ятати, що у сучасної логіці (див. Логіки некласичні) зазвичай користуються терміном «висловлювання», тоді як термін «судження» використовувався у традиційній логіці (див. Логіка). У цілому нині, перелік різних видів висловлювань, досліджуваних логікою, показує, що область поняття висловлювання є гетерогенною і немає чітких кордонів.

Бібліографія

Гілберт Д., Аккерман Ст. Основи теоретичної логіки.- М., 1947.
Жегалкін І. І. Про техніку обчислень пропозицій у символічній логіці. - "Математичний збірник", 1927, т. 34, випуск 1, с. .
Жегалкін І. І. Арифметизація символічної логіки. - "Математичний збірник", 1928, т. 35, випуск 3-4, с. .
Тaрський А. Введення в логіку та методологію дедуктивних наук. - М., 1948, с. .
Новіков П. С. Елементи математичної логіки. - М., 1959, гол. .
Сhurch A., Introduction to mathematical logic, v. 1. - Princeton, 1956.
Фреге Г. Логічні дослідження .. - Томськ, 1997.
Черч А. Введення у математичну логіку. - М., 1960.
Frege G. Funktion und Begriff. - Jena, 1891.
Frege G. Über Sinn і Bedeutung, «Z. Philos, und philosophische Kritik». - Leipzig, 1892, Bd 100, H. l, S. .
Frege G. Grundgesetze der Arithmetik, begriffschriftlich abgeleitet. Bd l. - Jena, 1893, S. .
Stegmüller W. Das Wahrheitsproblem und die Idee der Semantik. - W., 1957.