Трапеція. Формули, ознаки та властивості трапеції

Трапеція - Це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони називаються основами трапеції, а дві інші бічними сторонами

Так само, трапецією називається чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна і сторони не рівні між собою.

• Основи трапеції - Паралельні сторони
• Бічні сторони - дві інші сторони
• Середня лінія - Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін.

• Рівностегнова трапеція - трапеція, у якої бічні сторони рівні
• Прямокутна трапеція - трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ

Основні властивості трапеції

2. Середня лінія трапеції поділяє навпіл будь-який відрізок, який з'єднує основи, так само поділяє діагоналі навпіл:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

6. Кожна діагональ у точці перетину ділиться на дві частини з таким співвідношенням довжини, як співвідношення між основами:

BC: AD = OC: AO = OB: DO

d ₁ 2+d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеції

Формули визначення довжин сторін трапеції:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a - h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c · cos α + d · cos β

b = a - c · cos α - d · cos β

Середня лінія трапеції

Формули визначення довжини середньої лінії трапеції:

Висота трапеції

Формули визначення довжини висоти трапеції:

Діагоналі трапеції

Формули визначення довжини діагоналей трапеції:

d ₁ = √ a 2 + d 2 - 2 ad·cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 - 2 ac·cos α

d ₁ = √ h 2 + ( a - h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a - h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab - d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab - d ₁ 2

Площа трапеції

Формули визначення площі трапеції:

Периметр трапеції

Формула визначення периметра трапеції:

1. Формула периметра через основи:

Окружність описана навколо трапеції

Формула визначення радіусу описаного навколо трапеції кола:

1. Формула радіусу через сторони та діагональ:

Коло вписане в трапецію

Формула визначення радіусу вписаного в трапецію кола

1. Формула радіусу вписаного кола через висоту:

Інші відрізки різнобічної трапеції

Формули визначення довжин відрізків, що проходять через трапецію:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!

Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн-вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви хочете зв'язатися зі мною, маєте запитання, пропозиції чи хочете допомогти розвивати сайт OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Трапеція – це стіл, який став геометричною фігурою

Доброго дня, шановні читачі блогу KtoNaNovenkogo.ru. У цій статті ми вирішили докладно розповісти про таку геометричну фігуру, як ТРАПЕЦІЯ.

Її докладно вивчають під час уроків геометрії у 8-му класі. І ці уроки є частиною загального знайомства школярів із різними чотирикутниками.

Визначення трапеції

Трапеція – геометрична фігура, яка є чотирикутником, у якого дві протилежні сторони розташовуються на паралельних прямих. А дві інші сторони мають, навпаки, бути не паралельними.

Ось так виглядає класична трапеція:

У цієї фігури сторони АВ та CD є паралельними. А ось AD та CB – ні.

Походження слова

Перша згадка про цю фігуру зустрічається ще в працях відомої давньогрецької математика Евкліда.

У його книзі «Початки» цим терміном описується абсолютно будь-який чотирикутник, який є паралелограмом.

Якщо хтось не пам'ятає, паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. Виглядає ця постать у класичному розумінні ось так:

Цікаво, що всім відомі постаті – квадрат, прямокутник і ромб – також є окремим випадком паралелограма. Адже справді – у них протилежні сторони є паралельними один до одного.

І виходить, що Евклід був загалом правий. Він просто поділив усі чотирикутники на дві великі категорії – паралелограми та трапеції.

До речі, саме слово ТРАПЕЦІЯ також має грецьке походження. У давнину воно звучало як «трапедзіон». І в перекладі це означає «обідній стіл». Тому слово «трапеза», яке у нас є синонімом будь-якого прийому їжі, теж родом звідти.

Сторони трапеції

Парні сторони трапецій мають свої назви:

1. Підстави трапеції - Сторони, які розташовуються на паралельних прямих.
2. Бічні - Сторони, які не знаходяться на паралельних прямих.

Закріпимо це за допомогою малюнка:

В даному випадку сторони АВ та CD паралельні один одному. Отже, саме вони є підставами. А ось АС та BD – навпаки, явно не паралельні. І, відповідно, це бічні сторони.

До речі, розташування сторін залежить від розташування самої фігури. Навіть у таких положеннях

однаково паралельні сторони вважатимуться підставами, а непаралельні – бічними.

Рівностегнова та прямокутна трапеції

Варіант трапеції, який ми розглянули, – це найпоширеніші види геометричної фігури. Але є й окремі випадки:

Рівностегнова трапеція - Та, у якої бічні (не паралельні) сторони рівні. Її ще називають рівнобокий чи рівнобічної.

