Математика

Рівняння виду ax=b - Лінійне, де a і b - Числа, а x - Невідоме.

Щоб знайти рішення лінійного рівняння, необхідно розділити обидві частини рівняння на коефіцієнт a - Чисельний коефіцієнт біля змінної x.

Лінійне рівняння може бути поставлене неявно. У цьому випадку необхідно розкрити дужки, помноживши багаточлен на одночлен, застосувати дії над рівняннями, в результаті яких отримаємо рівносильне рівняння даному, навести подібні.

Якщо спочатку встановлено рівняння, що містить змінну в знаменнику, то перед рішенням необхідно вказати область визначення, виключити з відповіді коріння, при яких вираз не має сенсу.

Особливі випадки лінійних рівнянь

Рішенням рівняння є нуль. Наприклад,

Рішенням рівняння є будь-яке число. Коренів дуже багато.

Рівняння немає коренів. Наприклад,

Лінійні рівняння

У цьому уроці ми детально ознайомимося з лінійними рівняннями. Дізнаємось, що таке рівняння, які бувають види, навчимося їх вирішувати та поговоримо про рівносильні перетворення. Рівняння - це одна з найважливіших тем з алгебри у 7-му класі, вона закладає основи для майбутнього вивчення алгебри у старших класах та інституті. Без рівнянь також не обійтися і щодо точних наук, як-от фізика, хімія, інформатика тощо.

Що таке рівняння

Рівняння - це рівність, де є одна або кілька невідомих змінних.

Розберемося на прикладах:

1. $$1+2=3;$$ Перед нами правильна рівність: ліва частина від знака дорівнює правій. Але тут нема невідомих змінних, одні числа. Тому ця рівність не буде рівнянням.
2. $$1+3=6;$$ Це теж не буде рівнянням, тому що немає невідомої. Тим більше це неправильна рівність. Ліва частина не дорівнює правій частині.
3. $$1+x=5;$$ А ось цю рівність вже можна назвати рівнянням: є змінна \(x\). І тут уже незрозуміло, чи дорівнює ліва частина рівності правої чи ні. Все залежить від того, що підставити замість змінної (x). Досить легко здогадатися, якщо замість \(x\) підставити число \(4\), то рівність буде вірним: $$1+4=5;$$ $$5=5;$$ Якщо підставити будь-яке інше число, то буде вже неправильна рівність.
4. $$3(2x^2-6)-6x^2+7x=3+x;$$ Така рівність теж буде рівнянням, оскільки є невідома \(x\) і навіть не одна. Ось тільки підібрати відразу число, яке потрібно підставити замість \ (x \), щоб рівність стало вірним, не так просто.

Навчитися вирішувати рівняння - значить за допомогою математичних правил знаходити такі значення змінної \ (x \), щоб при їх підстановці у вихідне рівняння виходила правильна рівність. Значення змінних, у яких рівність стає вірним, називають корінням рівняння.

Важливо розуміти, що корінням рівняння може бути відразу багато значень (x) чи жодного. Якщо неможливо знайти таке значення \(x\), щоб рівність стала вірною, то кажуть, що таке рівняння не має коріння.

Саме цим ми і займатимемося: вивчатимемо правила, які допоможуть нам вирішувати будь-які рівняння, знаходити їх коріння або доводити, що коренів немає.

Існує велика кількість типів рівнянь:

• Лінійні рівняння
• Квадратні рівняння
• Раціональні рівняння
• Ірраціональні рівняння
• Однорідні рівняння
• Рівняння з модулем
• Показові рівняння
• Логарифмічні рівняння
• Тригонометричні рівняння
• Змішані рівняння
• Рівняння з параметром
• Системи рівнянь

Але почнемо ми з найпростішого типу: лінійних рівнянь.

Основи алгебри/Лінійні рівняння

a x + b = 0 і будь-яке інше рівняння, що призводить до такого виду (наприклад, a x + b = c x + d ). При цьому невідоме не повинно бути у знаменнику.

Розв'язати рівняння означає знайти таке число (корінь рівняння), що з підстановці його замість змінної x , виходить правильне рівність.

Приклади лінійних рівнянь:

2 x + 1 = 0. Корінь (вирішення) цього рівняння x = − 1 / 2 − 3 x + 1 = x − 7 . Корінь цього рівняння x = 2

При вирішенні лінійних рівнянь, у переважній більшості випадків може знадобитися правило перенесення доданку.

