Коло, коло, сегмент, сектор. Формули та властивості

Визначення. Окружність — це сукупність усіх точок на площині, що знаходяться на однаковій відстані від заданої точки Прояка називається центром кола.

Визначення. Діаметр кола D - Відрізок, який з'єднує дві точки кола і проходить через її центр.

Основні властивості кола

5. Якщо два кола стикаються в одній точці, то ця точка лежить на прямій, що проходить через центри цих кіл.

Формули довжини кола та площі кола

Формули довжини кола

Формули площі кола

Рівняння кола

2. Рівняння кола з радіусом r і центром у точці з координатами (a, b) у декартовій системі координат:

r 2 = ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2

3. Параметричне рівняння кола з радіусом r і центром у точці з координатами (a, b) у декартовій системі координат:

Стосовне коло та його властивості

Основні властивості дотичних до кола

3. Якщо дві дотичні, з точками дотику B і C, на одному колі не паралельні, то вони перетинаються в точці A, а відрізок між точкою дотику та точкою перетину однієї дотичної дорівнює такому ж відрізку на іншій дотичній:

Також, якщо провести пряму через центр кола О і точку перетину A цих дотичних, то кути утворений між цією прямою і дотичними будуть рівними:

Секальне коло та її властивості

Основні властивості січучих

1. Якщо з точки поза коло (Q) виходять дві січучі, які перетинають коло у двох точках A і B для однієї сіючої та C і D для іншої сіючої, то твори відрізків двох сіючих рівні між собою:

2. Якщо з точки Q поза коло виходить січна пряма, що перетинає коло у двох точках A і B і дотична з точкою дотику C, то добуток відрізків січної дорівнює квадрату довжини відрізка дотичної:

Як називається кут вершина якого лежить на колі, а сторони кута хорди

Підготовка до ЄДІ (2016)

Опис курсу: Наш курс підготовки до ЄДІ призначений для учнів шкіл Росії, які готуються цього (або наступного) навчального року складати єдиний державний іспит з математики. Ми постаралися врахувати всі особливості цього іспиту, проаналізували завдання, що пропонуються, і розглянули типові помилки, які допускають учні при складанні цього іспиту.

Як відомо, іспит з математики з 2015 року поділено на базовий та профільний рівень. За проектом 2016 року (профільний рівень) іспит включає 19 завдань.

Завдання поділені на дві частини.

Складається з 8 завдань із короткою відповіддю. Перша частина призначена для перевірки базових знань — ці завдання відповідають рівню середньої школи без поглибленого вивчення математики.

Містить 11 завдань з матеріалу курсу середньої школи. Це завдання 9-19. Завдання 9-12 підвищеного рівня складності з короткою відповіддю та завдання 13-19 підвищеного та високого рівня складності з розгорнутою відповіддю. У завданнях 13-19 необхідно навести грамотне та обґрунтоване рішення.

Цей курс «Підготовка до ЄДІ з математики. Завдання 1-12» призначений для підготовки до виконання завдань 1-12 профільного рівня. На перший погляд, завдання 1-12 здаються досить простими. Але як прикро буває втрачати бали саме на простих завданнях! На наших заняттях ми розглянемо найоптимальніші методи вирішення, а також деякі «секрети», які допоможуть вам швидко та правильно виконати завдання, уникнути прикрих помилок.

Для кого призначено курс. Курс підготовки може бути корисним учням, які готуються до профільного ЄДІ, але роблять помилки при виконанні завдань, виконують завдання повільно або просто не знають, як виконати деякі завдання. Також курс можна рекомендувати для учнів, які мають намір здавати ЄДІ на базовому рівні та хлопцям, які ще не визначилися у своєму виборі.

Як проходитимуть заняття.

Кожне наше заняття включає повторення теоретичного матеріалу та вирішення практичних завдань із бази ЄДІ. Наприкінці кожного заняття учням буде запропоновано домашні завдання самостійного виконання.Учні матимуть можливість поставити запитання, залишити свій коментар та отримати кваліфіковану відповідь.

Окружність

Окружність — це геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від певної точки цієї площини на задану відстань (рисунок 1).

Коло - Частина площини, яка обмежена колом (рисунок 1).

Інше коло концепції.

Коло — це частина площини, що лежить усередині кола, разом із самим колом (рисунок 1).

Радіус r — це будь-який відрізок, що з'єднує центр кола та точку кола. На малюнку 2 це відрізок OC.

Також радіус від латів. називали спицю в колесі.

