Сфера, куля, сегмент та сектор. Формули та властивості сфери

Сфера (поверхня кулі) — це сукупність усіх точок у тривимірному просторі, які знаходяться на однаковій відстані від однієї точки, яка називається центром сфери (О).

Сферу можна описати, як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180 ° або півкола навколо свого діаметра на 360 °.

Куля — це сукупність усіх точок у тривимірному просторі, відстань від яких не перевищує певної відстані до точки, яка називається центром кулі (О) (сукупність всіх точок тривимірного простору обмежених сферою).

Кулю можна описати як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180° або півкола навколо свого діаметра на 360°.

Визначення. Радіус сфери (кулі) (R) - це відстань від центру сфери (кулі) O до будь-якої точки сфери (поверхні кулі).

Визначення. Діаметр сфери (кулі) (D) - це відрізок, що з'єднує дві точки сфери (поверхні кулі) та проходить через її центр.

Рівняння сфери

2. Рівняння сфери з радіусом R та центром у точці з координатами ( x ₀, y ₀, z ₀) у декартовій системі координат:

( x - x ₀) 2 + ( y - y ₀) 2 + (z - z ₀) 2 = R 2

3. Параметричне рівняння сфери з центром у точці (x ₀, y ₀, z ₀):
x = x ₀ + R · sin θ · cos φ y = y ₀ + R · sin θ · sin φ z = z ₀ + R · cos θ
де θ ϵ [0, π], φ ϵ [0,2 π].

Визначення. Діаметрально протилежними точками називаються будь-які дві точки на поверхні кулі (сфері), які з'єднані діаметром.

Основні властивості сфери та кулі

5. Через будь-які дві діаметрально протилежні точки можна провести безліч великих кіл для сфери або кіл для кулі.

6. Через будь-які дві точки, крім діаметрально протилежних точок, можна провести тільки одне велике коло для сфери або велике коло для кулі.

7. Будь-які два великі кола однієї кулі перетинаються по прямій, що проходить через центр кулі, а кола перетинаються у двох діаметрально протилежних точках.

8. Якщо відстань між центрами будь-яких двох куль менше суми їх радіусів і більше модуля різниці їх радіусів, то такі кулі перетинаються, а площині перетину утворюється коло.

Січна, хорда, січна площина сфери та їх властивості

Визначення. Поточна сфера - це пряма, яка перетинає сферу у двох точках. Точки перетину називаються точками протикання поверхні або точками входу та виходу на поверхні.

Визначення. Діаметральна площина - це січна площина, що проходить через центр сфери або кулі, переріз утворює відповідно велике коло і велике коло. Велике коло та велике коло мають центр, який збігаються з центром сфери (кулі).

Місцем перерізу сіючої площини на сфері завжди буде мале коло, а на кулі місцем перерізу буде мале коло. Мале коло і малий круг мають свої центри, які збігаються з центром сфери (кулі). Радіус r такого кола можна знайти за формулою:

де R – радіус сфери (кулі), m – відстань від центру кулі до січної площини.

Визначення. Півсфера (півкуля) - Це половина сфери (кулі), яка утворюється при її перерізі діаметральною площиною.

Дотична, дотична площина до сфери та їх властивості

Визначення. Дотична площина до сфери - це площина, яка стикається зі сферою лише в одній точці.

Стосовна пряма (площина) завжди перпендикулярна радіусу сфери, проведеному до точки дотику.

Визначення. Сегмент кулі - це частина кулі, яка відсікається від кулі площею. Основою сегменту називають коло, яке утворилося у місці перерізу. Висотою сегмента h називають довжину перпендикуляра, проведеного з середини основи сегмента до поверхні сегмента.

Визначення. Зріз кулі - це частина кулі, яка утворюється в результаті його перерізу двома паралельними площинами і знаходиться між ними.

Визначення. Сектором називається частина кулі, обмежена сукупністю всіх променів, що виходять із центру кулі Про і утворюють коло на його поверхні з радіусом r .

S = π R(2 h + √ 2 h R - h 2 )

Визначення. Відносними сферами (кулями) називаються будь-які дві сфери (кулі), які мають одну загальну точку зіткнення. Якщо відстань між центрами більша за суму радіусів, то фігури не торкаються і не перетинаються.

Визначення. Концентричними сферами називаються будь-які дві сфери, які мають загальний центр та радіуси різної довжини.

Сфера та куля

Сфера та куля – це аналог кола та кола у тривимірному просторі.Варто поговорити про кожну з цих фігур, виділити подібності та відмінності, а також формули, властиві цим фігурам.

Тривимірний простір

Більшість геометричних побудов виробляється у площині, але у старших класах починають вивчати тривимірні постаті. Двовимірний простір має лише дві характеристики: довжину та ширину. У тривимірних областях додається висота. В математиці 6 класу вивчаються окремі 3д фігури.

На площині фігуру характеризувала площа та периметр. У тривимірних об'єктах до них додається обсяг.

Крім того, є низка специфічних властивостей 3д фігур. Їх може перетинати пряма і площина, можуть бути посічені площини, які набувають форм інших фігур.

