Прямокутний паралелепіпед. Формули та властивості прямокутного паралелепіпеда

Основні властивості правильного прямокутного паралелепіпеда

Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда

Визначення. Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається із суми площ прямокутників, що обмежують його.

S = 2 a · b + 2 a · c + 2 b · c

Діагональ прямокутного паралелепіпеда

Визначення. Діагональ прямокутного паралелепіпеда - Це відрізок, що сполучає дві не сусідні вершини, що лежать на різних гранях.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!

Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн-вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви хочете зв'язатися зі мною, маєте запитання, пропозиції чи хочете допомогти розвивати сайт OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Вимірювання прямокутного паралелепіпеда та його властивості

Що таке прямокутний паралелепіпед?

Паралелепіпед - це призма з шістьма гранями, в основі якої лежить паралелограм.

Згідно з іншим визначенням, це багатогранник, що складається із шести сторін-паралелограмів.

В математиці в цілому, і в геометрії зокрема виділяють кілька основних видів паралелепіпеда:

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

• прямокутний;
• прямий - паралелепіпед, у якого 4 бічні грані є прямокутниками;
• похилий - бічні грані об'ємної фігури не перпендикулярні основам;
• ромбоедр – шестигранна призма, грані якої – це ромби;
• куб - складається із квадратних граней.

Прямокутний паралелепіпед - це шестигранна призма, кожна із сторін якої в загальному випадку є прямокутником. Також це багатогранник, в основі якого лежить прямокутник, а бічні грані перпендикулярні основі.

Прямокутних паралелепіпедів в навколишньому світі безліч: кімната, закрита книга, системний блок комп'ютера, закрита коробка для подарунка, сірникова коробка і т.д.

Прямокутний паралелепіпед, як і будь-який інший, складається з:

• основи;
• граней — протилежних, т. е. які мають спільного ребра, і суміжних — тих, які мають спільне ребро;
• ребер - відрізків, що з'єднують сусідні вершини об'ємної шестигранної фігури;
• діагоналей - відрізків, що з'єднують протилежні вершини;
• діагоналей граней;
• висоти - відрізка, що з'єднує верхню та нижню основи шестигранної призми.

У деяких базових завданнях просять знайти кількість елементів шестигранної призми. Ці числа можна запам'ятати: об'ємна фігура складається з 8 вершин, 12 ребер та 6 граней.

Вимірами прямокутного паралелепіпеда називають його довжину, ширину та висоту.

Властивості паралелепіпеда, які мають протилежні грані

Незалежно від виду паралелепіпеда, всі вони мають 4 властивостями:

1. Протилежні грані дорівнюють один одному і попарно паралельні.
2. Всі 4 діагоналі шестигранника перетинаються в одній точці, якою поділяються навпіл. Будь-який відрізок, що проходить через середину діагоналі, і кінці якого належать поверхні, також поділяється навпіл.
3. Фігура симетрична щодо середини діагоналі.
4. Квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів.

Прямокутний паралелепіпед має всі ці властивості та кілька специфічних, властивих тільки йому.

1. Усі сторони – прямокутники.
2. Усі кути, що складаються з двох граней, дорівнюють 90°.
3. Будь-який бік можна прийняти за основу.
4. Якщо всі ребра рівні і перпендикулярні, такий шестигранник вважається кубом.

Формули обчислення об'єму та площі поверхні прямокутного паралелепіпеда

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює довжині, помноженій на ширину та висоту.

де V – об'єм, a – довжина, b – ширина, h – висота.

Площа бічної поверхні дорівнює сумі площ бічних граней.

Площа повної поверхні дорівнює сумі площ бічних граней та основ.

Як знайти діагональ і ширину прямокутного паралелепіпеда

Відповідно до однієї з основних властивостей паралелепіпеда, квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів. Запишемо у вигляді формули:

Отже, довжина діагоналі дорівнює квадратному кореню із суми трьох вимірів фігури:

Довжина, ширина та висота, як правило, обчислюються через формулу об'єму:

Існує і другий варіант, як можливо знайти один із вимірів. Якщо відомо суміжний йому вимір і діагональ загальної сторони шестигранника, можна обчислити другий бік через теорему Піфагора чи з властивостям діагоналі.

Наскільки корисною була для вас стаття?

Прямокутний паралелепіпед

1) Навчальна: формувати уявлення про прямокутний паралелепіпед і куб, про властивості граней і ребер прямокутного паралелепіпеда, куба; ввести поняття грань, вершина, ребро, вимірювання, розгортки.

2) Розвиваюча: створити умови у розвиток просторового мислення; розвивати вміння порівняння та узагальнення.

3) Виховує: сприяти вихованню інтересу до математики та розвитку культури мови.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу з первинним закріпленням.

План уроку:

1. Організаційний етап.

2. Актуалізація опорних знань.

3. Етап здобуття нових знань.

4. Етап узагальнення та закріплення нового матеріалу.

6. Заключний етап.

