Постійна Больцмана: значення та фізичний сенс

Як точна кількісна наука, фізика не обходиться без набору дуже важливих постійних, що входять як універсальні коефіцієнти рівняння, що встановлюють зв'язок між тими чи іншими величинами. Це фундаментальні константи, завдяки яким подібні співвідношення набувають інваріантності та здатні пояснювати поведінку фізичних систем на різному масштабі.

До таких параметрів, що характеризують властиві матерії нашого Всесвіту властивості, належить і постійна Больцмана – величина, що входить до ряду найважливіших рівнянь. Однак перш ніж звертатися до розгляду її особливостей і значення, не можна не сказати кількох слів про вченого, ім'я якого вона носить.

Людвіг Больцман: наукові заслуги

Один із найбільших вчених XIX століття, австрієць Людвіг Больцман (1844–1906) зробив істотний внесок у розвиток молекулярно-кінетичної теорії, став одним із творців статистичної механіки. Був автором ергодичної гіпотези, статистичного методу описі ідеального газу, основного рівняння фізичної кінетики. Багато працював над питаннями термодинаміки (H-теорема Больцмана, статистичний принцип другого початку термодинаміки), теорії випромінювання (закон Стефана – Больцмана). Також порушував у своїх роботах деякі питання електродинаміки, оптики та інших розділів фізики. Ім'я його увічнено у двох фізичних константах, про які піде нижче.

Людвіг Больцман був переконаним та послідовним прихильником теорії атомно-молекулярної будови речовини.Протягом багатьох років він змушений був боротися з нерозумінням і неприйняттям цих ідей у ​​науковому співтоваристві того часу, коли багато фізиків вважали атоми та молекули зайвою абстракцією, у кращому разі умовним прийомом, який служить для зручності розрахунків. Болісно і нападки консервативно налаштованих колег спровокували у Больцмана важку депресію, не винісши якої, видатний учений наклав на себе руки. На могильному пам'ятнику, над погруддям Больцмана, як знак визнання його заслуг, вибито рівняння S = k∙logW – один із результатів його плідної наукової діяльності. Константа k у цьому рівнянні – постійна Больцмана.

Енергія молекул та температура речовини

Поняття температури служить характеристики ступеня нагрітості тієї чи іншої тіла. У фізиці застосовується абсолютна шкала температур, в основу якої покладено висновок молекулярно-кінетичної теорії про температуру як міру, що відображає величину енергії теплового руху частинок речовини (мається на увазі, звичайно, середня кінетична енергія безлічі частинок).

Як прийнятий у системі СІ джоуль, і ерг, використовуваний у системі СГС, – занадто великі одиниці висловлювання енергії молекул, та й було дуже важко вимірювати температуру подібним чином. Зручною одиницею температури є градус, а вимірювання проводиться опосередковано, через реєстрацію макроскопічних характеристик речовини, що змінюються - наприклад, обсягу.

Як співвідносяться енергія та температура

Для розрахунку станів реальної речовини при температурах і тисках, близьких до нормальних, з успіхом використовується модель ідеального газу, тобто такого, розмір молекули якого набагато менше обсягу, який займає деяка кількість газу, а відстань між частинками значно перевищує радіус їх взаємодії. Виходячи з рівнянь кінетичної теорії, середня енергія таких частинок визначається як E_ср = 3/2∙kT, де E – кінетична енергія, T – температура, а 3/2∙k – коефіцієнт пропорційності, введений Больцманом. Число 3 тут характеризує кількість ступенів свободи поступального руху молекул у трьох просторових вимірах.

Величина k, яку згодом на честь австрійського фізика назвали константою Больцмана, показує, яку частину джоуля чи ерга містить один градус. Іншими словами, її значення визначає, наскільки статистично збільшується, в середньому, енергія теплового хаотичного руху однієї частинки одноатомного ідеального газу при підвищенні температури на 1 градус.

У скільки разів градус менше джоуля

Чисельне значення цієї константи можна отримати різними способами, наприклад, через вимір абсолютної температури та тиску, використовуючи рівняння ідеального газу, або із застосуванням моделі броунівського руху. Теоретичне виведення даної величини на рівні знань неможливо.

Постійна Больцмана дорівнює 1,38×10 -23 Дж/К (тут К – кельвін, градус абсолютної температурної шкали).Для колективу частинок в 1 молі ідеального газу (22,4 літра) коефіцієнт, що зв'язує енергію з температурою (універсальна газова постійна), виходить множенням константи Больцмана на число Авогадро (кількість молекул у молі): R = kN_Aі становить 8,31 Дж/(моль∙кельвін). Однак, на відміну від останньої, константа Больцмана має більш універсальний характер, оскільки входить і в інші важливі співвідношення, а також сама служить для визначення ще однієї фізичної постійної.

Статистичне розподілення енергій молекул

Оскільки стану речовини макроскопічного порядку є результатом поведінки великої сукупності частинок, вони описуються з допомогою статистичних методів. До останніх відноситься і з'ясування того, як розподіляються енергетичні параметри молекул газу:

• Максвеллівське розподіл кінетичних енергій (і швидкостей). Воно показує, що в газі, який перебуває в стані рівноваги, більшість молекул має швидкості, близькі до деякої найбільш ймовірної швидкості v = √(2kT/m₀), де m₀ - Маса молекули.
• Больцманівський розподіл потенційних енергій для газів, що у полі будь-яких сил, наприклад гравітації Землі. Воно залежить від співвідношення двох факторів: тяжіння до Землі та хаотичного теплового руху частинок газу. Через війну що нижча потенційна енергія молекул (ближче поверхні планети), то вище їх концентрація.

Обидва статистичні методи об'єднуються в розподіл Максвелла – Больцмана, що містить експоненційний множник e – E/kT , де E – сума кінетичної та потенційної енергій, а kT – вже відома нам середня енергія теплового руху, керована постійною Больцманом.

Константа k та ентропія

Загалом ентропію можна охарактеризувати як міру незворотності термодинамічного процесу. Ця незворотність пов'язана з розсіюванням – дисипацією – енергії. За статистичного підходу, запропонованого Больцманом, ентропія є функцією кількості способів, якими може бути реалізована фізична система без зміни її стану: S = k∙lnW.

Тут постійна k визначає масштаб зростання ентропії зі збільшенням цієї кількості (W) варіантів реалізації системи, або мікростанів. Макс Планк, який привів цю формулу до сучасного вигляду, і запропонував дати константі до імені Больцмана.

Закон випромінювання Стефана – Больцмана

Фізичний закон, що встановлює, як енергетична світність (потужність випромінювання на одиницю поверхні) абсолютно чорного тіла залежить від його температури, має вигляд j = σT 4 , тобто тіло випромінює пропорційно до четвертого ступеня своєї температури. Цей закон використовується, наприклад, в астрофізиці, так як випромінювання зірок близьке за характеристиками до чорного.

У зазначеному співвідношенні присутня ще одна константа, яка також управляє масштабом явища. Це стала Стефана – Больцмана σ, яка дорівнює приблизно 5,67 × 10 -8 Вт/(м 2 ∙К 4 ). Розмірність її включає кельвіни – отже, ясно, що тут бере участь константа Больцмана k. Справді, величина σ визначається як (2π 2 ∙k 4 )/(15c 2 h 3 ), де c – швидкість світла та h – постійна Планка. Так що больцманівська константа, поєднуючись з іншими світовими постійними, утворює величину, яка знову ж таки пов'язує між собою енергію (потужність) і температуру – в даному випадку стосовно випромінювання.

Фізична сутність константи Больцмана

Вище зазначалося, що стала Больцмана належить до так званих фундаментальних констант. Справа не тільки в тому, що вона дозволяє встановити зв'язок характеристик мікроскопічних явищ молекулярного рівня з параметрами процесів, що спостерігаються в макросвіті. І не тільки в тому, що ця константа входить до ряду важливих рівнянь.

В даний час невідомо, чи існує якийсь фізичний принцип, на основі якого він міг би бути виведений теоретично. Іншими словами, ні з чого не випливає, що значення цієї константи має бути саме таким. Ми могли б як міру відповідності кінетичної енергії частинок використовувати інші величини та інші одиниці замість градусів, тоді чисельне значення константи було б іншим, але вона залишилася постійною величиною. Поряд з іншими фундаментальними величинами такого роду – граничною швидкістю c, постійною Планкою h, елементарним зарядом e, гравітаційною постійною G – наука приймає константу Больцмана як даність нашого світу і використовує для теоретичного опису фізичних процесів, що протікають у ньому.