Застосування 3д фігур для складання завдань значно ускладнює їх, але водночас робить набагато цікавішими. Наведемо визначення кулі та сфери, після чого спробуємо виділити відмінності цих фігур.

Куля

Куля та сфера – це аналог кола та кола в площині. Куля є фігурою, отриманою обертанням півкола навколо однієї точки.

Куля має площу поверхні: $S=4pir^2$

Радіус це відрізок, що з'єднує центр кулі та будь-яку з точок на його поверхні.

Об'єм показує, який простір займає фігура. Щоб зрозуміти, що таке обсяг потрібно уявити фігуру порожнистою. Тоді обсяг це кількість води, яку можна налити в цю фігуру

Кулю, як і будь-яку іншу тривимірну фігуру, можна розсікти площиною. Сікучою площиною кулі є коло, центр якого можна знайти, опустивши з центру кулі перпендикуляр на коло.

Хоч у шкільному курсі такі ситуації не трапляються, але треба розуміти, що куля може бути розсічена площиною під кутом. Але навіть у цьому прикладі, січна площина залишиться кулею.

Сфера

Сфера це постать, що є безліч точок у просторі, рівновіддалених від центру сфери. Сфера:

• Має ті ж формули об'єму та площі поверхні, що й куля.
• Поточна площина сфери це коло
• Центр січного кола знаходиться так само, як і у випадку з кулею

У чому різниця

Тоді виникає питання, а чим відрізняється куля від сфери, крім визначення? Справа в тому, що відмінності кулі та сфери куди більш розмиті, ніж відмінності кола та кола. Сфера має обсяг і площа поверхні.

Мабуть, крім визначення, різниця полягає в тому, що завдання ніколи не знаходять обсяг сфери. Як правило, шукають об'єм кулі. Це не означає, що сфера не має обсягу. Це тривимірна фігура, тож об'єм у неї є.

Просто проводиться аналогія з колом, у якого немає площі. Це не правило, але скоріше традиція, яку слід запам'ятати: у геометрії не вітається формулювання обсягу сфери.

Ще одна відмінність, яку можна вважати більш менш значущою: січна площина сфери: коло, яке не має внутрішнього простору, але має довжину. Сікуча площина кулі: коло, яке має площу і не має довжини кола. Тому варто бути обережним у формулюваннях завдання, щоб не було помилок через подібні дрібниці.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке сфера та куля. Поговорили про їхні подібності та відмінність. Дізналися, що відмінностей у цих постатей майже немає. Вирішили, що не варто наводити таке формулювання, як обсяг сфери.

Сфера геометрії - елементи, формули, властивості з прикладами

Сферою називається поверхня, отримана обертанням кола навколо якогось її діаметра (рис. 180). Центр цього кола називається центром сфери.

Відрізок, що сполучає центр сфери з будь-якою її точкою, називається радіусом сфери, Відрізок, що з'єднує дві точки сфери, - хордої сфери, а хорда, якій належить центр сфери, діаметром сфери (Рис. 181).

З визначення сфери випливає, що її точки рівновіддалені від центру сфери. Тому всі радіуси сфери дорівнюють один одному.

Теореми

Теорема 1.

Перетин сфери площиною є коло, центр якого збігається з основою перпендикуляра, опущеного з центру сфери на площину, що січе.

Доказ:

Нехай сфера із центром

Нехай і довільні точки лінії перетину сфери з площиною. Трикутники і обидва прямокутні, тому що відрізок перпендикулярний площині, а значить, і відрізкам і лежать у цій площині.

Відрізок є загальним катетом, а гіпотенузи цих трикутників дорівнюють як радіуси сфери. Тому трикутники і дорівнюють один одному, а значить, отримали, що будь-які дві точки лінії перетину сфери площиною рівновіддалені від основи перпендикуляра, опущеного з центру сфери на цю площину. Значить, ця лінія є коло з центром .

Слідство. Радіус перерізу сфери площиною задовольняє умову де радіус сфери.

Перетин має найбільший радіус, якщо січна площина проходить через центр сфери, цей переріз називають великим колом, а обмежене нею коло великим колом.

Площина, що має зі сферою єдину загальну точку, називається дотичною площиною сфери. Загальна точка сфери та дотичної площини називається точкою торкання.

Пряма дотична площина сфери, що проходить через точку торкання, має зі сферою єдину загальну точку. Така пряма називається щодо прямої сфери.

Теорема 2.

Стосовна площина сфери перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.

Доказ:

Нехай площина стосується сфери із центром у точці (рис. 183). Нехай - довільна точка площини, відмінна від точки. Через точки , , проведемо площину , вона по теоремі 1 перетинає сферу по колу. По відношенню до цього кола пряма є дотичною, тому що точка – їх єдина загальна точка. За властивістю до кола радіус перпендикулярний прямий . Таким чином, радіус перпендикулярний будь-якій прямій , проведеної в площині через її точку . Значить, радіус перпендикулярний площині.

Теорема 3.

Якщо площина проходить через точку сфери і перпендикулярна до радіусу, проведеного в цю точку, то вона є дотичною площиною сфери.

