Піраміда в геометрії – елементи, формули, властивості з прикладами

Ви вже знайомі з пірамідою, Т. е. багатогранником, одна грань якого є багатокутником, а інші грані-трикутники мають загальну вершину.

Трикутні грані піраміди, що мають загальну вершину, називають бічними гранями, а цю загальну вершину вершиною піраміди. Ребра бічних граней, що сходяться у вершині піраміди, називають бічними ребрами піраміди. Багатокутник, якому не належить вершина піраміди, називають основою піраміди (рис. 107).

Піраміди поділяють на трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т. д. в залежності від кількості сторін їх основ. тетраедром.У тетраедра всі грані є трикутниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини її основи, називається заввишки піраміди. На малюнку 108 показана висота.

Площина, що проходить через два бічні ребра піраміди, що не належать одній грані, називається діагональною площиною, а переріз піраміди діагональною площиною діагональним перетином.На малюнку 111 показано діагональний переріз шестикутної піраміди.

Піраміда, основою якої є правильний багатокутник, а основа її висоти збігається з центром цього багатокутника, називається правильною пірамідою (Рис. 112).

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою піраміди.

Зазначимо, що у правильній піраміді:

• бічні ребра рівні;
• бічні грані рівні;
• апофеми, рівні;
• двогранні кути при основі рівні;
• двогранні кути при бічних ребрах рівні;
• кожна точка висоти рівновіддалена від вершин основи;
• кожна точка висоти рівновіддалена від ребер основи;
• кожна точка висоти рівновіддалена від бічних граней.

Зазначимо, що якщо у піраміді рівні всі:

• бічні ребра, то біля її основи можна описати коло, і центр цього кола збігається з основою висоти піраміди (Рис. 113);
• двогранні кути при основі, то в цю основу можна вписати коло, і центр цього кола збігається з основою висоти піраміди (Рис. 114).

Бічні грані становлять бічну поверхню піраміди, а бічні грані разом із основою повну поверхню піраміди.

Ви знаєте, що бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра її основи та апофеми.

Теорема 1.

Якщо піраміду перетнути площиною, паралельною основі, то:

• а) бічні ребра та висота поділяються на пропорційні частини;
• б) у перерізі виходить багатокутник, подібний до основи;
• в) площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.

Використовуючи рисунок 115, доведіть цю теорему самостійно.

Сікуча площина, паралельна до основи піраміди, поділяє її на дві частини (рис. 116). Одна з цих частин також є пірамідою, а інша багатогранником, який називається усіченою пірамідою.

Паралельні грані зрізаної піраміди називаються її підставами (Рис. 117). Підстави усіченої піраміди — подібні багатокутники, сторони яких паралельно паралельні, тому її бічні грані є трапеціями.

Висотою усіченої піраміди називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи піраміди до площини іншої основи.

Усічена піраміда називається правильноюякщо вона є частиною правильної піраміди. Висота бічної грані правильної усіченої піраміди називається апофемою усіченої піраміди. На малюнку 118 показано чотирикутну правильну усічену піраміду і одну з її апофем.

Теорема 2.

Бічна поверхня правильної усіченої піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів її основ та апофеми:

Доказ:

Нехай є правильна вугільна усічена піраміда (рис. 119). Нехай і відповідно периметри нижньої і верхньої основ і апофема піраміди.

Бічна поверхня цієї піраміди складається з рівних трапецій. Нехай і підстави однієї з цих трапецій, тоді її площа дорівнює . Враховуючи, що бічна поверхня піраміди складається з таких трапецій, отримаємо, що

Тепер встановимо формулу обчислення обсягу піраміди.

Тіла, що мають рівні обсяги, називаються рівновеликими.

Теорема 3.

Трикутні піраміди з рівновеликими основами та рівними висотами рівновеликі.

Доказ:

Нехай є дві трикутні піраміди з рівновеликими основами та рівними висотами (рис. 120). Розділимо висоти однієї та іншої пірамід на часткою і через точки поділу проведемо площини, паралельні основам. Цим самим піраміди поділяються на частин. Для кожної частини першої піраміди побудуємо найбільші за обсягом призми, які повністю містяться в піраміді, а для кожної частини іншої піраміди — найменші за обсягом призми, що повністю містять цю частину.

Нехай і – обсяги першої та другої пірамід, а та – сумарні обсяги призм, побудованих для цих пірамід. При рахунку від підстав пірамід призму в частині першої піраміди рівновелика призмі для частини другої піраміди, так як у цих призм рівновеликі підстави і рівні висоти.Тому обсяг більше обсягу обсяг першої призми, в якої основою є основа другої піраміди, а висота дорівнює , де — висота піраміди (див. рис. 120), тобто. , або , де - Площа основи піраміди. Тепер врахуємо, що , a . Тому, або. При збільшенні значення змінної значення виразу прагне нуля, але це означає, що , чи

Такі самі міркування можна провести, якщо першу і другу піраміди поміняти ролями. В результаті отримаємо нерівність

З нерівностей (1) і (2) випливає, що .

