Ірраціональне рівняння: вчимося вирішувати методом усамітнення кореня

- Це будь-яке рівняння, що містить функцію під знаком кореня. Наприклад:

Такі рівняння завжди вирішуються за 3 кроки:

1. Усамітнити корінь. Іншими словами, якщо ліворуч від знака рівності крім кореня стоять інші числа чи функції, все це треба перенести праворуч, змінивши знак. Зліва при цьому має залишитися лише радикал — без жодних коефіцієнтів.
2. 2. Зводимо обидві частини рівняння квадрат. При цьому пам'ятаємо, що область значень кореня – всі негативні числа. Отже, функція праворуч ірраціонального рівняння також має бути невід'ємною: g ( x ) ≥ 0.
3. Третій крок логічно випливає з другого: треба виконати перевірку. Справа в тому, що на другому кроці у нас могли з'явитися зайві корені. І щоб відсікти їх, треба підставити отримані числа-кандидати у вихідне рівняння і перевірити: чи справді виходить вірна числова рівність?

Рішення ірраціонального рівняння

Розберемося з нашим ірраціональним рівнянням, даним на самому початку уроку. Тут корінь вже усамітнений: ліворуч від знаку рівності немає нічого, крім кореня. Зводимо обидві сторони у квадрат:

2 x 2 − 14 x + 13 = (5 − x ) 2
2 x 2 − 14 x + 13 = 25 − 10 x + x 2
x 2 − 4 x − 12 = 0

Вирішуємо отримане квадратне рівняння через дискримінант:

D = b 2 − 4 ac = (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x ₁ = 6; x ₂ = −2

Залишилося лише підставити ці числа вихідне рівняння, тобто. виконати перевірку. Але й тут можна зробити грамотно, щоб спростити підсумкове рішення.

Як спростити рішення

Давайте подумаємо: навіщо ми виконуємо перевірку наприкінці рішення ірраціонального рівняння? Ми хочемо переконатися, що під час встановлення наших коренів праворуч від знака рівності стоятиме невід'ємна кількість. Адже ми вже точно знаємо, що зліва стоїть саме невід'ємне число, тому що арифметичний квадратний корінь (через яке наше рівняння і зветься ірраціональним) за визначенням не може бути меншим за нуль.

Отже, все, що нам треба перевірити, — щоб функція g ( x ) = 5 − x , яка стоїть праворуч від знака рівності, була невід'ємною:

Підставляємо наше коріння в цю функцію і отримуємо:

g (x ₁) = g (6) = 5 − 6 = −1 < 0
g (x ₂) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

З отриманих значень випливає, що корінь x ₁ = 6 нас не влаштовує, оскільки при підстановці праву частину вихідного рівняння ми отримуємо негативне число. А ось корінь x ₂ = −2 нам цілком підходить, тому що:

1. Цей корінь є рішенням квадратного рівняння, отриманого внаслідок зведення обох сторін ірраціонального рівняння у квадрат.
2. Права сторона вихідного ірраціонального рівняння при підстановці кореня x ₂ = −2 звертається до позитивного числа, тобто. область значень арифметичного кореня не порушена.

Ось і весь алгоритм! Як бачите, вирішувати рівняння з радикалами не так вже й складно. Головне — не забувати перевіряти отримане коріння, інакше дуже велика ймовірність отримати зайві відповіді.

• ЄДІ-2025
• Школярам
• 1. Арифметика
• Арифметика
• Дроби
• Модуль
• Відсотки
• Коріння
• Ступені
• Прогресії
• Текстові завдання
• 2. Алгебра
• Рівняння
• Системи рівнянь
• Нерівності
• Системи нерівностей
• Раціональні дроби
• Функції
• Багаточлени
• Логарифми
• експонента
• Завдання з параметром
• Ймовірність
• 4. Геометрія
• Трикутники
• Багатокутники
• Окружність
• Стереометрія
• Вектори
• 3. Математичний аналіз
• Тригонометрія
• Межа
• Похідна
• Інтеграли
• Студентам
• Реклама
• Про мене

• © 2010—2024 ІП Бердов Павло Миколайович
  ІПН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При використанні матеріалів посилання на сайт обов'язкове
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; пошта: [email protected]
• Карта сайту

Ірраціональні рівняння

Визначення: - Рівняння, що містить змінну під знаком кореня ступеня.

Вирішення ірраціональних рівнянь

При піднесенні обох частин рівняння до ступеня непарного (1,3,5,7.) отримуємо рівняння, рівносильне заданому (з його ОДЗ)

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння:

При піднесенні обох частин рівняння парного ступеня (2,4,6,8. ) можуть виникнути сторонні коріння, які відсіють перевіркою.

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння:

Перевірка: При маємо - неправильну рівність, отже - сторонній корінь.

При маємо - правильну рівність, отже - корінь заданого рівняння.

Якщо рівняння змінна входить у тому самому вигляді, то зучно відповідне вираз зі змінною позначити однією літерою (нової змінної).

Приклад 3:

Розв'яжіть рівняння:

Рішення: Позначимо Тоді

Виконуємо зворотну заміну: Тоді чи звідси.

При маємо - правильну рівність, отже - корінь заданого рівняння.

Ірраціональні рівняння: основні методи та прийоми розв'язання

Розглянемо основні методи розв'язання ірраціональних рівнянь та прийоми розв'язання ірраціональних рівнянь певного виду.

Формування повноцінної навчальної діяльності передбачає оволодіння узагальненими підходами до вирішення досить широких класів завдань. Під час навчання розв'язання рівнянь найчастіше розглядаються спеціальні прийоми рішення окремо кожному за виду рівнянь.Однак при вирішенні різних рівнянь застосовуються, по суті, всього чотири методи: розкладання на множники; заміна змінної; перехід від рівності функцій до рівності аргументів; функціонально-графічний. Розглянемо докладніше кожен із названих методів стосовно розв'язання ірраціональних рівнянь.

У шкільних підручниках ірраціональні рівняння представлені дуже багатим набором. Пропедевтичний етап їх вивчення включає, зокрема, формування поняття арифметичного квадратного кореня. Саме на цій базі вирішується питання про існування та способи знаходження рішень рівнянь виду f(x) = a>=a>.

При розв'язанні рівнянь виду f ( x ) = g ( x ) >=>> розглядається один з основних прийомів розв'язання ірраціональних рівнянь - зведення обох його частин в один і той самий ступінь. Тут у вчителя вперше з'являється можливість вести повноцінну розмову про рівносильні та нерівносильні перетворення рівнянь.

Метод переходу

Суть методу переходу: перехід від рівності, що зв'язує функції, до рівності, що сполучає аргументи.

Способи реалізації

Зведення обох частин рівняння в один і той самий ступінь.

Завдання 1. Розв'яжіть рівняння