Доказ:

Нехай площина проходить через точку сфери та перпендикулярна до радіусу (рис. 184). Нехай - довільна точка площини, відмінна від точки. Трикутник прямокутний з гіпотенузою, і вона довша за катет. Тому точка розташована поза сферою. Виходить, що будь-яка точка площини, крім точки, не належить сфері. Отже, точка — єдина загальна точка площини та сфери, а тому площина є дотичною площиною сфери.

Теореми 2 і 3 виражають відповідно властивість та ознака дотичної площини сфери.

Теорема 4.

Дві сфери перетинаються по колу, площина якого перпендикулярна до прямої, що проходить через центри сфер.

Доказ:

Нехай є дві сфери, що перетинаються, з центрами і , і — якась їх загальна точка (рис. 185). Через точку проведемо площину, перпендикулярну до прямої. Нехай ця площина перетинає пряму в точці. Відповідно до теореми 1 площина перетинає одну та іншу сфери по колу з центром. Отримали, що коло із центром є загальним колом даних сфер.

Інших загальних точок дані кола не мають. Припустимо, що це не так. Нехай - якась загальна точка сфер, що не належить колу з центром. Через точки , і проведемо площину, яка перетне сфери по колам з центрами і . Ці кола перетинаються у двох точках, які належать кола з центром , і разом із цим їм обом належить точка .

Але це суперечить твердженню про те, що два кола мають не більше двох спільних точок.

Перш ніж доводити твердження про поверхню сфери, узагальним твердження про бічні поверхні конуса, усіченого конуса та циліндра.

Теорема 5.

Бічна поверхня конуса, усіченого конуса, циліндра дорівнює бічній поверхні циліндра з тією ж висотою і радіусом основи, що дорівнює довжині перпендикуляра, що з'єднує середину утворює з точкою на осі цього тіла.

Доказ:

Нехай є конус із вершиною, основою якого є коло із центром. Нехай - осьовий перетин конуса (рис. 186). У площині до твірної з її середини зведемо перпендикуляр, який перетне вісь в деякій точці . Прямокутні трикутники подібні, тому що у них кут при вершині загальний. Тому чи або

З урахуванням цього для бічної поверхні конуса матимемо:

Нехай є усічений конус, отриманий обертанням прямокутної трапеції із середньою лінією навколо бічної сторони, яка перпендикулярна основам і відрізок — проекція на основу (рис. 187).

У площині до утвореного зрізаного конуса з її середини зведемо перпендикуляр, який перетне вісь в деякій точці . Прямокутні трикутники подібні, тому що їхні сторони попарно перпендикулярні. Тому

З урахуванням цього для бічної поверхні усіченого конуса матимемо:

Для циліндра твердження очевидне (рис.188).

Теорема 6.

Поверхня сфери дорівнює 4-й площі великого кола:

Доказ:

Нехай є сфера, утворена обертанням півкола навколо свого діаметра (рис. 189). Впишемо в цю дугу ламану з рівними ланками і з крапок опустимо перпендикуляри на діаметр. Нехай – середини ланок ламаної. Тоді – серединні перпендикуляри до цих ланок. При обертанні навколо ланок ламаною описуватимуть або конуси, або усічені конуси, або циліндр. Тому, відповідно до теореми 5, для утвореної поверхні отримаємо

Врахуємо, що відрізки усі рівні один одному:

Нехай радіус сфери дорівнює. Тоді. Будемо необмежено збільшувати кількість ланок ламаної. Тоді відрізок прагнутиме радіусу сфери, а вираз — виразу тобто до виразу Ця межа і приймається як площа поверхні сфери.

Враховуючи, що виражає площу великого кола, отримаємо, що поверхня сфери дорівнює вчетвером площі великого кола.

Рівняння сфери

Визначення: Сферою радіуса R називається безліч всіх точок простору, відстань від кожної з яких до цієї точки (центру) дорівнює R.

Виведемо рівняння сфери. Нехай - центр сфери радіусу - довільна точка, що лежить на цій сфері (рис. 204). Тоді СМ = R. За формулою відстані між двома точками маємо

Прирівнюючи цей вираз R, отримаємо рівняння сфери

Якщо центр сфери збігається з початком координат, то х₀ = 0, у₀ = 0, = 0 і рівняння сфери набуває вигляду

Приклад:

Визначити координати центру та радіус сфери

Рішення:

Об'єднуючи члени, що містять однойменні поточні координати, і доповнюючи їх до повних квадратів, матимемо

Отже, центр сфери знаходиться в точці та радіус її

Зауважимо, що сукупність

рівнянь сфери і площини визначає коло, яким перетинаються площину і сфера (якщо це безліч не порожньо). Зокрема, якщо , то сукупність цих рівнянь зображує коло великого кола.

Рівняння кола можна також писати у параметричному вигляді.

Приклад:

Написати параметричні рівняння меридіана сфери

проходить через полюси і , якщо площина меридіана утворює кут з координатною площиною Охг (рис. 205).

Рішення:

За параметр поточної точки меридіана приймемо кут - широту цієї точки, де проекція точки М на координатну площину Оху . Оскільки , то з рис. 205 маємо

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.