Паралелограм

Коли бачимо зображення з безліччю деталей, наш мозок автоматично розкладає їх у прості постаті. Цей процес займає частки секунди. Різні геометричні фігури викликають у нас різні відчуття, емоції та асоціації. А що буде, якщо ми затримаємо погляд на одній із них і розберемо докладніше?

Чотирьохкутник

Почнемо з так званої бази.

Чотирьохкутник - Геометрична фігура, яка складається з чотирьох вершин, які з'єднані чотирма відрізками.

Важлива умова чотирикутника полягає в тому, що будь-які три точки не лежать на одній прямій, а відрізки, що їх з'єднують, не перетинаються.

Ми розглядатимемо опуклі чотирикутники. Такий чотирикутник розташований в одній напівплощині щодо прямої, що містить будь-яку з його сторін.

Наприклад, ось цей чотирикутник – невипуклий.

А ось цей — опуклий. І всі чотирикутники, які ми розглядатимемо далі, — опуклі.

У опуклому багатокутнику можна порахувати суму кутів за формулою:

Відповідно, для чотирикутника:

Отже, тепер ми можемо перейти до окремих випадків багатокутників.

Паралелограм

Насамперед розберемо паралелограм.

Паралелограм - Це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні.

Давайте визначимо, що означає словосполучення «попарно паралельні». Це означає, що AB||CD, BC||AD.

Паралелограм у звичайному житті ми бачимо досить часто:

Давайте дізнаємося, які властивості та ознаки є у паралелограма.

Все про паралелограму

Властивості паралелограма

4) Сума кутів прилеглих до будь-якої сторони дорівнює 180 °.

Це так, тому що, як у прикладі на картинці, сторони AD та BC – паралельні прямі, а AB – січна.Отже, за властивістю двох паралельних прямих і січної, це односторонні кути та їх сума дорівнює 180 °.

5) Протилежні кути попарно рівні. Це доводиться через третю ознаку рівності трикутників, адже, наприклад, у трикутників ABD і BDC всі сторони рівні, а отже, й кути теж.

Тепер перейдемо до ознак паралелограма. Це те, що нам допомагає зрозуміти, що чотирикутник є паралелограмом.

У паралелограма є три основні ознаки. Якщо для чотирикутника виконується хоча б одна з ознак, то такий чотирикутник можна називати паралелограмом.

Ознаки паралелограма

1. Діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл.

Тепер розглянемо бісектрису в паралелограмі.

Бісектриса паралелограма - Це промінь, що виходить з вершини кута паралелограма, що ділить цей кут на два рівні кути і перетинає одну зі сторін паралелограма.

Розглянемо два корисні факти, пов'язані з бісектрисою в паралелограмі.

1. Бісектриса, проведена з кута паралелограма, відсікає від нього рівнобедрений трикутник.

Це також доводиться за допомогою паралельних прямих. Розглянемо дві паралельні прямі: AD і BC, а також AF. Кути FAD і BFA рівні, тому що вони навхрест лежать. Оскільки AF — бісектриса, то кути BAF і FAD, кути FAD і BFA теж, отже і BAF = BFA. Отже, трикутник BAF – рівнобедрений.

1. Бісектриси кутів, що належать одній стороні паралелограма, перетинаються під прямим кутом.

Ми майже закінчили вивчення паралелограма. Залишилось тільки розглянути формули для знаходження площі. Їх лише три.

1. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

1. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними.

1. Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними.

Ми розглянули всю теорію, пов'язану із паралелограмом. Тепер вирішимо завдання для закріплення матеріалу.

Вирішимо завдання, яке може зустрітися на ЄДІ з профільної математики у завданні №1.

Завдання. Сторони паралелограма дорівнюють 10 і 15. Висота, опущена на першу сторону, дорівнює 12. Знайдіть висоту, опущену на другу сторону паралелограма.

Рішення. Приймемо шукану висоту за x. Як ми вже знаємо, площу паралелограма можна знайти за допомогою висоти та сторони, до якої ця висота проведена. Відповідно, за допомогою цієї формули ми і можемо знайти x:

Відповідь: 8

На цьому ми закінчили вивчення паралелограма, тож можемо рухатися далі!

Прямокутник

Хоч ми й закінчили з паралелограмом, він із нами ще не закінчив, і ось чому.

Прямокутник - Це паралелограм. Але з однією особливістю у прямокутника кути по 90°.

Прямокутник часто називають окремим випадком паралелограма. З цього випливає, що для прямокутника застосовні самі ознаки і властивості, що з паралелограма, а й є ряд власних.

У житті прямокутник теж трапляється досить часто. Наприклад, ви можете побачити його у дверях, картині або фотографії:

Все про прямокутник

Почнемо зі властивостей прямокутника.

1. Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

1. Сума квадратів двох прилеглих сторін дорівнює квадрату діагоналі. Це теорема Піфагора.

Зі властивостями розібралися, тепер розглянемо ознаки.

Так, а що там у нас із бісектрисами у прямокутнику?

