Дуга кола — як його знайти? Формули та приклади

Дуга кола - важливе поняття в геометрії, що має безліч застосувань. У цій статті ми докладно розберемо, що таке дуга кола, як його знайти та обчислити основні параметри.

Визначення дуги кола

Дуга кола - це частина кола, укладена між двома точками цього кола. Іншими словами, якщо з'єднати дві точки на колі відрізком, ця частина кола буде дугою.

Дуга визначається центральним кутом – кутом між радіусами, проведеними з центру кола в кінці дуги. Центральний кут завжди дорівнює градусній мірі самої дуги.

Залежно від величини центрального кута, дуга може бути:

• Менше півкола - якщо центральний кут менше 180°
• Рівна півкола - якщо центральний кут дорівнює 180°
• Більше півкола - якщо центральний кут більше 180 °

Обчислення довжини дуги

Довжина дуги обчислюється за формулами:

Якщо центральний кут заданий у градусах:

• L – довжина дуги
• α - центральний кут у градусах або радіанах
• R - радіус кола

Наприклад, довжина дуги кола радіусом 5 см з центральним кутом 120° дорівнюватиме:

L = (120 ° / 360 °) · 2 · 3.14 · 5 = 10.47 см

Застосування дуг кола

Дуга кола використовується на вирішення безлічі завдань у геометрії, тригонометрії, фізиці та інших областях.

Наприклад, за допомогою дуг можна обчислити:

• Довжина кривої лінії, частина якої є дугою кола
• Площа сектора чи сегмента кола, обмеженого дугою
• Об'єм тіла обертання, отриманого обертанням дуги кола навколо її хорди або діаметра
• Довжину шляху, пройденого точкою, що рухається дугою кола з постійною швидкістю і т.д.

Також дуги кола широко використовуються у будівництві, машинобудуванні, на транспорті – скрізь, де потрібно щось вигнути або зробити криволінійним.

Наприклад, арки мостів, бані будівель, обода коліс, корпуси суден і човнів часто мають форму дуги кола або частини такої дуги.

Цікаві факти про дуги кола

• Дві дуги, куди коло ділиться двома точками, називаються додатковими. Їхні центральні кути завжди в сумі дають 360° або 2π радіан.
• Якщо хорди двох кіл перетинаються у певній точці, то твори відрізків цих хорд, куди їх ділить точка перетину, завжди рівні.
• Сума квадратів двох додаткових хорд кола, що проходять через деяку точку, є постійна величина, яка не залежить від вибору цих хорд.

У цій статті ми розібрали основні відомості про дуги кола - що це таке, як визначити дугу і знайти її довжину. Також розглянули приклади використання дуг у різних галузях.

Дуги кола - важливий елемент геометрії, що дозволяє вирішувати безліч прикладних завдань. Розуміння їх властивостей необхідне інженерам, будівельникам, дизайнерам та спеціалістам багатьох інших професій.

Обчислення площі сектора за дугою

Одне з найчастіших застосувань дуг кола - це обчислення площі сектора. Сектор кола - це частина кола, обмежена двома радіусами та дугою між ними.

Якщо відомі радіус кола R та довжина дуги L, то площу сектора можна знайти за формулою:

Наприклад, радіус кола дорівнює 10 см, а довжина дуги, що обмежує сектор, дорівнює 15 см. Тоді площа сектора дорівнюватиме:

S = (15/20) * 3.14 * 100 = 47.1 см2

Знаходження об'єму тіла обертання

Ще одне часте застосування дуг - обчислення обсягу тіл обертання.Якщо дугу обертати навколо її хорди чи діаметра, вийде якесь тіло.

Обсяг такого тіла обчислюється за такою формулою:

де R – радіус кола, L – довжина дуги.

Наприклад, якщо радіус кола 10 см, а довжина дуги 30 см, то об'єм тіла обертання дорівнюватиме:

V = 3.14 * 100 * 30 = 9420 см3

Застосування дуг у будівництві

У будівництві дуги кола використовуються повсюдно - при зведенні арок, склепінь, куполів будівель та споруд.

Знаючи радіус і довжину дуги, будівельники можуть точно розрахувати необхідні розміри опалубки для заливки бетону під час зведення арочних конструкцій.

Також за параметрами дуги інженери обчислюють величину навантаження, яке має витримати арочна конструкція з урахуванням її власної ваги та ваги перекриттів.

Дуги в дизайні та ландшафтному проектуванні

Дизайнери часто використовують кола та їх дуги при проектуванні різних виробів - меблів, ламп, предметів інтер'єру.

У ландшафтному дизайні дуги застосовуються при розбивці клумб, робітників, створенні штучних водойм.