Теорема 4.

Обсяг піраміди дорівнює третій частці твору площі її основи та висоти:

Доказ:

Нехай трикутна піраміда (рис. 121). Добудуємо її до призми з основою (рис. 122). Відокремимо від призми цю піраміду, вийде чотирикутна піраміда (рис. 122 та 123). Діагональна площина поділяє її на дві піраміди і , у яких та сама висота, проведена з вершини , і рівні основи і . Тому, відповідно до теореми 3, піраміди та рівновеликі. Порівняємо піраміду з цією пірамідою. У них рівні основи та висоти, проведені з вершин і , тому ці піраміди також рівновеликі. Виходить, що всі три піраміди і рівновеликі. Оскільки обсяг призми дорівнює добутку площі основи та висоти призми, яка дорівнює висоті піраміди, то обсяг піраміди, т.е. е. третьої частини призми , дорівнює третій частці цього обсягу, тобто. е. .

Нехай тепер є довільна піраміда (рис. 124). Через діагоналі основи, що виходять з однієї вершини, проведемо діагональні перерізи, вони розділять цю піраміду на трикутні піраміди. Оскільки всі вони мають загальну висоту, то

Приклад:

Знайдемо об'єм усіченої піраміди, нижня і верхня основи якої мають площі і , а висота дорівнює (рис. 125).

Для цього добудуємо цю усічену піраміду до повної. Нехай висота додаткової піраміди дорівнює. Шуканий обсяг можна знайти як різницю обсягів повної та додаткової пірамід:

Щоб знайти висоту, використовуємо встановлене в теоремі 1 твердження про те, що площі перерізів піраміди відносяться як квадрати їх відстаней від вершини:

Розв'яжемо це рівняння, враховуючи, що й — позитивні числа:

Таким чином, обсяг усіченої піраміди дорівнює третій частці добутку висоти піраміди та суми площ та основ піраміди та їх середнього геометричного .

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.

Піраміда

Пірамідою називають багатогранник, у якого одна з граней є довільним багатокутником (або трикутником або чотирикутником і т.д. див. рис. 1), а решта бічних граней — трикутники із загальною вершиною.

Правильна піраміда - Це піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник і перпендикуляр, опущений з вершини проектується в центр цієї основи.

Заснування піраміди називається одна з його граней у вигляді довільного багатокутника. На (рис. 2) - основою є чотирикутник BCDE.

Бічні грані - Трикутники із загальною вершиною. Як приклад ця грань ADE.

Бічні ребра - Це сторони бічних граней. Як приклад ребро AC.

Вершиною піраміди називається загальна вершина бічних граней. На (рис. 2) це точка A.

Апофема - Висота бічної грані правильної піраміди. Одна з апофем піраміди (рис. 2) AP.

Висотою піраміди є перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до центру основи, тобто AO.

Властивості правильної піраміди

2. Усі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники.

3. Усі апофеми бічних граней мають однакову довжину.
4. Двогранні кути при ребрах основи рівні.

5. Двогранні кути при бічних ребрах рівні.

6. Усі плоскі кути при вершині рівні.

7. До будь-якої правильної піраміди можна вписати сферу.

Площа повної поверхні піраміди:

де S_осн. - Площа основи, S_б.п. — площа бічної поверхні.

Формула обсягу піраміди:

Формула бічної площі правильної піраміди:

де φ - Двогранний кут при ребрі основи піраміди.

Усічена піраміда

Усіченою пірамідою називають частину повної піраміди, укладена між її основою та січною площиною, паралельною основі даної піраміди. Боковими гранями є трапеції.

Формула бічної площі правильної усіченої піраміди:

де p₁ і p ₂ - Періметри
h_бік. - Висота бічної грані
Формула об'єму усіченої піраміди:

де S ₁ і S ₂ - Площі підстав
h - Висота

Правильна п'ятикутна піраміда

В основі піраміди – правильний п'ятикутник (усі сторони якого рівні, кути між сторонами становлять 108 градусів).

Популярне

З приходом весни, всі рослини навколо оживають, з'являється листя, зеленіє, і розпускаються квіти. Але для домашніх рослин літо триває цілий рік, звичайно.

Зірка - це образ божественної ідеї, божественної волі, згідно з якою виник і почав обертатися в Просторі та жити наше Світло, Світ.

Перебуваючи в компанії модного одягу та аксесуарів, багатогранник почувається цілком упевнено.

Що спільного між додекаедром та ікосаедром?

Поштові марки охоплюють усі значні події у світі. Не оминули уваги художники-філателісти та зображення багатогранників. Поштова марка, присвячена Леонарду Ейлеру с.

Творці нового браузера* Атом – вибрали для свого логотипу зображення багатогранника – ікосаедра. * - програма для перегляду веб-сторінок.

В даний час покупець зіткнувся з настільки широким асортиментом товарів, що сил на те, щоб зробити раціональний вибір, уже не вистачає. І реклама іноді лише посилює.