Випадок ненульового коефіцієнта при невідомій змінній після тотожних перетворень

Для початку перенесемо в один бік члени з невідомої (з іксом), а в інший бік – числа. Необхідно пам'ятати, що при перенесенні доданку в інший бік воно змінює знак:

Наведемо такі складові:

Тепер розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при іксі (у нашому прикладі це a), після чого x залишиться без коефіцієнта:

При невідомій коефіцієнт скоротиться і вийде відповідь:

Це буде відповіддю. Якщо ми захочемо перевірити, чи є число -b/a коренем цього рівняння, необхідно підставити в початкове рівняння замість ікса це число:

Так як ця рівність є вірною, то -b/a дійсно є коренем рівняння.

Приклад 1

Для початку перенесемо в один бік члени з невідомої (з іксом), а в інший бік – числа. Необхідно пам'ятати, що при перенесенні доданку в інший бік воно змінює знак:

Наведемо такі складові:

Тепер розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при іксі (у нашому прикладі це −2), після чого x залишиться без коефіцієнта:

При невідомій коефіцієнт скоротиться і вийде відповідь:

Це буде відповіддю. Якщо ми захочемо перевірити, чи є число 4 коренем цього рівняння, необхідно підставити в початкове рівняння замість ікса це число:

Так як ця рівність є вірною, то 4 дійсно є коренем рівняння.

Приклад 2

Спочатку позбавляємося дробу, домножуючи кожне доданок на 7 :

Після перенесення невідомих і чисел по різні боки та приведення доданків отримуємо:

Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при x (на 4) і отримаємо:

Позбавимося звичайного дробу шляхом переведення його в десятковий (3/4 = 0.75).

Приклад 3

Спочатку позбавляємося дробу, домножуючи кожне доданок на спільний знаменник 35 :

25 x − 5 + 35 x = 7 x − 245

Після перенесення невідомих і чисел по різні боки та приведення доданків отримуємо:

Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при x (на 53) і отримаємо:

Приклад 4

Спочатку позбавляємося ірраціональності в коефіцієнті при невідомому, домножуючи кожне доданок на 5 >> (це потрібно для складніших випадків):

Але така форма вважається спрощеною, тому що в чисельнику розташовується корінь числа в знаменнику. Потрібно спростити відповідь домноженням чисельника і знаменника на те саме число, в даному випадку на 5 >> :

Приклад 5

Після перенесення невідомих і чисел по різні боки та приведення доданків отримуємо:

Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при x (на 2/3) і отримаємо:

Дві частини рівності можна писати в будь-якому порядку (тобто це рівняння нічим не відрізняється від рівняння x = 0), значить розв'язуванням цього рівняння буде x = 0. Зверніть увагу, що тут нуль - це вільний член, а не коефіцієнт при x. Тому, на відміну від наступних прикладів, у цього рівняння є рішення, причому лише одне.

Приклад 6

Вирішимо рівняння з параметрами:

Якщо a = 0, то рішень немає, тому що 1 - не 4. Інакше:

Випадок відсутності рішень

Після перенесення всіх іксів і чисел у різні боки та приведення подібних доданків отримаємо рівняння:

Який би x ми не взяли, це рівняння не перетвориться на правильну рівність. Отже, це рівняння немає рішень. У разі не можна було вчинити як у першому прикладі, оскільки ділити на нуль не можна.

Окремий випадок — нескінченна кількість рішень

Після перенесення всіх іксів і чисел у різні боки та приведення подібних доданків отримаємо рівняння:

І тут теж не можна розділити обидві частини на нуль, оскільки це заборонено. Але підставивши на місце ікса будь-яке число, ми отримаємо правильну рівність. Отже, будь-яке число є розв'язком цього рівняння. Таким чином, у цього рівняння безліч рішень.

Відповідь
Безкінечно багато рішень.

Випадок рівності двох повних форм

a x + b = c x + d a x - c x = d - b ( a - c ) x = d - b x = ( d - b ) / ( a - c ) Відповідь x = ( d - b ) / ( a - c ) , якщо d≠b і a≠c, інакше нескінченно багато рішень, але якщо a=c, а d≠b, то рішень немає — об'єднання написаного вище

Приклади та їх вирішення

Приклад 1

Після перенесення всіх іксів і чисел у різні боки та приведення подібних доданків отримаємо рівняння:

Приклад 2

Після перенесення всіх іксів і чисел у різні боки та приведення подібних доданків отримаємо рівняння:

Завдання

(Відповіді пишіть в окремій статті)