Парабола в математиці: рівняння, побудова, види

Парабола - Графік квадратичної функції виду \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c \). Складається даний графік з вершини і гілок.

При цьому \(a\neq0\), інакше функція вже буде не квадратичною, а лінійною.

Формула параболи може розповісти нам багато про що:

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

1. Коефіцієнт (a) говорить про направлення гілок параболи. Якщо \(а>0\) , то гілки дивляться нагору, якщо \(а
2. Від параметра \(b\) залежить вершина параболи. Вона розраховується за формулою: (x_в = frac)
3. Вільний член \(с\) відповідає за перетин параболи з віссю \(y\) .

Алгоритм побудови параболи

Побудуємо графік функції \(f(x)=ax^2+bx+c.\)

1. Визначимо, куди дивляться гілки параболи.
2. Знайдемо вершину за формулою \(x_в=\frac\) . Підставимо \(x_в\) у формулу функції та отримаємо значення \(y_в\) . Таким чином ми маємо обидві координати вершини. Нанесемо їх у систему координат.
3. Знайдемо точку перетину з віссю y за параметром і нанесемо на креслення точку, симетричну їй, щодо осі симетрії параболи, тобто. прямий \(y=\frac.\)
4. Далі вирішуємо рівняння \(ax^2+bx+c=0\) . Отримуємо коріння - вони є точками перетину параболи з віссю (x). Якщо вони раціональні, наносимо їх на креслення, інакше, вони не стануть у нагоді.
5. Потім вважаємо значення функції додаткових симетричних точках і з'єднуємо всі знайдені точки.

Приклади розв'язання задач на побудову параболи

Зміщення параболи

Вільний член з зміщує параболу по осі y. Наприклад, якщо c=2, то парабола f(x)=ax^2+bx зміститься вгору на 2 одиничні відрізки, а якщо с=-2, то графік зміститься вниз так само на 2 одиничні відрізки.

У разі, коли до аргументу x додається або віднімається якесь число, графік зміщується по осі x. Наприклад, для побудови графіка функції \(y=^2\) достатньо змістити графік \(y=x^2 \) на 4 одиничні відрізки вліво, а для побудови графіка \(y=^2\) потрібно змістити графік \(y=x^2\) на 3 одиничні відрізки праворуч.

3.5.1. Парабола – побудова, канонічне рівняння,
визначення, фокуси, директриса, ексцентриситет

Здійснилося! Вона сама. Готова розкрити чимало таємниць. Канонічне рівняння параболи має вигляд , де - дійсне число. Неважко зрозуміти, що у своєму стандартному положенні парабола «лежать на боці» та її вершина знаходиться на початку координат. У цьому функція задає верхню гілка цієї лінії, а функція – нижню гілка. Вочевидь, що парабола симетрична щодо осі . Власне, чого паритися, розберемо все в одному завданні:

Завдання 101

Рішення: вершина параболи очевидна, знайдемо додаткові точки. Рівняння визначає верхню дугу параболи, рівняння нижню дугу. Обчислення зручно провести «під одним гребінцем»:

Відзначаємо знайдені точки на кресленні та акуратно з'єднуємо їх лінією:
Параболою називається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки і даної прямої, не проходить через точку .

Визначення параболи розуміється ще простіше, ніж визначення еліпса та гіперболи. Для будь-якої точки параболи довжина відрізка (відстань від точки до фокусу) дорівнює довжині перпендикуляра (відстань від точки до директриси):

Крапка називається фокусом параболи, а пряма – директрисою параболи (Пишеться з однієї «ес»).

Константа «пе» канонічного рівняння називається фокальним параметром параболи, у разі . При цьому фокус має координати, а директриса задається рівнянням.

Вітаю! Багато хто з вас сьогодні зробив справжнісіньке відкриття!

Виявляється, гіпербола та парабола зовсім не є графіками «рядових» функцій, а мають яскраво виражене геометричне походження.

Очевидно, що при збільшенні фокального параметра гілки графіка будуть "лунати" вгору і вниз, нескінченно близько наближаючись до осі. При зменшенні значення «пе» вони почнуть стискатися і витягуватися вздовж осі

Ексцентриситет будь-якої параболи дорівнює одиниці:

Автор: Олександр Емелін

Притча (математика): визначення, рівняння, елементи, приклади…

На цій сторінці ви знайдете все про параболу: що це таке, що вона уявляє, її елементи (фокус, директриса, вершина і т. д.), її рівняння (з різними типами рівнянь параболи), приклади, вирішені вправи, його властивості, його застосування…

Що таке казка?

Парабола – поняття, має дуже різні значення, та його математичне визначення таке:

У математиці парабола - це геометричне місце точок на площині, які рівновіддалені від фіксованої точки (званої фокусом) і фіксованої лінії (директрисою, що називається).

Отже, будь-яка точка параболи знаходиться на однаковій відстані від її фокусу та директриси.

