Багатогранники – це геометричні фігури: види, формули, властивості

Багатогранники – дивовижні геометричні фігури, які оточують нас усюди. Давайте розберемося, що ж є ці постаті, які бувають види багатогранників, які формули описують їх характеристики.

1. Визначення багатогранників

Багатогранником називається геометричне тіло у просторі, яке обмежене кінцевим числом плоских багатокутників. Елементами багатогранника є:

• Грані – плоскі багатокутники, з яких складається багатогранник
• Ребра – сторони багатокутників-гранів
• Вершини - точки перетину ребер

Прикладами найпростіших багатогранників є тетраедр (чотиригранник) та октаедр (восьмигранник). Їх гранями є трикутники.

2. Види багатогранників

Багатогранники – це різноманітні геометричні фігури, які діляться на кілька видів.

Випуклі та невипуклі

Якщо багатогранник цілком розташовується по одну сторону від кожної своєї грані, він називається опуклим. В іншому випадку багатогранник невипуклий.

У опуклому багатограннику сума всіх плоских кутів за будь-якої вершини менше 360°.

Правильні багатогранники

Правильні багатогранники - це опуклі багатогранники, у яких усі грані є правильними однаковими багатокутниками, проте діагоналі рівні.

Існує лише 5 видів правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр та ікосаедр.

Інші види

Крім того, розрізняють:

Властивості та приклади таких багатогранників будуть розглянуті далі.

3. Формули для опуклих багатогранників

Для опуклих багатогранників справедливо важливе співвідношення, яке виражається теоремою Ейлера:

Ця формула дозволяє знаходити одну із величин, якщо відомі дві інші.Наприклад, для куба:

Звідси знаходимо число ребер:

P = B + Г - 2 = 8 + 6 - 2 = 12

Крім теореми Ейлера, для конкретних багатогранників існують формули площі поверхні та обсягу. Розглянемо їх на прикладі тетраедра.

Формули для тетраедра

Нехай а – довжина ребра тетраедра, а d – висота однієї з його бічних граней. Тоді:

1. Площа бічної грані = \(\frac>\)a 2
2. Площа повної поверхні = 2ad
3. Об'єм = \(\frac\)a 2 d

3. Формули для опуклих багатогранників

Аналогічні формули площі поверхні та обсягу існують і для інших видів опуклих багатогранників:

Наприклад, для прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і c справедливі наступні співвідношення:

Знаючи форму конкретного багатогранника і формули цієї форми, можна обчислити різні його характеристики.

4. Призма та її властивості

Одним із важливих видів багатогранників є призма. Розглянемо докладніше її визначення та властивості.

Елементи призми

Призма утворена двома рівними та паралельними багатокутними основами, з'єднаними бічними гранями-паралелограмами.

Основні елементи призми:

• Основи - два рівні багатокутники
• Бічні грані
• Висота - перпендикуляр до основ
• Бокове ребро

Види призм

Розрізняють пряму та похилу призму. У прямій призми бічні ребра перпендикулярні до основ, а бічні грані - прямокутники.

5. Паралелепіпед

Якщо підстави призми є паралелограмами, така призма називається паралелепіпедом. Розглянемо його докладніше.

Елементи паралелепіпеда

У паралелепіпеда всі грані (шість штук) є паралелограмами. Протилежні грані паралельні та рівні.

6. Піраміди

Піраміда – ще один поширений вид багатогранника. Розглянемо визначення та властивості пірамід.

Визначення піраміди

Піраміда - багатогранник, у якого одна грань (основа) є багатокутником, а інші грані (бічні грані) - трикутники із загальною вершиною.

Елементи піраміди

Основними елементами піраміди є:

• Основа - багатокутна грань
• Бічні грані – трикутники
• Вершина піраміди - точка перетину бічних ребер
• Висота піраміди - перпендикуляр із вершини до площини основи
• Апофема - висота бічної грані піраміди, опущена на площину основи

Правильна піраміда

Якщо основою піраміди є правильний багатокутник, проте бічні грані - рівні правильні трикутники, то така піраміда називається правильної.

Площа бічної поверхні

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку периметра основи апофему піраміди.

Об'єм піраміди

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи висоту піраміди.

Побудова піраміди

Для побудови піраміди, знаючи її основу та бічні ребра, можна використовувати наступний алгоритм:

1. Накреслити основу піраміди (багатокутник)
2. Відзначити центр основи – це буде вершина піраміди
3. З'єднати вершину з кожною вершиною багатокутника-основи
4. Отримані трикутники будуть бічними гранями піраміди.

Для побудови правильної піраміди всі бічні ребра мають бути рівними довжини.

Застосування пірамід

Завдяки своїй формі, піраміди знаходять застосування в:

Також піраміди можна використовувати як основу для різних макетів та моделей.

7. Завдання на багатогранники

Вирішення завдань - важлива частина вивчення будь-якої теми. Давайте розглянемо приклади завдань на тему "Многогранники".

Приклад завдання 1

Даний куб зі стороною a. Знайти:

1. Кількість вершин
2. Кількість ребер
3. Кількість граней
4. Площа повної поверхні
5. Об'єм куба

1. У куба у кожній вершині сходяться 3 ребра. Оскільки всього ребер 12 (див. нижче), то вершин 8
2. Кожна грань куба має 4 ребра. Усього 6 граней. Значить, ребер 6*4 = 24
3. У куба 6 квадратних граней
4. S = 6a^2
5. V = a^3

Приклад завдання 2

У правильній чотирикутній піраміді всі бічні ребра дорівнюють 13 см, а висота дорівнює 20 см. Знайти площу основи та обсяг піраміди.

Використовуємо формули для правильної піраміди.

Розбір розв'язання задачі 2

Скористаємося тим, що у правильній піраміді апофема дорівнює половині бічного ребра. Тоді апофема дорівнює 13/2 = 6,5 див.

Периметр основи піраміди дорівнює 4∙13 = 52 см.

За формулою площа бічної поверхні піраміди S = ​​ph, де p – периметр основи, h – апофема. Підставляючи значення, отримуємо:

Об'єм піраміди обчислюємо за формулою V = Сосн⋅H/3, де Сосн - площа основи, H - висота.

Сосн = 338/(4⋅6,5) = 13 (см2)

Підставляючи це і H = 20 см у формулу для обсягу, знаходимо:

Приклад завдання 3

Дано прямокутний паралелепіпед. Знайти площу повної поверхні та об'єм, якщо довжина його ребер: 3 см, 4 см та 7 см.

Розбір розв'язання задачі 3

Скористаємося відомими формулами для прямокутного паралелепіпеда:

де a, b, c - Довжини ребер паралелепіпеда.

Підставляючи числові значення, маємо:

S = 2 (3 · 4 + 3 · 7 + 4 · 7) = 2 (12 + 21 + 28) = 122 (см2)

Відповідь: площа повної поверхні дорівнює 122 см2, обсяг дорівнює 84 см3.

8. Застосування багатогранників

Багатогранні форми широко використовують у різних областях.

В архітектурі та будівництві

Багатогранні форми часто зустрічаються в архітектурі:

• Дахи будинків мають форму піраміди або призми.
• Фасади можуть повторювати контури куба або паралелепіпеда.
• Арочні конструкції нагадують циліндр

Міцність та стійкість багатогранних опор використовується при зведенні мостів, веж, хмарочосів.

У дизайні

Багатогранні форми застосовуються в дизайні:

• В інтер'єрі для створення геометричних композицій
• У меблів та предметах обстановки
• У художніх інсталяціях

Такі форми надають інтер'єрам та об'єктам виразності, динаміки, футуристичності.

У техніці

Конструкція багатьох технічних виробів полягає в використанні властивостей багатогранників:

Багатогранники – це геометричні фігури: види, формули, властивості

Багатогранники – дивовижні геометричні фігури, які оточують нас усюди. Давайте розберемося, що ж є ці постаті, які бувають види багатогранників, які формули описують їх характеристики.

1. Визначення багатогранників

Багатогранником називається геометричне тіло у просторі, яке обмежене кінцевим числом плоских багатокутників. Елементами багатогранника є:

• Грані – плоскі багатокутники, з яких складається багатогранник
• Ребра – сторони багатокутників-гранів
• Вершини - точки перетину ребер

Прикладами найпростіших багатогранників є тетраедр (чотиригранник) та октаедр (восьмигранник). Їх гранями є трикутники.

2. Види багатогранників

Багатогранники – це різноманітні геометричні фігури, які діляться на кілька видів.

Випуклі та невипуклі

Якщо багатогранник цілком розташовується по одну сторону від кожної своєї грані, він називається опуклим. В іншому випадку багатогранник невипуклий.

У опуклому багатограннику сума всіх плоских кутів за будь-якої вершини менше 360°.

Правильні багатогранники

Правильні багатогранники - це опуклі багатогранники, у яких усі грані є правильними однаковими багатокутниками, проте діагоналі рівні.

Існує лише 5 видів правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр та ікосаедр.

Інші види

Крім того, розрізняють:

Властивості та приклади таких багатогранників будуть розглянуті далі.

3. Формули для опуклих багатогранників

Для опуклих багатогранників справедливо важливе співвідношення, яке виражається теоремою Ейлера:

Ця формула дозволяє знаходити одну з величин, якщо відомі дві інші.

Звідси знаходимо число ребер:

P = B + Г - 2 = 8 + 6 - 2 = 12

Крім теореми Ейлера, для конкретних багатогранників існують формули площі поверхні та обсягу. Розглянемо їх на прикладі тетраедра.

Формули для тетраедра

Нехай а – довжина ребра тетраедра, а d – висота однієї з його бічних граней.

1. Площа бічної грані = \(\frac>\)a 2
2. Площа повної поверхні = 2ad
3. Об'єм = \(\frac\)a 2 d

3. Формули для опуклих багатогранників

Аналогічні формули площі поверхні та обсягу існують і для інших видів опуклих багатогранників:

Наприклад, для прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і c справедливі наступні співвідношення:

Знаючи форму конкретного багатогранника і формули цієї форми, можна обчислити різні його характеристики.

4. Призма та її властивості

Одним з важливих видів багатогранників є призма.

Елементи призми

Призма утворена двома рівними та паралельними багатокутними основами, з'єднаними бічними гранями-паралелограмами.

Основні елементи призми:

• Основи - два рівні багатокутники
• Бічні грані
• Висота - перпендикуляр до основ
• Бокове ребро

Види призм

Розрізняють пряму та похилу призму. У прямій призми бічні ребра перпендикулярні до основ, а бічні грані - прямокутники.

5. Паралелепіпед

Якщо підстави призми є паралелограмами, така призма називається паралелепіпедом. Розглянемо його докладніше.

Елементи паралелепіпеда

У паралелепіпеда всі грані (шість штук) є паралелограмами. Протилежні грані паралельні та рівні.

6. Піраміди

Піраміда – ще один поширений вид багатогранника. Розглянемо визначення та властивості пірамід.

Визначення піраміди

Піраміда - багатогранник, у якого одна грань (основа) є багатокутником, а інші грані (бічні грані) - трикутники із загальною вершиною.

Елементи піраміди

Основними елементами піраміди є:

• Основа - багатокутна грань
• Бічні грані – трикутники
• Вершина піраміди - точка перетину бічних ребер
• Висота піраміди - перпендикуляр із вершини до площини основи
• Апофема - висота бічної грані піраміди, опущена на площину основи

Правильна піраміда

Якщо основою піраміди є правильний багатокутник, проте бічні грані - рівні правильні трикутники, то така піраміда називається правильної.

Площа бічної поверхні

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку периметра основи апофему піраміди.

Об'єм піраміди

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи висоту піраміди.

Побудова піраміди

Для побудови піраміди, знаючи її основу та бічні ребра, можна використовувати наступний алгоритм:

1. Накреслити основу піраміди (багатокутник)
2. Відзначити центр основи – це буде вершина піраміди
3. З'єднати вершину з кожною вершиною багатокутника-основи
4. Отримані трикутники будуть бічними гранями піраміди.

Для побудови правильної піраміди всі бічні ребра мають бути рівними довжини.

Застосування пірамід

Завдяки своїй формі, піраміди знаходять застосування в:

Також піраміди можна використовувати як основу для різних макетів та моделей.

7. Завдання на багатогранники

Вирішення завдань - важлива частина вивчення будь-якої теми. Давайте розглянемо приклади завдань на тему "Многогранники".

Приклад завдання 1

Даний куб зі стороною a.

