Циклічні процеси

Циклічні газові процеси складаються з кількох етапів, причому кінцевий стан газу збігається з початковим. Зазвичай розглядаються випадки, коли етапами циклічного процесу є ізопроцеси та адіабатний процес.

• На яких етапах процесу газ отримує тепло, а на яких віддає?
• Чому дорівнює отримана газом чи віддана їм кількість теплоти?
• Чому дорівнює зміна внутрішньої енергії газу на різних етапах процесу?
• Чому дорівнює робота газу за один цикл?
• Чому дорівнює ККД циклу?

Для найпростішого циклічного процесу, що складається з двох ізохор та двох ізобарів, ми вже знайшли відповіді на ці питання (див. § 43). Розглянемо тепер складніший цикл.

На малюнку 47.4 зображено графік циклічного процесу, що відбувається з деякою масою одноатомного ідеального газу.

Відомо, що при ізобарному розширенні газ здійснює роботу А, а при ізотермічному стисканні віддає холодильнику кількість теплоти Q_хол. Потрібно знайти ККД циклу.

Проаналізуємо спочатку цей циклічний процес якісно. За визначенням ККД циклу дорівнює відношенню роботи, виконаної газом за один цикл, до кількості теплоти, переданої газу за цей цикл.

Робота, здійснена газом за один цикл, дорівнює різниці роботи, здійсненій газом при його розширенні, та роботи, виконаної над газом при його стисканні.

13. На яких етапах процесу газ виконує роботу, а на яких етапах роботу виконують над газом?

14. На яких етапах процесу газ отримує тепло?

Перейдемо тепер до кількісного опису.Зауважимо, що у подібних завданнях як роботу газу, так і кількість теплоти зручно виражати через кількість молей газу та значення абсолютної температури газу в різних станах газу, навіть якщо ці значення не задані (у такому разі вони скоротяться, якщо знайдено правильне рішення).

Позначимо T₁, Т₂ і Т₃ значення абсолютної температури відповідно у станах 1, 2, 3. Оскільки процес 3-1 ізотермічний, Т₁ = Т₃.

Циклічна частота коливань

Будь-які коливальні процеси в Природі (у тому числі і неперіодичні) можуть бути представлені у вигляді нескінченної суми простих гармонійних коливань. Тому насамперед вивчаються гармонійні коливання. Розглянемо таку характеристику цих коливань, як циклічна частота.

Період та частота гармонійних коливань

Вперше гармонійними ваганнями зацікавилися ще античні філософи, вивчаючи питання музичної гармонії. Тому найпростіші коливання, які за законом кругових функцій (синуса чи косинуса), називаються гармонійними.

Формула гармонійних коливань:

Мал. 1. Графік гармонійних коливань.

Як можна бачити з графіка коливань (а також з вивчення кругових функцій у математичному аналізі), ці функції регулярно повторюють свої значення. Понад те, регулярно повторюється форма графіка коливань. Ця властивість функції називається періодичністю. Тобто, функція, що має періодичність, має рівні значення на проміжках, рівних своєму періоду.

Період позначається латинською літерою $T$. Однак, фізичний та математичний підхід до виміру періоду трохи різний.

У математиці як аргумент кругової функції розглядається кут повороту вектора, що утворює її, і цей кут зручно вимірювати в радіанах (кожен радіан дорівнює дузі, що має довжину радіуса). У радіанах вимірюється період кругової функції. Для простого синуса чи косинуса $T = 2pi$.

Мал. 2. Період синуса та косинуса.

У фізиці кут повороту менш важливий, нерідко такий кут навіть неможливо вказати (наприклад, коливання пружинного маятника). Тому у фізиці період вимірюється в одиницях часу – секундах. Додатково це дає можливість запровадити спеціальну характеристику, що дозволяє визначити "швидкість" коливань - частоту (позначається грецькою буквою $\nu$ ("ню")).

Якщо період показує, за скільки часу відбувається одне коливання, то частота показує, скільки коливань відбувається за одну секунду:

Частота вимірюється в коливаннях за секунду або Герцах (Гц). Один герц - це одне вагання в секунду.

Кругова частота

Як бачимо, фізичний та математичний підхід до опису періоду функцій дещо відрізняються, і виникає питання їхнього зв'язку.

З наведеної вище формули гармонійних коливань можна побачити, що вона має період:

У цю формулу входить параметр $ \ omega $, який обернено пропорційний періоду. При порівнянні цієї формули з формулою частоти можна отримати:

Таким чином, параметр $ \ omega $ в $ 2 \ pi $ разів більше частоти коливань. Оскільки в одному колі $2 \ pi $ радіан, то параметр $ \ omega $ називається "кругової" або "циклічної" частотою.

Фізичний сенс частоти – кількість коливань, які у системі за одиницю часу, а фізичний зміст кругової частоти – це кількість радіан, які проходять функцією, що описує систему, за одиницю часу.

Таким чином, зручний та наочний параметр частоти може бути легко перетворений для вигляду, зручного в математичних перетвореннях.

Що ми дізналися?

Кругова (циклічна) частота - це важливий параметр гармонійного коливання, зручний у математичній обробці функцій. Кругова частота означає кількість радіан, що пройшли гармонійною функцією за одиницю часу. Вона прямо пропорційна звичайній частоті.

Глава 15. Робота газу циклічному процесі. Теплові двигуни Цикл Карно

До програми шкільного курсу фізики входить низка питань, пов'язаних із тепловими двигунами. Школяр повинен знати основні принципи роботи теплового двигуна, розуміти визначення коефіцієнта корисної дії (ККД) циклічного процесу, вміти знаходити цю величину у найпростіших випадках, знати, що таке цикл Карно та його ККД.

Тепловим двигуном (або тепловою машиною) називається процес, у результаті якого внутрішня енергія якогось тіла перетворюється на механічну роботу. Тіло, внутрішня енергія якого перетворюється двигуном на роботу, називається нагрівачем двигуна. Механічна робота у теплових машинах здійснюється газом, який прийнято називати робочим тілом (або робочою речовиною) теплової машини. При розширенні робоче тіло робить корисну роботу.

Для того щоб зробити процес роботи двигуна циклічним, необхідно ще одне тіло, температура якого менша за температуру нагрівача і яке називається холодильником двигуна. Дійсно, якщо при розширенні газ здійснює позитивну (корисну) роботу (лівий малюнок; робота газу чисельно дорівнює площі «залитої» фігури), то при стисканні газу він здійснює негативну («шкідливу») роботу, яка має бути за абсолютною величиною меншою за корисну роботу .А для цього стиск газу необхідно проводити за менших температур, ніж розширення, і, отже, газ перед стисненням необхідно охолодити. На середньому малюнку показаний процес стиснення газу 2-1, в якому газ здійснює негативну роботу , абсолютна величина якої показана на середньому малюнку світлішою «заливкою». Щоб сумарна робота газу за цикл була позитивна, площа під графіком розширення повинна бути більшою за площу під графіком стиснення. А для цього газ перед стиском слід охолодити. Крім того, з проведених міркувань випливає, що робота газу за цикл чисельно дорівнює площі циклу на графіку

залежності тиску від об'єму, причому зі знаком "плюс", якщо цикл проходить за годинниковою стрілкою, і "мінус" - якщо проти.

Таким чином, двигун перетворює на механічну роботу не всю енергію, взяту у нагрівача, а лише її частину; решта цієї енергії використовується задля роботи, а передається холодильнику, тобто. Практично втрачається до скоєння роботи. Тому величиною, що характеризує ефективність роботи двигуна, є відношення

де - робота, що здійснюється газом протягом циклу, - кількість теплоти, отримана газом від нагрівача за цикл. Відношення (15.1) показує, яку частину кількості теплоти, отриманого у нагрівача, двигун перетворює на роботу і називається коефіцієнтом корисної дії (ККД) двигуна.

Якщо протягом циклу робоче тіло двигуна віддає холодильнику кількість теплоти (ця величина за своїм змістом позитивна), для роботи газу справедливе співвідношення . Тому існує низка інших форм запису формули (15.1) для ККД двигуна.

Французький фізик та інженер С.Карно довів, що максимальний ККД серед усіх процесів, що використовують деяке тіло з температурою як нагрівач, і деяке інше тіло з температурою ( ) як холодильник, має процес, що складається з двох ізотерм (при температурах нагрівача і холодильника ) і двох адіабат ​​(см . рисунок).

Ізотермам на графіку відповідають ділянки графіка 1-2 (при температурі нагрівача) та 3-4 (при температурі холодильника), адіабатам – ділянки графіка 2-3 та 4-1 Цей процес називається циклом Карно дорівнює.

Тепер розглянемо завдання. Завдання 15.1.1 необхідно використовувати ту обставину, що робота газу в циклічному процесі чисельно дорівнює площі циклу на графіку залежності тиску від обсягу, причому зі знаком «плюс», якщо цикл проходить за годинниковою стрілкою, і «мінус» — якщо проти другого циклу робота газу. позитивна, в третьому негативна. Перший цикл складається з двох циклів, один з яких проходить по, другий - проти годинникової стрілки, причому, як випливає з графіка 1, площі цих циклів рівні. Тому робота газу за цикл у процесі 1 дорівнює нулю (правильна відповідь - 2).

Оскільки в результаті здійснення циклічного процесу газ повертається до початкового стану (Завдання 15.1.2), то зміна внутрішньої енергії газу в цьому процесі дорівнює нулю (відповідь 2).

Застосовуючи в задачі 15.1.3 перший закон термодинаміки до всього циклічного процесу та враховуючи, що зміна внутрішньої енергії газу дорівнює нулю (див. попередню задачу), укладаємо, що (відповідь 3).

Оскільки робота газу чисельно дорівнює площі циклу на діаграмі «тиск-обсяг», то робота газу в процесі задачі 15.1.4 дорівнює (відповідь 1). задачі 15.1.5 газ за цикл здійснює роботу (відповідь 1).

Робота газу будь-якому процесі дорівнює сумі робіт на окремих ділянках процесу. Оскільки процес 2-3 в задачі 15.1.6 — ізохоричний, робота газу в цьому процесі дорівнює нулю. Тому (відповідь 3).

За визначенням ККД показує, яку частину кількості теплоти, отриманого у нагрівача, двигун перетворює на роботу (Завдання 15.1.7 - відповідь 4).

Робота двигуна за цикл дорівнює різниці кількостей теплоти, отриманого від нагрівача та відданого холодильнику: . Тому ККД циклу є

(Завдання 15.1.8 - відповідь 3).

За формулою (15.3) знаходимо ККД циклу Карно в задачі 15.1.9

Нехай температура нагрівача початкового циклу Карно дорівнює, температура холодильника (завдання 15.1.10). Тоді за формулою (15.3) для ККД початкового циклу маємо

Звідси знаходимо. Тому для ККД нового циклу Карно отримуємо

У Завдання 15.2.1 формули (2), (3) і (4) є різними варіантами запису визначення ККД теплового двигуна (див. формули (15.1) і (15.2)). Тому не визначає ККД двигуна лише формула 1. (відповідь 1).

Потужністю двигуна називається робота, досконала двигуном за одиницю часу. Оскільки робота двигуна дорівнює різниці отриманого від нагрівача і відданого холодильнику кількостей теплоти, маємо для потужності двигуна задачі 15.2.2

За формулою (15.2) маємо для ККД двигуна задачі 15.2.3

де - кількість теплоти, отримана від нагрівача, - кількість теплоти, віддане холодильнику (правильна відповідь - 2).

Для знаходження ККД теплового двигуна задачі 15.2.4 зручно використовувати останню формулу (15.2). Маємо

де – робота газу, – кількість теплоти, віддана холодильнику. Тому правильна відповідь у завданні 3.

Нехай газ здійснює за цикл роботу (Завдання 15.2.5). Оскільки кількість теплоти, отримана від нагрівача дорівнює (- кількість теплоти, віддане холодильнику), і робота становить 20% від цієї величини, то для роботи справедливе співвідношення = 0,2 (+ 100). Звідси знаходимо = 25 Дж (відповідь 1).

Оскільки робота теплового двигуна в задачі 15.2.6 дорівнює 100 Дж при ККД двигуна 25%, то двигун отримує від нагрівача кількість теплоти 400 Дж. Тому він віддає холодильнику 300 Дж теплоти протягом циклу (відповідь 4).

У задачі 15.2.7 газ отримує або віддає теплоту тільки у процесах 1-2 та 3-1 (процес 2-3 за умовою адіабатичний). Тому дана в умові завдання кількість теплоти є кількістю теплоти, одержаною від нагрівача протягом циклу, - кількістю теплоти, відданого холодильнику. Тому робота газу дорівнює (відповідь 1).

Цикл, даний у задачі 15.2.8, складається з двох ізотерм 2-3 і 4-1 і двох ізохор 1-2 та 3-4. Робота газу в ізохоричних процесах дорівнює нулю. Порівняємо роботи газу в ізотермічних процесах. Для цього зручно побудувати графік залежності тиску від обсягу в цьому процесі, оскільки робота газу є площа під цим графіком. Графік залежності тиску від обсягу для заданого за умови процесу наведено малюнку. Оскільки ізотермі 2-3 відповідає більша температура, ніж ізотермі 4-1, вона буде розташована вище на графіку . Обсяг газу у процесі 2-3 збільшується, у процесі 4-1 зменшується. Таким чином, графік процесу на графіку проходить за годинниковою стрілкою, і, отже, робота газу за цикл позитивна (відповідь 1).

Для порівняння робіт газу на різних ділянках процесу задачі 15.2.9 збудуємо графік залежності тиску від обсягу. Цей графік представлений малюнку.З малюнка випливає, що роботи газу в процесах 1-2 і 3-4 однакові за модулем (ці роботи відповідають площі прямокутників, «залитих» на малюнку світлою і темною «заливкою»). Роботі газу на ділянці 4-1 відповідає площа під графіком 4-1, яка менша за площу під графіком 1-2. Роботі газу дільниці 2-3 відповідає площа під кривою 2-3 малюнку, яка свідомо більше площі «залитих» прямокутників. Тому в процесі 2-3 газ і здійснює найбільшу за абсолютною величиною (серед аналізованих процесів) роботу (відповідь 2.).

Відповідно до визначення коефіцієнт корисної дії представляє відношення роботи газу за цикл до кількості теплоти, отриманої від нагрівача. Як випливає з цього в умові завдання 15.2.10 графіка, і в процесі 1-2-4-1 та в процесі 1-2-3-1 газ отримує теплоту тільки на ділянці 1-2. Тому кількість теплоти, отримана газом від нагрівача у процесах 1-2-4-1 та 1-2-3-1 однакова. А ось робота газу в процесі 1-2-4-1 удвічі менша (так площа трикутника 1-2-4 як удвічі менша за площу трикутника 1-2-4-1). Тому коефіцієнт корисної дії процесу 1-2-4-1 вдвічі менший за коефіцієнт корисної дії процесу 1-2-3-1 (відповідь 1).