Крім того, в геометрії парабола є одним із конічних перерізів поряд з колом, еліпсом та гіперболою. Іншими словами, з конуса можна отримати параболу.

Зокрема, парабола виходить в результаті перерізу конуса площиною з кутом нахилу щодо осі обертання, еквівалентним куту утворює конуса.Отже, площина, що містить параболу, паралельна утворює конуса.

Елементи параболи

Характеристики параболи залежать від наступних елементів:

• Фокус (F) : фіксована точка всередині параболи Відстань від будь-якої точки параболи до фокусу дорівнює відстані від цієї точки до директриси параболи.
• Директриса (D) : це фіксована лінія, зовнішня по відношенню до параболи Точка параболи знаходиться на тій самій відстані від директриси, що і від фокусу параболи.
• Параметр (p) : відстань від фокусу до режисера.
• Радіус-вектор (R) : відрізок, що з'єднує точку параболи з фокусом Його значення збігається з відстанню від точки до директорки.
• Вісь (E) : лінія, перпендикулярна до директриси, яка проходить через фокус і є віссю симетрії параболи, на графіці нижче вона відповідає осі комп'ютера (вісь Y). Також називається фокальною віссю.
• Вершина (V) : точка перетину параболи та її осі.
• Фокусна відстань : відстань між фокусом та вершиною або між директрисою та вершиною. Його значення завжди дорівнює

правий бік

Права частина Параболи - це хорда всередині параболи, що проходить через фокус і паралельна директрисі.

Аналогічно можна показати, що довжина правої частини завжди вдвічі більша за значення параметра

З іншого боку, дві дотичні до параболі лінії, що проходять через кінці правої сторони, утворюють кут 45° з правою стороною і також перетинаються у вершині параболи.

рівняння параболи

Рівняння параболи є різновидом квадратичної функції, оскільки воно має мати хоча б один член у квадраті. Крім того, рівняння параболи залежить від горизонтальної або вертикальної орієнтації.

Таким чином, в аналітичній геометрії існує кілька способів математичного вираження параболи: канонічне або наведене рівняння , звичайне рівняння і загальне рівняння параболи.

Наведене або канонічне рівняння параболи

Що відрізняє наведене або канонічне рівняння від інших параболічних рівнянь, так це те, що вершина параболи є початком координат , тобто точкою (0,0).

Форма наведеного рівняння параболи залежить від того, горизонтальна вона чи вертикальна. Подивіться на наступне графічне зображення, де вказано 4 можливі варіанти:

- Характерний параметр параболи.

Як ви можете бачити на попередньому зображенні, коли змінна x зведена у квадрат, парабола вертикальна, а коли змінна y зведена у квадрат, парабола горизонтальна. З іншого боку, напрямок гілок параболи залежить від знака рівняння.

Звичайне рівняння параболи

Ми щойно бачили, як виглядає рівняння параболи, коли її вершина чи центр відповідає початку координат (наведене чи канонічне рівняння), але яке рівняння параболи, якщо вершина перебуває поза початку координат?

Коли вершиною параболи є будь-яка точка, ми використовуємо звичайне рівняння параболи , Вираз якого має вигляд:

де центром або вершиною параболи є точка

Попереднє рівняння відповідає параболі, орієнтованій вертикально, тобто фокальна вісь параболи паралельна осі Y.

Аналогічно, щоб визначити параболу, орієнтовану горизонтально (її фокальна вісь паралельна осі X), необхідно використовувати наступний варіант звичайного рівняння параболи:

Де, як і раніше, центром чи вершиною параболи є точка

Загальне рівняння параболи

Досі усі рівняння параболи, які ми проаналізували, використовуються для вираження горизонтальних або вертикальних парабол. Але очевидно , що парабола також може бути косою або похилою .

Що ж, щоб виразити цей тип параболи, ми використовуємо загальне рівняння параболи формула якого виглядає наступним чином:

Наведене вище рівняння є параболою тоді і лише тоді, коли коефіцієнти

одночасно не дорівнюють нулю і, крім того, виконується така умова:

Приклад того, як знайти вершину, фокус та директрису параболи за її рівнянням.

У багатьох вправах та завданнях з параболою вас просять обчислити вершину, фокус та директрису певної параболи. Тому давайте подивимося, як це робиться на прикладі:

Фундаментальним моментом для вирішення задачі про параболу цього типу є визначення параметра параболи p . У цьому випадку рівняння параболи відповідає наведене або канонічне рівняння (вертикальна парабола):

Отже, параметр p дорівнює:

З іншого боку, оскільки парабола слідує наведеному або канонічному рівнянню, це означає, що її вершина або центр знаходиться на початку координат:

Знаючи вершину та значення параметра параболи, ми легко можемо знайти її фокус та директрису.

