Експонента та число е: просто і зрозуміло

Число e завжди хвилювало мене не як буква, а як математична константа. Що число е означає насправді?

Різні математичні книги і навіть моя улюблена Вікіпедія описує цю величну константу абсолютно безглуздим науковим жаргоном:

Якщо зацікавитеся, що таке натуральний логарифм, знайдете таке визначення:

Натуральний логарифм, раніше відомий як гіперболічний логарифм, є логарифмом з основою е, де е - ірраціональна константа, що дорівнює 2.718281828459.

Визначення, звісно, ​​правильні. Але зрозуміти їх дуже складно. Звичайно, Вікіпедія в цьому не винна: ​​зазвичай математичні пояснення сухі та формальні, складаються по всій суворості науки. Через це новачкам складно освоювати предмет (а колись кожен був новачком).

З мене вистачить! Сьогодні я ділюся своїми високоінтелектуальними міркуваннями про те, що таке число еі чим воно так круто! Відкладіть свої товсті математики, що наводять страх, убік!

Число е – це не просто число

Описувати її як «константу, приблизно рівну 2,71828…» — це все одно, що називати число пі «ірраціональним числом, приблизно рівним 3,1415…». Безперечно, так і є, але суть, як і раніше, вислизає від нас.

Число пі - це співвідношення довжини кола до діаметра, однакове для всіх кіл. Це фундаментальна пропорція, властива всім колам, а отже, вона бере участь у обчисленні довжини кола, площі, об'єму та площі поверхні для кіл, сфер, циліндрів тощо. Пі показує, що це кола пов'язані, не кажучи вже про тригонометричних функціях, що виводяться з кіл (синус, косинус, тангенс).

Число е є базовим співвідношенням зростання всім безперервно зростаючих процесів. Число е дозволяє взяти простий темп приросту (де різниця видно тільки в кінці року) і обчислити складові цього показника, нормальне зростання, при якому з кожною наносекундою (або навіть швидше) все зростає ще трохи.

Число е бере участь як у системах з експоненційним, так і постійним зростанням: населення, радіоактивний розпад, підрахунок відсотків, і багато інших. Навіть ступінчасті системи, які не ростуть рівномірно, можна апроксимувати за допомогою числа е.

Також, як будь-яке число можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії 1 (базової одиниці), будь-яке коло можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії одиничного кола (з радіусом 1). І будь-який коефіцієнт зростання може бути розглянутий у вигляді «масштабованої» версії е («одиничного» коефіцієнта зростання).

Отже число е – це випадкове, взяте навмання число. Число е втілює у собі ідею, що це безперервно зростаючі системи є масштабованими версіями однієї й тієї ж показника.

Поняття експоненційного зростання

Почнемо з розгляду базової системи, яка подвоюється за певний період. Наприклад:

• Бактерії діляться і подвоюються в кількості кожні 24 години.
• Ми отримуємо вдвічі більше локшин, якщо розламуємо їх навпіл
• Ваші гроші щороку збільшуються вдвічі, якщо ви отримуєте 100% прибутку (щасливчик!)

І виглядає це приблизно так:

Розподіл на два чи подвоювання – це дуже проста прогресія. Звичайно, ми можемо потроїти або затвердити, але подвоєння зручніше для пояснення.

Математично, якщо у нас є їх поділів, ми отримуємо в 2^x разів більше добра, ніж було спочатку.Якщо зроблено лише 1 розбиття, отримуємо в 21 рази більше. Якщо розбиття 4, у нас вийде 2^4=16 частин. Загальна формула виглядає так:

Інакше кажучи, подвоєння – це 100% зростання. Ми можемо переписати цю формулу так:

Це та сама рівність, ми лише розділили «2» на складові, якими по суті і є це число: початкове значення (1) плюс 100%. Розумно, так?

Звичайно, ми можемо підставити будь-яке інше число (50%, 25%, 200%) замість 100% і отримати формулу зростання для цього нового коефіцієнта. Загальна формула для х періодів тимчасового ряду матиме вигляд:

Це просто означає, що ми використовуємо норму повернення (1 + приріст), «х» разів поспіль.

Придивимося ближче

Наша формула передбачає, що приріст відбувається дискретними кроками. Наші бактерії чекають, чекають, а потім бац!, і в останню хвилину вони подвоюються у кількості. Наш прибуток за відсотками від депозиту магічно з'являється рівно через 1 рік. На основі формули, написаної вище, прибуток зростає східчасто. Зелені крапки з'являються раптово.

Але світ не завжди такий. Якщо ми збільшимо картинку, побачимо, що наші друзі-бактерії діляться постійно:

Зелений малий не виникає з нічого: він повільно виростає із синього батька. Після 1 періоду часу (24 години в нашому випадку), зелений друг повністю дозрів. Подорослішавши, він стає повноцінним синім членом стада і може створювати нові зелені клітини сам.

Ця інформація якось змінить наше рівняння?

Не-а. У випадку з бактеріями, напівсформовані зелені клітини все ж таки не можуть нічого робити, поки не виростуть і зовсім не відокремляться від своїх синіх батьків. Отже, рівняння справедливе.