Трикутник. Формули та властивості трикутників.

Визначення. Трикутник - Фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки, називаються вершинами трикутника, а відрізки - його сторонами.

Типи трикутників

За величиною кутів

За кількістю рівних сторін

Вершини, кути та сторони трикутника

Властивості кутів та сторін трикутника

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і назад.

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася: a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусів

Теорема косінусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos γ

Теорема про проекції

Формули для обчислення довжин сторін трикутника

Формули сторін через медіани a = 2 3 √ 2( m_b 2+m_c 2) - m_a 2 b = 2 3 √ 2( m_a 2+m_c 2) - m_b 2 c = 2 3 √ 2( m_a 2+m_b 2) - m_c 2

Медіани трикутника

Визначення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника:

Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників. S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

Формули медіан трикутника

Формули медіан трикутника через сторони

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 - a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 - b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 - c 2

Бісектриси трикутника

Властивості бісектрис трикутника:

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, - центрі вписаного кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

Формули бісектрис трикутника

Формули бісектрис трикутника через сторони:

l_a = 2√ bcp (p - a) b + c

l_b = 2√ acp (p - b) a + c

l_c = 2√ abp (p - c) a + b

де p = a + b + c 2 – напівпериметр трикутника

Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Висоти трикутника

Визначення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

• всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
• збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
• проходити поза трикутником - для гострих кутів тупокутного трикутника.

Властивості висот трикутника

Формули висот трикутника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Коло вписане в трикутник

Властивості кола вписаного в трикутник

Центр вписаної в трикутник кола лежить на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника.

Формули радіусу кола вписаного в трикутник

r = (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) 4(a + b + c)

Коло описане навколо трикутника

Визначення. Коло називається описаної навколо трикутникаякщо вона містить всі вершини трикутника.

Властивості кола описаного навколо трикутника

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Зв'язок між вписаною та описаною колами трикутника

Середня лінія трикутника

Властивості середньої лінії трикутника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN | AC KN || AB KM || BC

3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з'єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок - середня лінія.

Периметр трикутника

Периметр трикутника ∆ ABC дорівнює сумі довжин його сторін

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти

Формула Герону

Формула площі трикутника по обидва боки і кут між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін помноженого на синус кута між ними.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

Рівність трикутників

Властивості. У рівних трикутників рівні та його відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників — по обидва боки і кут між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників — з обох боків і двох прилеглих кутів.

Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двох прилеглих до неї кутів іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності трикутників - по трьом сторонам

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Подібність трикутників

Визначення. Подібні трикутники - трикутники відповідні кути яких рівні, а подібні сторони пропорційні.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ та AB MN = BC NK = AC MK = k ,

де k - коефіцієнт подібності

Ознаки подоби трикутників

Перша ознака подоби трикутників

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

Друга ознака подоби трикутників

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, такі трикутники подібні.

Третя ознака подоби трикутників

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.