Квадратичним членом рівняння є змінна x , так що вісь параболи буде паралельна осі OY і, фактично, оскільки її вершиною є точка (0,0), вісь параболи буде OY. сама вісь. Тоді фокус параболи завжди знаходиться на осі параболи та на відстані

від вершини параболи, тому її координати:

Так само орієнтиром буде горизонтальна лінія, що знаходиться на відстані

від вершини параболи, яка є початком координат. Таким чином, рівняння лінії матиме вигляд:

Нижче наведено графік параболи, щоб ви могли перевірити результати:

Властивості парабол

Всі параболи мають такі властивості:

• Парабола - це розімкнена крива, або, іншими словами, вона складається з двох гілок, що не мають спільних точок і тягнеться необмеженим чином.
• Кожна парабола має унікальну вісь симетрії, де знаходиться вершина вказаної параболи.
• Вертикально орієнтована парабола є опуклою, коли її гілки йдуть нагору; навпаки, парабола увігнута, якщо її гілки йдуть униз.
• Ексцентриситет параболи еквівалентний одиниці (1). Ексцентриситет - це коефіцієнт, який в даному випадку розраховується шляхом поділу відстані від фокусу до центру параболи на відстань від вершини до директорки (причому обидві відстані завжди збігаються за своїм значенням).
• З попередньої властивості випливає, що всі параболи подібні чи подібні.
• Парабола немає асимптот.

параболічні програми

Тепер, коли ви добре знайомі зі значенням притчі, у вас може виникнути питання… у чому сенс притчі?

Що ж, навіть якщо вам це не здається, геометрична форма параболи дуже поширена у реальному житті. Наприклад, у багатьох випадках при кидку м'яч здійснює параболічний рух, особливо у баскетболі. Що ж, рівняння параболи дуже корисне для аналітичного вивчення параболічної траєкторії, за якою слідує м'яч.

Інше застосування тарілки стосується антен (звідси й назва параболічна антена).Оскільки кожен промінь, що потрапляє на об'єкт параболічної форми, паралельний осі симетрії, відображається безпосередньо у бік фокусу, тобто всі промені, що йдуть до параболічної антени, концентруються у фокусі і це можна використовувати по-різному. Ось чому така важлива спрямованість притчі.

Виправлено проблеми зі стравами

Вправа 1

Обчисліть вершину, фокус і директрису параболи, рівняння якої виглядає так:

По-перше, парабола буде горизонтальною, оскільки вона слідує наступному виразу наведеного або канонічного рівняння параболи:

З іншого боку, оскільки парабола слідує наведеному або канонічному рівнянню, це означає, що її вершина або центр знаходиться на початку координат:

Знаючи вершину та значення параметра параболи, ми можемо легко обчислити її фокус та директрису.

Квадратичний член рівняння є змінною, то є вісь параболи буде паралельна осі ОХ і, фактично, оскільки її вершиною є точка (0,0), l вісь параболи дорівнюватиме сама вісь OX. Тоді фокус параболи завжди знаходиться на осі параболи та на відстані

від вершини параболи, координати якої:

Аналогічно, орієнтир знаходиться на відстані.

від вершини параболи, яка є початком координат і перпендикулярна до її фокальної осі. Отже, рівняння напрямної лінії має вигляд:

Вправа 2

Знайдіть вершину, фокус і директрису параболи, рівняння якої має такий вигляд:

Парабола визначається відповідно до її звичайного рівняння (вісь, паралельна осі Y), формула якого має вигляд:

З іншого боку, у цьому випадку із звичайного рівняння параболи випливає, що її центр не знаходиться на початку координат, з іншого боку, декартовими координатами вершини параболи є числа у дужках із зміненим знаком. :

Знаючи вершину та значення параметра параболи, ми можемо обчислити її фокус та директрису.

Квадратичним членом рівняння є змінна x , так що вісь параболи паралельна осі OY. Таким чином, фокус параболи завжди знаходиться на осі параболи та на відстані

від вершини параболи, так що координати фокальної точки збігаються з координатами вершини, додавши

Аналогічно, директрисою буде горизонтальна лінія, розташована на відстані

від вершини параболи. Отже, рівняння напрямної лінії має вигляд:

Вправа 3

Визначте параболічне рівняння, вісь якого паралельна осі абсцис має вершиною точку V(5,2), а фокусом є точка P(8,2).

У цьому випадку вершина параболи не є початком координат, тому нам потрібне звичайне рівняння, щоб визначити параболу затвердження. Також фокальна вісь параболи паралельна осі X, а це означає, що парабола буде орієнтована горизонтально (гілки будуть йти вправо або вліво), і тому квадратичним членом рівняння має бути змінна й :

Тоді ми можемо підставити координати вершини параболи до рівняння:

Тепер нам потрібно знайти значення параметра

Відстань від вогнища до верху має бути

отже, ми можемо знайти значення параметра

з наступного рівняння:

Нарешті, рівняння параболи: