Квадрат. Формули та властивості квадрата

Квадрат - це чотирикутник, у якого всі чотири сторони і кути однакові. Квадрати відрізняються між собою тільки довжиною сторони, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 °.

Основні властивості квадрата

Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник, якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін і однакові кути.

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і поділяють один одного навпіл:

8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрата і також є центром вписаного та описаного кола

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обидві діагоналі поділяють квадрат на чотири рівні трикутники, причому ці трикутники одночасно і рівнобедрені та прямокутні:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Діагональ квадрата

Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів квадрата.

Формули визначення довжини діагоналі квадрата

Периметр квадрата

Формули визначення довжини периметра квадрата

Площа квадрата

Площею квадрата називається простір, обмежений сторонами квадрата, тобто у межах периметра квадрата.

Формули визначення площі квадрата

Коло описане навколо квадрата

Колом описаним навколо квадрата називається коло, що проходить через чотири вершини квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.

Радіус кола описаного навколо квадрата завжди більше радіусу вписаного кола в 2 разів.

Радіус кола описаного навколо квадрата дорівнює половині діагоналі.

Площа кола описаного навколо квадрата велика площа того ж квадрата в π/2 разів.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата

Окружність вписана в квадрата

Навколо вписаним у квадрат називається коло, яке примикає до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.

Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Площа кола вписаного в квадрат менша за площу квадрата в 4/π рази.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в квадрат

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!

Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн-вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви хочете зв'язатися зі мною, маєте запитання, пропозиції чи хочете допомогти розвивати сайт OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Квадрат

Квадрат - Це чотирикутник, що має рівні сторони та кути.

Діагональ квадрата - Це відрізок, що з'єднує дві його протилежні вершини.

Паралелограм, ромб і прямокутник є квадратом, якщо вони мають прямі кути, однакові довжини сторін і діагоналей.

Властивості квадрата

1.Довжини сторін квадрата рівні.

2. Усі кути квадрата прямі.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^

3. Протилежні сторони квадрата паралельні одна одній.

AB \parallel CD, BC \parallel AD

4. Сума всіх кутів квадрата дорівнює 360 градусів.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^

5. Розмір кута між діагоналлю і стороною дорівнює 45 градусів.

\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^

Квадрат є ромбом Rightarrow AC - бісектриса кута A , і він дорівнює 45 ^ . Тоді AC ділить \angle A і \angle C на 2 кута по 45^ .

6. Діагоналі квадрата - тотожні, перпендикулярні і поділяються точкою перетину навпіл.

\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^

Так як квадрат це прямокутник Rightarrow діагоналі рівні; оскільки - ромб Rightarrow діагоналі перпендикулярні. Оскільки — паралелограм, Rightarrow діагоналі розділені точкою перетину навпіл.

7. Кожна з діагоналей ділить квадрат на два рівнобедрених прямокутних трикутники.

\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD

8. Обидві діагоналі ділять квадрат на 4 рівнобедрених прямокутних трикутники.

\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD

9. Якщо сторона квадрата дорівнює a, то діагональ дорівнюватиме a \sqrt .

Доводиться за теоремою Піфагора. Застосуємо до \triangle ADC .

Звідси: AC = \ sqrt \ cdot a

10. Центром квадрата, а так само вписаного в нього та описаного кола є точка перетину діагоналей