Хорда - Це відрізок AB, що з'єднує дві точки кола (рисунок 2).
Діаметр - це хорда BE, що проходить через цент кола (рисунок 2).
Якщо на колі взяти дві точки, то вони розіб'ють коло на дві частини (рисунок 2). Кожна з цих кривих називається дугого кола, а крапки A і D - Кінці цих дуг.

Дуга позначається як ∪ AD (Малюнок 2).

Довжина дуги кола ∪ AB (3) знаходиться за формулою:

Сектор кола - Це частина площини, обмежена двома радіусами та його дугою (рисунок 3).

Площа сектора, формула:

Сегмент кола - Це частина площини, обмежена хордою та дугою (рисунок 3).

Площа сектора кола, формула:

Стосується називається пряма a, що має з колом лише одну загальну точку A (Малюнок 5).

Формула для розрахунку довжини кола через радіус:

L=2 π r

Формула для розрахунку довжини кола через діаметр:

L=2 π d

Формула для визначення площі кола через радіус:

S= π R 2

Формула для визначення площі кола через діаметр:

Центральний кут - Це кут з вершиною в центрі кола.

Вписаний кут - це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.

Формула для визначення довжини хорди ∪ AB через радіус та центральний кут ∠BOA:

AB=2rsin α /2

Формула для визначення довжини хорди через радіус та вписаний кут ∠CED:

CD=2rsin α

Властивості щодо кола

Одна з властивостей дотичної до кола (рисунок 5) полягає в тому, що дотична a до кола перпендикулярна її радіусу OA. На цьому випливає аналогічне властивість, тобто. дотична, що проходить через точку торкання з колом, перпендикулярна діаметру.

CA, CB – дотичні
A, B – точки торкання
CA = CB
Відповідно до рисунка 6, отримуємо властивість

∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4

Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямої, що проходить через цю точку та центр кола.

Властивості січного кола

Поточне коло - Це пряма BE, що має з колом дві загальні точки (рисунок 7).

Відповідно до рисунка 7, отримуємо властивість

BA 2 = BF⋅BD

BA 2 =BE⋅BC

де AB - Дотична

BE, BF - січучі

З цієї властивості випливає наступна властивість, добутки відрізків січучих, проведених з однієї точки рівні:

BF⋅BD=BE⋅BC

Властивості кола

d = r + r = 2 · r

1. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна побудувати тільки єдине коло.
2. Якщо взяти всі замкнуті криві з однаковою довжиною, то коло має максимальну величину площі.
3. Найкоротша відстань від центру кола до січної або хорди завжди менша за величину радіуса.
4. Якщо два кола стикаються зовні або внутрішньо в одній точці, то точка торкання та центри цих кіл лежать на одній прямій.
   

Властивості кутів кола

На малюнку 8
∪ CB - Дуга кола
∠COB - Центральний кут
∠CAB - Вписаний кут
Отримуємо таку тотожність:

∠CAB = ∠COB/2

при цьому довжина дуги кола ∪ CB має бути менше довжини півкола.

Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні (рисунок 9).

Вписаний кут, що спирається на півколо - прямий (рисунок 10).

Властивість хорд кола

AB; CD - хорди

E - Точка перетину хорд

AE · EB = CE · ED

Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди AB одно твору відрізків іншої хорди CD

Якщо хорда AB дорівнює хорді DC, їх дуги теж рівні, тобто.

AB=DC ⇒ ∪AB=∪DC

Якщо хорда AB паралельна хорді DC, їх дуги рівні, тобто.

AB//DC ⇒ ∪AB=∪DC

Якщо радіус кола OD перпендикулярний хорді AB, то він ділить хорду навпіл у точці їх перетину З, тобто.

OD⊥AB ⇒ ∪AC=∪BC

Сума двох вписаних кутів, що спирають на одну хорду і що знаходяться по різні боки від неї, дорівнює 180°, тобто.

α + β = 180 °

Завдання 1

Хорди AB і CD перетинаються у точці E. Знайдіть ED, якщо AE = 5, BE = 2, CE = 2,5.

Рішення

За властивостями хорди маємо

АЕ·ЕВ=СЕ·ЕD
5·2=2,5·ЕD
10 = 2,5 ЕД

Завдання 2

Хорда AB стягує дугу, що дорівнює 119°, а хорда AC – дугу, що дорівнює 43°. Знайдіть кут BAC.

Рішення

∠ВАС дорівнює половині дуги на яку спирається
Дуга дорівнює 360 0 -119 0 -43 0 = 198 0