Медіана, висота та бісектриса трикутника

Медіана - Це відрізок BM, що з'єднує вершину трикутника B і середину протилежної сторони AM=MC. З цього випливає, що медіана ділить сторони навпіл.

BM - Медіана

Формула довжини медіани трикутника:

Властивість медіани трикутника

У трикутнику три медіани перетинаються в одній точці і діляться щодо 2:1.

BM, KC, AL - Медіани трикутника
Тут крапка O - центр тяжкості трикутника

Висота трикутника

Висота - Це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника B до основи AC.

BF - Висота

Формула довжини висоти трикутника:

Бісектриса трикутника

Бісектриса трикутника називається відрізок BD, який з'єднує вершину B трикутника з точкою протилежної сторони і лежить на промені, що розділяє цей кут навпіл. По суті, бісектриса ділить кут навпіл, ∠ABD=∠DBC

BD - Бісектриса

Формула довжини бісектриси трикутника:

Властивість бісектриси трикутника

2. У трикутнику три бісектриси перетинаються в одній точці і ця точка є центром вписаного кола в трикутник.

У трикутнику медіани перетинаються в одній точці, це відноситься і до висоті і бісектрисі.

Бісектриса трикутника

Бісектриса є одним із основних понять курсу геометрії. Особлива роль відводиться поняттю бісектриси кута трикутника. У статті ми познайомимося з поняттям бісектриси, її властивостями, а потім вирішимо завдання для закріплення матеріалу.

Визначення поняття бісектриси

Бісектрисою трикутника називається відрізок, який ділить кут трикутника на два рівні кути.Наприклад, якщо кут трикутника 120 0 то провівши бісектрису, ми побудуємо два кути по 60 0 .

А оскільки в трикутнику є три кути, то можна провести три бісектриси. Усі вони мають одну точку запобіжного заходу. Ця точка є центром кола, вписаного в трикутник. Інакше цю точку перетинів називають інцентром трикутника.

При перетині двох бісектрис внутрішнього та зовнішнього кута, виходить кут 90 0 . Зовнішній кут у трикутнику кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника.

Мал. 1. Трикутник, в якому проведено 3 бісектриси

Бісектриса ділить протилежну сторону на два відрізки, які мають зв'язок зі сторонами:

Крапки бісектриси рівновіддалені від сторін кута, це означає, що вони знаходяться на однаковій відстані від сторін кута. Тобто, якщо з будь-якої точки бісектриси опустити перпендикуляри на кожну зі сторін кута трикутника, то ці перпендикуляри будуть рівними.

Якщо з однієї вершини провести медіану, бісектрису та висоту, то медіана буде найдовшим відрізком, а висота – найкоротшим.

Деякі властивості бісектриси

У певних видах трикутників бісектриса має особливі властивості. Насамперед це стосується рівнобедреного трикутника. Ця фігура має дві однакові бічні сторони, а третя називається основою.

Якщо з вершини кута рівнобедреного трикутника провести бісектрису до основи, то вона матиме властивості одночасно і висоти та медіани. Відповідно, довжина бісектриси збігається з довжиною медіани та висоти.

• Висота – перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до протилежної сторони.
• Медіана – відрізок, який з'єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони.

Це стосується і рівностороннього трикутника, тобто трикутника, у якому всі три сторони рівні.

Приклад завдання

У трикутнику ABC: BR бісектриса, причому AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Відняти довжину третьої сторони.

Мал. 3. Бісектриса в трикутнику

Рішення:

Бісектриса ділить сторону трикутника у певній пропорції. Скористаємося цією пропорцією та висловимо AR. Після цього знайдемо довжину третьої сторони як суму відрізків, на які цю сторону поділила бісектриса.

Тоді весь відрізок AC = RC + AR

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, ділить трикутник на два рівні прямокутні трикутники.

Що ми дізналися?

Вивчивши тему бісектриси, ми дізналися, що вона ділить кут на два рівні кути. А якщо її провести в рівнобедреному або рівносторонньому трикутнику до основи, то вона матиме властивості і медіани та висоти одночасно.