Знаючи радіус кривизни та довжину дуги, ландшафтні архітектори можуть точно спланувати необхідну територію та розрахувати об'єм ґрунту для клумби.

Застосування дуг у машинобудуванні

У машинобудуванні дуги кола широко використовуються під час виробництва деталей зі складними криволінійними поверхнями - корпусів, ободів, опор тощо.

Знаючи параметри дуги та застосовуючи технології лиття, штампування або згинання, інженери можуть виготовити якісну деталь, що максимально повторює задану форму.

Також дуги кола часто використовуються при конструюванні різних механізмів, наприклад для осей обертання в шарнірах маніпуляторів і роботів.

Використання дуг при проектуванні доріг

При проектуванні автомобільних та залізниць часто вдаються до побудови кривих у вигляді дуг кола.

Дуги дозволяють плавно змінювати напрямок траси, не допускаючи різких поворотів. Це забезпечує більшу безпеку руху транспорту на високих швидкостях.

Інженери точно розраховують необхідну кривизну дуги виходячи з радіусу та максимально допустимої швидкості в даній ділянці шляху.

Розрахунок розширення колії у кривих

При русі дугою зовнішнє колесо проходить більший шлях, ніж внутрішнє. Щоб колеса не натирали об рейки, здійснюють розширення колії на дугах.

Величина розширення розраховується виходячи з радіусу дуги та бази транспортного засобу за спеціальними формулами.

Зведення опор мостів

При будівництві мостів опори часто мають форму дуг для більшої міцності та стійкості.

Висота, ширина та кривизна опорних дуг вибирається виходячи з конструктивних особливостей моста та очікуваних навантажень.

Застосування дуг у суднобудуванні

У суднобудуванні при проектуванні корпусів суден нерідко вдаються до використання дуг та частин дуг кіл.

Завдяки плавним обводам у формі дуг знижується опір води, збільшується швидкість та маневреність судна.

Корабельні інженери ретельно вибирають радіуси дуг для оптимальних ходових якостей майбутнього флоту.

Застосування дуг в авіабудуванні та ракетобудуванні

В авіабудуванні та ракетобудуванні конструктори також нерідко використовують дуги та частини дуг при проектуванні обводів літальних апаратів.

Фюзеляжі літаків

Обтічні форми фюзеляжів часто включають дугові сегменти, що забезпечують найменший лобовий опір польоту.

Оптимальні радіус та довжина дуг підбираються аеродинаміками для конкретної моделі повітряного судна.

Обтічники ракет

При створенні балістичних ракет конструктори використовують обтічники у формі дуги для захисту корисного навантаження під час польоту в щільних шарах атмосфери.

Радіус та кутові розміри дуги вибираються виходячи з габаритів ракети та очікуваних швидкостей для зниження тертя та перегріву.

Проектування лопатей гвинтів

У конструкціях гвинтів вертольотів та інших літальних апаратів лопаті також часто мають форму дуги кола або його сегмента.

Така форма забезпечує оптимальну підйомну силу та тягу при обертанні гвинта на різних режимах польоту.

Використання дуг в астрономії та навігації

В астрономії дуги кіл допомагають описувати рух небесних тіл та їх взаємне розташування на небосхилі.

А в навігації мореплавці та мандрівники будували гномони, що відкидали дугу тіні для визначення часу та географічних координат по Сонцю та зірок.

Коло та коло

Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.

• 1 Загальні визначення
• 2 Відносна до кола
• 3 Кути в колі
• 4 Вписане коло
• 5 Описане коло
• 6 Теорема Птолемея

Загальні визначення

Окружність — це безліч точок, що розташовується на однаковій відстані від центру, представленого точкою.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.

Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметром цього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R

Довжина кола обчислюється за формулою: C=2\pi R

Площа кола: S=\pi R^

Дугого кола називається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

Центральним кутом називається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.

Довжину дуги можна знайти за формулою:

1. Використовуючи градусну міру: CD = \frac<\pi R \alpha ^<\circ>>>
2. Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Стосовно кола

Стосовно кола прийнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.

Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучою.

Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну.Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Кути в колі

Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.

\angle COD = \cup CD = \alpha^

Вписаний кут - Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^

Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Вписані кути, що спираються на одну хорду, тотожні або їх сума дорівнює 180^ .

\angle ADB + \angle AKB = 180^

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac \left ( \cup DmC + \cup AlB \right )

Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac \left ( \cup DmC - \cup AlB \right )

Вписане коло

Вписане коло - Це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:

Описане коло

Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.

Існує така умова: коло можна описати близько чотирикутника тільки, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^ < \circ>.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одне-єдине. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

a, b, c - довжини сторін трикутника,

S – площа трикутника.

Теорема Птолемея

Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Круги та Пі Градуси та радіани

Досі в геометрії ми завжди вимірювали кути в градусах. Повний оборот на °, половина обороту ° , а чверть кола становить ° і так далі.

Число 360 дуже зручне, тому що воно ділиться на безліч інших чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 тощо. Це означає, що багато частин одного обороту також є цілими числами. Але ви колись замислювалися, звідки береться число 360?

Так вийшло, що 360 градусів - це одне з найдавніших понять у математиці, яким ми досі користуємося.

У той час одним з найважливіших застосувань математики була астрономія. Сонце визначає чотири сезони, про які важливо знати фермерам для вирощування врожаю. місяць визначає припливи, що було важливо для рибалок. Люди також вивчали зірки, щоб пророкувати майбутнє або спілкуватися з богами.

Вавилонська табличка для розрахунку 2

Астрономи помітили, що сузір'я, видимі в певний час вночі, трохи зміщувалися день у день - доти, доки приблизно через 360 днів вони не поверталися назад до своєї вихідної точки. І це могло стати причиною того, що коло розділили на 360 градусів.

Звичайно, насправді в одному році 365 днів (ну, точніше, 365.242199), але вавилонські математики працювали з простим сонячним годинником, і це наближення було цілком адекватним.

Це також добре працювало з їхньою існуючою системою 60-тиричною системою числення (так як 6 × 60 10-тиричної системи (наприклад, 10 років за десятиліття або 100 років за сторіччя).

Для багатьох з нас вимір кутів у градусах досить звичний: відео на 360 °, скейтбордисти можуть зробити поворот на 540 °, а хтось може змінити своє рішення на 180 °.

Але з математичної точки зору вибір 360 цілком довільний. Якби ми жили на Марсі, коло могло б мати 670°, а в році на Юпітері взагалі 10 475 днів.

540 McFlip, поворот на 540 °

Радіан

Замість того, щоб ділити коло на кілька сегментів (наприклад, 360 градусів), математики часто воліють вимірювати кути, використовуючи одиничне коло (Окружність з радіусом 1).

Повне коло має довжину ,

Повороту на півкола, відповідає відстань,

Для обертання на чверть кола , відстань по колу ,

І так далі: цей спосіб вимірювання кутів називається радіанами .

Кожен кут у градусах має еквівалентний розмір у радіанах. Перетворення одного на інше дуже просте, воно схоже на конвертацію між іншими одиницями вимірювання, наприклад, метрами і кілометрами або градусами Цельсія та Фаренгейта:

360° = 2_π радіан_

⇒ 1° = π 180 180 π 360 π радіан

⇒ 1 радіан = 180 π 180 − π 2 π − 360 °

Ви можете записати значення в радіанах або як звичайний дріб з π , або як десятковий дріб. Чи можете ви заповнити цю таблицю еквівалентних кутових розмірів у градусах та радіанах?

Пройдена відстань

Ви можете думати про радіани як про пройдену відстань по колу одиничного кола. Це особливо корисно при роботі з об'єктами, що рухаються круговою траєкторією.

Наприклад, Міжнародна космічна станція робить один оберт навколо Землі кожні 1,5 години. швидкість обертання 2 π 1.5 1.5 2 π 1.5 · π радіани на годину.

При русі по одиничному колу швидкість обертання дорівнює фактичною швидкості, тому що довжина кола така ж, як один повний оборот у радіанах (обидва 2 π).

Радіус орбіти МКС становить 6800 км, що означає, що фактична швидкість МКС має бути 2 π 1.5 × 6800 2 π 1.5 ÷ 6800 6800 2 · π = 28483 км на годину.

Бачите, що в цьому прикладі радіани є набагато зручнішою одиницею вимірювання, ніж градуси?

Ось ще один приклад: у вашої машини є колеса з радіусом 0,25 м. Якщо ви їдете зі швидкістю 20 м/с, колеса вашого автомобіля обертаються зі швидкістю 20 0.25 20 × 0.25 0.25 50 (або 80 2 π

Тригонометрія

Для більшості простих геометричних задач градуси і радіани повністю взаємозамінні - ви можете вибрати, що з них вам подобається більше, або вам може підказати питання, в яких одиницях дати відповідь. радіани набагато зручніші, ніж градуси.

Більшість калькуляторів мають спеціальну кнопку для перемикання між градусами та радіанами. sin , cos і tg, беруться від заданих кутів, які зворотні функції arcsin , arccos і arctg беруться від чисел і дають кут у результаті.

Спробуйте використати цей калькулятор, щоб розрахувати

sin (30 °) = cos (1 °) = Sin (30 рад) = cos (1 рад) =