А з бісектрисами все досить легко. Бісектриса ділить кут прямокутника на два кути по 45° і перетинає одну із сторін прямокутника.

Тепер розглянемо два способи знаходження площі прямокутника.

1. Площа прямокутника дорівнює половині добутку квадрата діагоналі на синус кута між діагоналями.

Давайте закріпимо матеріал на прикладі.

Вирішимо завдання, яке може зустрітися на ЄДІ з профільної математики у завданні №1.

Завдання. Площа прямокутника дорівнює 20. Знайдіть його більшу сторону, якщо вона на 8 більша від меншої сторони.

Рішення. Як ми знаємо, площа прямокутника дорівнює добутку довжини на ширину. Приймемо одну сторону прямокутника за x, тоді друга дорівнює x + 8.
Тоді:

Сторона не може мати негативну довжину, тому вірний корінь – перший.

Відповідь: 10

На цьому закінчується наша стаття, але не тема чотирикутників.

Фактчек

• Чотирьохкутник - Геометрична фігура з чотирьох вершин, які з'єднані чотирма відрізками.
• У чотирикутника будь-які три точки не лежать на одній прямій, а відрізки, що їх з'єднують, не перетинаються.
• Паралелограм - Це опуклий чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні.
• Прямокутник - Це паралелограм, у якого всі кути - прямі.

Перевір себе

Завдання 1.
Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони 5 і 8, а кут між ними 30°.

Завдання 2.
Знайдіть площу прямокутника, якщо його діагональ 12, а кут між діагоналями 60°.

Завдання 3.
У чотирикутника діагоналі перетинаються під кутом 30°, яке сторони попарно паралельні і рівні.Що то за фігура?

Завдання 4.
У чотирикутника дві протилежні сторони паралельні та рівні і є один прямий кут. Що то за фігура?

Відповіді: 1. - 2; 2. – 3; 3. – 4; 4. – 3.

Односторонні кути: несподівані ракурси геометрії

Геометрія вивчає просторові форми та взаємозв'язки між ними. Фігури, кути, відносини - начебто, все давно вивчено і зрозуміло. Однак є в геометрії дивовижне явище, яке при найближчому розгляді відкриває несподівані властивості звичних об'єктів. Це односторонні кути.

Що таке односторонній кут? Чому він важливий у геометрії? Які завдання можна розв'язати, використовуючи односторонні кути? На ці та інші питання ми намагатимемося відповісти у цій статті.

Односторонні кути - просте, але дуже важливе явище в геометрії. Поринемо в цю тему та відкриємо для себе нові грані геометричної науки!

Що таке односторонній кут

Односторонніми називають кути, утворені при перетині двох паралельних прямих січні. Такі кути розташовуються по один бік від січної.

• У односторонніх кутів є цікава властивість: кути, що лежать по один бік від січної, рівні.
• Ця властивість часто використовується під час вирішення завдань на паралельність прямих у геометрії.

Односторонні кути можуть бути як зовнішніми, так і внутрішніми. Це залежить від того, чи лежать точки перетину прямих усередині фігури, утвореної паралельними прямими, або зовні.

Односторонні кути при паралельних прямих є важливим об'єктом вивчення геометрії.Знання їх властивостей дозволяє вирішувати багато завдань на доказ.

Зв'язок односторонніх кутів з іншими фігурами

Односторонні кути тісно пов'язані з такими фігурами, як трапеція, паралелограм та ромб. Ці чотирикутники мають паралельні протилежні сторони, що призводить до появи односторонніх кутів.

• У трапеції односторонні кути знаходяться на підставах. Знаючи їх властивості, можна знайти висоту трапеції, отже, і площу.
• У паралелограм односторонні кути утворюються при перетині діагоналей зі сторонами. Це дозволяє використовувати їхню рівність для знаходження елементів паралелограма.
• А в ромбі кути між діагоналями та сторонами є зовнішніми односторонніми. Вони дозволяють обчислити кути самих діагоналей.

Таким чином, односторонні кути пов'язують паралельні та перпендикулярні прямі всередині багатокутників. А їхні властивості дають змогу знаходити інші елементи цих фігур.

Висновки

Вивчаючи односторонні кути в геометрії, можна дійти висновків.

1. У будь-якому опуклому чотирикутнику сума односторонніх кутів за будь-яких двох суміжних сторін завжди дорівнює 180°. Навіть якщо чотирикутник не є паралелограмом, ні трапецією. Це випливає з теореми про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника.
2. З рівності односторонніх кутів при перетині паралельних прямих можна вивести теорему Фалеса. Якщо з'єднати точки перетину паралельних прямих з кінцями відрізка, вийдуть подібні трикутники з пропорційними сторонами.
3. Використовуючи односторонні кути ромба, можна довести, що його діагоналі взаємно перпендикулярні та ділять кути навпіл. А з цього випливає, що ромб можна вписати в коло, а можна й описати.

Таким чином, властивості односторонніх кутів при паралельних прямих дозволяють не тільки вирішувати завдання по планіметрії, але й відкривати нові цікаві факти про фігури на площині.