Хід уроку:

1. Організаційний етап.

Здрастуйте. Перш ніж ми приступимо до уроку, хотілося б дізнатися, як ви налаштовані працювати на уроці.

2. Актуалізація опорних знань:

Вчитель показує та роздає на кожен стіл моделі прямокутних паралелепіпедів.

– Хто знає, як правильно називаються ці предмети в математиці?

— Намалюйте прямокутний паралелепіпед на дошці.

Відкрийте зошити та запишіть число та тему нашого уроку.

3. Етап отримання знань:

Тема нашого уроку «Прямокутний паралелепіпед». Сьогодні на уроці ми дізнаємося, яку фігуру називають прямокутним паралелепіпедом.Розглянемо, які вимірювання має дана фігура, а також розглянемо його деякі властивості.

Нас оточують тіла. Вони мають найрізноманітнішу форму. У математиці передусім вивчають певний набір тіл стандартної форми. Подивіться на екран – це такі фігури як призма, циліндр, куля, піраміда та конус. Кожну з цих постатей ми розглянемо в майбутньому, а сьогодні ми зупинимося на розгляді призми, чи конкретно. прямокутного паралелепіпеда.

Уявлення про прямокутний паралелепіпед дають, наприклад, сірникову коробку, холодильник, шафу та інші тіла. Шкільний кабінет, в якому ми зараз з вами перебуваємо, також має форму прямокутного паралелепіпеда. Зверніть увагу, на екрані першому малюнку зображено прямокутний паралелепіпед, але в другому малюнку — його математичне представлення — изображение.

Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається з 6 прямокутників, кожен із яких називають гранню прямокутного паралелепіпеда. Сторони цих прямокутників називаються ребрами, а вершини прямокутників вершинами прямокутного паралелепіпеда. Зауважте, прямокутний паралелепіпед має 6 граней, 12 ребер та 8 вершин.

Подивіться, що на екрані зображено прямокутний паралелепіпед, його протилежні грані не мають спільних точок, вони рівні між собою. Запам'ятайте, Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні. Нижню та верхню грані прямокутного паралелепіпеда називають його підставами, інші грані бічними гранями. Назви "нижня грань", "верхня грань", "бічна грань" умовні. Наприклад, на екрані зображено той самий паралелепіпед, а його верхні грані на малюнках різні.

У кожній вершині прямокутного паралелепіпеда сходяться три ребра. Такі ребра називають довжиною, шириною та висотою прямокутного паралелепіпеда. Разом їх називають вимірами паралелепіпеда. Назви «довжина», «ширина» та «висота» також умовні. На малюнку зображено той самий прямокутний паралелепіпед, яке висотою, наприклад, названі різні ребра.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом. Усі грані куба – рівні між собою квадрати. Тому поверхня куба складається з 6 рівних квадратів.

Тіло має різні властивості. Одним із них є маса, яку знаходять за допомогою ваг. Іншою властивістю тіла є площа поверхні. Позначимо вимірювання прямокутного паралелепіпеда таким чином: a — його довжина, b — ширина та c — висота. Тоді за допомогою цих позначень запишемо формулу площі поверхні прямокутного паралелепіпеда: S=2(a∙b+a∙c+b∙c), що видно також із розгортки поверхні прямокутного паралелепіпеда на площину.

Якщо ребро куба дорівнює а, його поверхня складається з 6 однакових квадратів, кожен із яких має бік довжиною а. Тому площу поверхні куба можна записати так: .

4. Етап узагальнення та закріплення нового матеріалу.

Отже, зробимо основні висновки:

Сьогодні на уроці ми дізналися, яку фігуру називають прямокутним паралелепіпедом. Розглянули, які виміри має дана фігура, а також розглянули його властивості. А також познайомилися з кубом та його особливостями.

Для закріплення матеріалу дайте відповідь на запитання:

Наведіть приклади предметів, що мають форму прямокутного паралелепіпеда.Скільки граней має прямокутний паралелепіпед? Яку форму мають грані прямокутного паралелепіпеда? Скільки ребер прямокутного паралелепіпеда? Якими вимірами має прямокутний паралелепіпед? Скільки у нього вершин? Яку фігуру називають кубом?

5. Рефлексія.

Хотілося б дізнатися, чи вам сподобався урок? Що було не зрозумілим на уроці? Що ще ви хотіли б дізнатися?

6. Домашнє завдання: § 4 п. 20 (№ 793, 813, 814)

Математичний диктант (у дужках другий варіант)

№ 1. Скільки граней (вимірювань) має прямокутний паралелепіпед?

№ 2. Закінчіть пропозицію: «Кожна грань прямокутного паралелепіпеда має форму…» («Куб — прямокутний паралелепіпед, у якого…»).

№ 3. Скільки вершин (ребер) має прямокутний паралелепіпед)

№ 4. Запишіть формулу площі поверхні прямокутного паралелепіпеда (куба).

Взаємоперевірка. Виставлення оцінок.