Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log _a x та log _a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log₆ 4+log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48: 3) = log₂ 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₃ 135 − log₃ 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135: 5) = log₃ 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання.Що, якщо в підставі або аргументі логарифму стоїть ступінь?

Неважко помітити, що останнє правило слід їх перших двох.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто можна вносити числа, стоящие перед Знаком логарифму, в сам логарифм. Саме це найчастіше і потрібно.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₇ 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log₇ 49 6 = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ;

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До самого останнього моменту ми працюємо тільки зі знаменником.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть одне й те саме число: log₂ 7. Оскільки log₂ 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють тільки при однакових підставах.

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай дано логарифм log _a x. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

[Підпис до малюнка]

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

[Підпис до малюнка]

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₅ 16 · log₂ 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log₅ 16 = log₅ 2 4 = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5 2 = 2log₂ 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₉ 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбавимося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a ? Правильно: вийде це число a . Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ.

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. log _a a = 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
2. log _a 1 = 0 - це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

• ЄДІ-2025
• Школярам
• 1. Арифметика
• Арифметика
• Дроби
• Модуль
• Відсотки
• Коріння
• Ступені
• Прогресії
• Текстові завдання
• 2. Алгебра
• Рівняння
• Системи рівнянь
• Нерівності
• Системи нерівностей
• Раціональні дроби
• Функції
• Багаточлени
• Логарифми
• Експонента
• Завдання з параметром
• Ймовірність
• 4. Геометрія
• Трикутники
• Багатокутники
• Окружність
• Стереометрія
• Вектори
• 3. Математичний аналіз
• Тригонометрія
• Межа
• Похідна
• Інтеграли
• Студентам
• Реклама
• Про мене

• © 2010—2024 ІП Бердов Павло Миколайович
  ІПН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При використанні матеріалів посилання на сайт обов'язкове
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; пошта: [email protected]
• Карта сайту

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log _a x та log _a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log₆ 4+log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48: 3) = log₂ 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₃ 135 − log₃ 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135: 5) = log₃ 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт.Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₇ 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log₇ 49 6 = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть те саме число: log₂ 7. Оскільки log₂ 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють тільки при однакових підставах.

На допомогу приходять формули переходу до нової основи.

Нехай дано логарифм log _a x . Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

[Підпис до малюнка]

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

[Підпис до малюнка]

З другої формули випливає, що можна міняти місцями підставу та аргумент логарифму, але при цьому все вираз «перевертається», тобто логарифм виявляється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічаються у звичайних числових висловлюваннях.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₅ 16 · log₂ 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені.₅ 16 = log₅ 2 4 = 4log₅ 2;₂ 25 = log₂ 5 2 = 2log₂ 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log₉ 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступеня.

Тепер позбавимося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу.У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a ? Правильно: вийде це число a . Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ.

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. log _a a = 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
2. log _a 1 = 0 - це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

• ЄДІ-2025
• Школярам
• 1. Арифметика
• Арифметика
• Дроби
• Модуль
• Відсотки
• Коріння
• Ступені
• Прогресії
• Текстові завдання
• 2.Алгебра
• Рівняння
• Системи рівнянь
• Нерівності
• Системи нерівностей
• Раціональні дроби
• Функції
• Багаточлени
• Логарифми
• Експонента
• Завдання з параметром
• Ймовірність
• 4. Геометрія
• Трикутники
• Багатокутники
• Окружність
• Стереометрія
• Вектори
• 3. Математичний аналіз
• Тригонометрія
• Межа
• Похідна
• Інтеграли
• Студентам
• Реклама
• Про мене

• © 2010—2024 ІП Бердов Павло Миколайович
  ІПН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При використанні матеріалів посилання на сайт обов'язкове
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; пошта: [email protected]
• Карта сайту

Формули та властивості логарифмів

Логарифм числа b на підставі a (log_a b ) визначається як показник ступеня, в який треба звести число a (основа логарифму), щоб отримати число b (логарифм існує тільки у позитивних чисел).

log_a b = x означає, що a x = b

Калькулятор логарифмів

Графік логарифмів

Види логарифмів

• log_a b - логарифм числа b на підставі a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• lg b - десятковий логарифм (логарифм на підставі 10, a = 10).
• ln b - натуральний логарифм (Логарифм на підставі e, a = e).

Формули та властивості логарифмів

1. a log _ab = b - основне логарифмічне тотожність
2. log _a 1 = 0 – логарифм одиниці
3. log _a a = 1 - логарифм числа, що дорівнює підставі
4. log _a ( x · y ) = log _ax + log _ay - логарифм добутку двох позитивних чисел
5. log _a x y = log _ax - log _ay - логарифм приватного
6. log _a 1 x = -log _ax
7. log _a x n = n log _ax - логарифм ступеня числа
8. log _an √ x = 1 n log _ax - логарифм кореня числа
9. log _{a n} x = 1 n log _a x , за n ≠ 0
10. log _ax = log _{a c} x c
11. log _a x = log _b x log _b a - формула переходу до нової основи
12. log _a x = 1 log _x a
13. (log _a x )′ = 1 x ln a - похідна логарифма

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!

Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн-вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви хочете зв'язатися зі мною, маєте запитання, пропозиції чи хочете допомогти розвивати сайт OnlineMSchool пишіть мені [email protected]