Правильні багатогранники у геометрії з прикладами

Багатогранний кут називається опуклимякщо він розташований по одну сторону від площини будь-якої його грані. Багатогранний кут малюнку 228 опуклий, але в малюнку 229 — непуклий. За кількістю граней багатогранні кути поділяють на тригранні, чотиригранні і т.д. буд.

Теорема 12.

Сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.

Доказ:

Встановимо спочатку, що кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його кутів.

Нехай трикутний кут (рис. 230). Нехай для визначеності кут — найбільший із плоских кутів тригранного кута. У площині грані від променя відкладемо кут, що дорівнює куту, і на променях і відкладемо рівні відрізки і. Через пряму проведемо таку площину, яка перетинає ребра у деяких точках і . Трикутники і рівні, так як у них загальна сторона, і по побудові рівні кути і , а також сторони і . Отже, далі за властивістю сторін трикутника отримуємо або або Тепер, оскільки у трикутників і сторона загальна, сторони і рівні, але додавши до лівої і правої частин цієї нерівності відповідно кути і , які рівні один одному, отримаємо, що або

Нехай тепер є опуклий багатогранний кут із вершиною (рис. 231). Якщо перетнути його якоюсь площиною, то в перерізі отримаємо багатокутник кожна вершина якого є вершиною тригранного кута, утвореного двома гранями даного кута і площею, що сить. За доведеним для цих тригранних кутів отримуємо:

Складемо покомпонентно ці нерівності:

Тепер звернемо увагу на те, що сума в лівій частині останньої нерівності є сума кутів багатокутника, яка дорівнює, а в правій — сума кутів усіх трикутників, але без їх кутів при вершині, яка дорівнює де виражає суму плоских кутів даного багатогранного кута. Таким чином,

Багатогранник, у якого всі грані є рівними правильними багатокутниками і всі двогранні кути рівні один одному, називається правильним багатогранником.

З цього визначення випливає, що у правильного багатогранника рівні один одному всі його:

Теорема 13.

Кількість ребер, що сходяться у кожній вершині правильного багатогранника, не більше п'яти.

Доказ:

Припустимо, що це не так, тобто у вершині багатогранника сходиться шість або більше ребер. Тоді за цієї вершині багатогранник мав би шість чи більше рівних плоских кутів. Враховуючи, що сума цих кутів менша за 360°, отримуємо, що кожен з них менший за 60°. Але це неможливо, оскільки гранями правильного багатогранника є правильні багатокутники, а вони мають кути не менше 60°.

Теорема 14.

Кількість сторін правильного багатокутника, що є гранню правильного багатогранника, не більша за п'ять.

Доказ:

У кожній вершині правильного багатогранника сходиться не менше трьох плоских кутів, а тому кожен з них має бути меншим за 120°. Разом з цим кут правильного шестикутника дорівнює 120 °, а кут правильного багатокутника з великою кількістю сторін більше 120 °. Тому правильні багатокутники, кількість сторін яких більша за п'ять, не можуть бути гранями правильного багатокутника.

Теорема 15.

Є п'ять типів правильних багатогранників.

Доказ:

Відповідно до теореми 14 гранями багатогранника можуть бути правильні трикутники, чотирикутники чи п'ятикутники.

Якщо гранями правильного багатогранника служать трикутники, то з урахуванням теореми 13У вершинах багатогранника можуть сходитися три, чотири або п'ять ребер. Якщо гранями правильного багатогранника служать чотирикутники чи п'ятикутники, то вершинах багатогранника може сходитися лише три ребра. Отже, існує трохи більше п'яти видів правильних багатогранників.

Щоб переконатися, що такі види багатогранників існують, достатньо вказати спосіб побудови кожного з них.

Насамперед зазначимо, що правильним багатогранником, гранями якого служать правильні чотирикутники, тобто квадрати, є куб, який ще називають правильним гексаедром. Куб можна збудувати так. У довільно обраній площині побудувати квадрат, через його сторони провести площини, перпендикулярні до обраної площини, і провести ще одну площину, паралельну обраній площині і віддалену від неї на бік квадрата (рис. 232). Ми бачимо, що гексаедр має 6 граней, 12 ребер та 8 вершин.

Побудова багатогранника, у кожній вершині якого сходиться по три трикутні грані, може бути такою. Збудувати куб. Вибрати одну з його вершин і в кожній грані з цією вершиною вибрати вершину, що протилежить вершині . Нехай це вершини,,,. Точки , , , є вершинами багатогранника, що шукається (рис. 233). Справді, кожен із відрізків є діагоналлю однієї з граней куба, тому всі ці відрізки рівні одне одному. Виходить, що у трикутній піраміді всі грані є правильними трикутниками. Така піраміда називається правильним тетраедром. Тетраедр має 4 грані, 6 ребер та 4 вершини.

Побудова багатогранника, у кожній вершині якого сходиться по чотири трикутні грані, може бути такою. Побудувати куб і знайти центри шести його граней (рис. 234). Ці точки є вершинами багатогранника, всі грані якого є правильними трикутниками. Такий багатогранник називається правильним октаедром. Октаедр має 8 граней, 12 ребер та 6 вершин.

Побудову багатогранника, у кожній вершині якого сходиться по три п'ятикутні грані, можна виконати, знову використовуючи куб. Якщо через кожне з дванадцяти ребер куба провести площину, яка не має з поверхнею куба інших загальних точок, крім точок цього ребра, отримані 12 площин при перетині дадуть межі деякого багатогранника. Можна так підібрати нахил цих площин до граней куба, що грані цього дванадцятигранника будуть правильними п'ятикутниками (рис. 235). Такий багатогранник називається правильним додекаедром. Додекаедр має 12 граней, 30 ребер та 20 вершин.

Нарешті, багатогранник, у кожній вершині якого сходиться по п'ять трикутних граней, можна побудувати, використовуючи додекаедр: центри граней додекаедра є вершинами шуканого правильного багатогранника (рис. 236). Такий багатогранник називається правильним ікосаедром. Ікосаедр має 20 граней, 30 ребер та 12 вершин.

Отже, є п'ять типів правильних багатогранників.

Назви правильних багатогранників походять із грецької мови. Термін тетраедр, по-грецьки означає чотиригранник: - чотири і - грань. Відповідно терміни гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр, по-грецьки , , , , означають шестигранник, восьмигранник, дванадцятигранник, двадцятигранник: , - шість, - вісім, - дванадцять, - двадцять.

Ми знаємо, що правильні гексаедр і тетраедр мають описану та вписану кулі. Також описаний і вписаний кулі мають октаедр, додекаедр та ікосаедр. Центри цих куль збігаються, і ця точка є центром симетрії відповідного правильного багатогранника, крім тетраедра, який не має центру симетрії.

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.