Виглядає вона так:

У цьому прикладі графічно показано, що сторони AD і ВС рівні між собою. Про це свідчать невеликі рисочки.

Прямокутна трапеція – та, у якої одна з бічних сторін та основи утворюють прямий кут.

Виглядає вона так:

В даному прикладі, кути DAB і ADC є прямими, тобто дорівнюють 90 градусів. Відповідно, трапеція називається прямокутною.

Тут важливо зауважити, що під прямим кутом до основи має йти лише одна бічна сторона. Якщо будуть обидві, то трапеція автоматично перетвориться на квадрат.

Властивості трапецій

З трапеціями пов'язані кілька понять у геометрії, які активно використовуються на вирішення різних теорем.

Середня лінія

Середня лінія трапеції – це відрізок, який йде паралельно до основ і з'єднує середини:

Із середньою лінією пов'язана одна цікава теорема. Дуже часто під час уроків геометрії школярів просять визначити її довжину. І зробити це дуже просто.

Довжина середньої лінії трапеція дорівнює половині суми довжин її підстав.

Звучить може і дещо важкувато. Але насправді – це дуже просто.Так, щоб порахувати у нашому прикладі довжину відрізка MN, який є середньою лінією, треба застосувати формулу:

І це правило поширюється попри всі види трапецій.

Бісектриса кутів трапеції

Бісектриса - це лінія (промінь), яка ділить кут навпіл. Так ось

Будь-яка бісектриса, виведена з кута трапеції, відсікає на підставі відрізок, що дорівнює по довжині бічній стороні.

На цьому малюнку відрізок АЕ є бісектрисою кута ABD. І виходячи з цього, відрізки АВ та ВЕ рівні між собою, про що свідчать невеликі рисочки на них.
У той же час у бісектрис у трапеції є ще одна властивість.

Дві бісектриси, виведені з кутів одного боку, перетинаються під прямим кутом.

Усі ці теореми у процесі шкільного навчання учням ще необхідно доводити. Ну а ми вирішили не наводити довгі математичні та геометричні викладки. Просто прийміть як даність!

Ось і все, що ми хотіли розповісти вам про трапецію.

Успіхів вам! До швидких зустрічей на сторінках блоґу KtoNaNovenkogo.ru

Ця стаття відноситься до рубрик:

Коментарі та відгуки (2)

А я, дивлячись на трапецію, пуделя свого згадав, про трапецію він нічого не знав, але вставав у таку стійку, що передні та задні лапи утворювали трапецію.

Чи не існує 4х косинців у яких немає паралельних сторін?

Ваш коментар чи відгук

Трапеція

Трапеція (Від др.-грец. τραπέζιον - «столиквід τράπεζα — «стіл») - опуклий чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні.

Варіанти визначення

Існує й інше визначення трапеції.

Трапеція - це опуклий чотирикутник, у якого дві сторони паралельні [1] [2]. Відповідно до цього визначення, паралелограм та прямокутник — окремі випадки трапеції. Однак при використанні такого визначення більшість ознак і властивостей рівнобедреної трапеції перестають бути вірними (оскільки паралелограм стає її окремим випадком). Наведені у розділі Загальні властивості формули вірні обох визначень трапеції.

Пов'язані визначення

Елементи трапеції

• Паралельні протилежні сторони називаються підставами трапеції.
• Дві інші сторони називаються бічними сторонами.
• Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.
• Кутом при основі трапеції називається її внутрішній кут, утворений основою з боковою стороною.

Види трапецій

• Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобедреної трапецією (рідше рівнобокий[ 3 ] або рівнобічної[4] трапецією).
• Трапеція, що має прямі кути при бічній стороні, називається прямокутної.

Властивості

• Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі. [ 5 ]
• Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює половині різниці основ і лежить на середній лінії.
• Відрізок, паралельний основам і проходить через точку перетину діагоналей, ділиться останньою навпіл і дорівнює 2 x y x + y >> середньому гармонійному довжин основ трапеції.
• У трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основ трапеції дорівнює сумі довжин її бічних сторін.
• Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.
• Якщо сума кутів при одному з основ трапеції дорівнює 90°, то продовження бічних сторін перетинаються під прямим кутом, а відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює напіврізності основ.
• Діагоналі трапеції поділяють її на 4 трикутники. Два з них, що прилягають до основ, подібні. Два інших, що прилягають до боків, мають однакову площу.
• Якщо відношення основ дорівнює K , то відношення площ трикутників, що прилягають до основ, дорівнює K 2 > .
• Висота трапеції визначається формулою:

• Діагоналі трапеції d 1 > і d 2 > пов'язані зі сторонами співвідношенням:

• Пряма Ньютона для трапеції збігається із її середньою лінією.

Рівностегнова трапеція

Трапеція є рівнобедреною тоді і лише тоді, коли виконано будь-яку з наступних еквівалентних умов:

• пряма, яка проходить через середини основ, перпендикулярна до основ (тобто є віссю симетрії трапеції);
• висота, опущена з вершини на більшу основу, ділить його на два відрізки, один з яких дорівнює напівсумі основ, інший - напіврізниці основ;
• кути за будь-якої підстави рівні;
• сума протилежних кутів дорівнює 180 °;
• довжини діагоналей рівні;
• навколо цієї трапеції можна описати коло;
• вершинами цієї трапеції також є вершини деякого антипаралелограма.

• якщо в рівнобедреній трапеції діагоналі перпендикулярні, то висота дорівнює напівсумі підстав.

Вписане та описане коло

• Якщо сума підстав трапеції дорівнює сумі бічних сторін, то неї можна вписатиокружність. Середня лінія в цьому випадку дорівнює сумі бічних сторін, поділеної на 2 (оскільки середня лінія трапеції дорівнює напівсумі підстав).
• У трапеції її бічну сторону видно з центру вписаного кола під кутом 90°.
• Якщо трапецію можна вписати в коло — вона рівнобедрена.
• Радіус описаного кола рівнобедреної трапеції:Помилка виразу: невідомий символ пунктуації «[»

• Якщо Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна увімкнути за допомогою плагіна для браузера): Неприпустима відповідь ("Math extension cannot connect to Restbase.") від сервера "http://localhost:6011/ua.wikibooks.org/v1/": ): , то в рівнобедрену трапецію можна вписати коло радіусу

• Якщо в трапецію вписано коло з радіусом r і вона ділить бічну сторону точкою торкання на два відрізки — v і w — то r = v w >> .

Площа

• У разі, якщо a та b — основи і h — висота, формула площі:

• Якщо m — середня лінія і h — висота, формула площі:

Примітка: Наведені вище дві формули еквівалентні, оскільки напівсума основ дорівнює середньої лінії трапеції:

• Формула, де a < b - основи, c і d - бічні сторони трапеції:

• Середня лінія m розбиває фігуру на дві трапеції, площі яких співвідносяться як [6]

• Площа рівнобедреної трапеції з радіусом вписаного кола, рівним r і кутом при підставі α :

• Площа рівнобедреної трапеції:

• Площа рівнобедреної трапеції через її сторони

• Площа трапеції дорівнює добутку однієї з бокових сторін на довжину перпендикуляра, проведеного з середини іншої сторони до прямої, що містить першу бічну сторону.

Історія

Слово «трапеція» походить від грецького слова грец. τραπέζιον «столик» (зменш. від τράπεζα «стіл»), що означає стіл. У російській від цього слова походить слово «трапеза» (їжа).

Примітки

1. ↑Вся елементарна математика (недоступне посилання - історія)
2. ↑Wolfram MathWorld (недоступне посилання — історія)
3. ↑Колектив авторівСучасний довідник школяра. 5-11 класи. Усі предмети. - Litres, 2015-09-03. - С. 82. - 482 с. - ISBN 9785457410022
4. ↑М. І. СканавіЕлементарна математика. - 2013. - С. 437. - 611 с. - ISBN 9785458254489
5. ↑Геометрія по Кисельову Шаблон: Wayback, § 99.
6. ↑ Зайцев Ст. Ст, Рижков Ст. Ст, Сканаві М. І. Елементарна математика. 2-ге вид., перераб. та дод. - М.: Наука, 1974. - 592 с.
7. ↑ Бронштейн І. Н., Семендяєв До. А. Довідник з математики для інженерів та учнів втузів 1986. С. 184

• Ця сторінка востаннє була відредагована 3 грудня 2022 року о 18:32.
• Текст доступний за ліцензією Creative Commons Attribution-ShareAlike, в окремих випадках можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. Умови використання.

• Політика конфіденційності
• Опис Вікіпідручника
• Відмова від відповідальності
• Кодекс поведінки
• Розробники
• Статистика
• Заява про кукі
• Мобільна версія