1. Кількість вершин
2. Кількість ребер
3. Кількість граней
4. Площа повної поверхні
5. Об'єм куба

1. У куба у кожній вершині сходяться 3 ребра. Оскільки всього ребер 12 (див. нижче), то вершин 8
2. Кожна грань куба має 4 ребра. Усього 6 граней. Значить, ребер 6*4 = 24
3. У куба 6 квадратних граней
4. S = 6a^2
5. V = a^3

Приклад завдання 2

У правильній чотирикутній піраміді всі бічні ребра дорівнюють 13 см, а висота дорівнює 20 см. Знайти площу основи та обсяг піраміди.

Використовуємо формули для правильної піраміди.

Розбір розв'язання задачі 2

Скористаємося тим, що у правильній піраміді апофема дорівнює половині бічного ребра. Тоді апофема дорівнює 13/2 = 6,5 див.

Периметр основи піраміди дорівнює 4∙13 = 52 см.

За формулою площа бічної поверхні піраміди S = ​​ph, де p – периметр основи, h – апофема. Підставляючи значення, отримуємо:

Об'єм піраміди обчислюємо за формулою V = Сосн⋅H/3, де Сосн - площа основи, H - висота.

Сосн = 338/(4⋅6,5) = 13 (см2)

Підставляючи це і H = 20 см у формулу для обсягу, знаходимо:

Приклад завдання 3

Даний прямокутний паралелепіпед. Знайти площу повної поверхні та об'єм, якщо довжина його ребер: 3 см, 4 см та 7 см.

Розбір розв'язання задачі 3

Скористаємося відомими формулами для прямокутного паралелепіпеда:

де a, b, c – довжини ребер паралелепіпеда.

Підставляючи числові значення, маємо:

S = 2 (3 · 4 + 3 · 7 + 4 · 7) = 2 (12 + 21 + 28) = 122 (см2)

Відповідь: площа повної поверхні дорівнює 122 см2, обсяг дорівнює 84 см3.

8. Застосування багатогранників

Багатогранні форми широко використовують у різних областях.

В архітектурі та будівництві

Багатогранні форми часто зустрічаються в архітектурі:

• Дахи будинків мають форму піраміди або призми.
• Фасади можуть повторювати контури куба або паралелепіпеда.
• Арочні конструкції нагадують циліндр

Міцність та стійкість багатогранних опор використовується при зведенні мостів, веж, хмарочосів.

У дизайні

Багатогранні форми застосовуються в дизайні:

• В інтер'єрі для створення геометричних композицій
• У меблів та предметах обстановки
• У художніх інсталяціях

Такі форми надають інтер'єрам та об'єктам виразності, динаміки, футуристичності.

У техніці

Конструкція багатьох технічних виробів полягає в використанні властивостей багатогранників:

Багатогранники

Деякі просторові фігури, що вивчаються у стереометрії, називають тілами чи геометричними тілами. Наочно тіло треба уявляти як частину простору, зайняту фізичним тілом і обмежену поверхнею.

Багатогранником називається геометричне тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників.

Випуклим називається багатогранник, якщо він розташований по один бік площини, проведеної через будь-який багатокутник, що утворює поверхню даного багатогранника.

Багатокутники, що становлять поверхню багатогранника, називаються його гранями; сторони багатокутників – ребрами; вершини – вершинами багатогранника:

ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD - грані;

AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF – ребра;

A, B, C, D, E, F – вершини багатогранника ABCDEF.

Теорема Ейлера для багатогранників:

Якщо V - число вершин опуклого багатогранника, R - число його ребер і G - число граней, то правильна рівність:

Призмою називається багатогранник, що складається з двох плоских багатокутників, які лежать у різних площинах і поєднуються паралельним переносом, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих багатокутників. Багатокутники, про які йшлося, називаються основами призми, а відрізки, що з'єднують їх відповідні вершини – бічними ребрами призми.

Підстави призми рівні і лежать у паралельних площинах.

Бічні ребра призми рівні та паралельні.

Поверхня призми складається з двох основ та бічної поверхні.

Бічна поверхня будь-якої призми складається з паралелограмів, у кожного з яких дві сторони є відповідними сторонами підстав, а інші – сусідніми бічними ребрами.

Висотою призми називається будь-який з перпендикулярів, проведених з точки однієї основи до площини іншої основи призми.

Призма називається п -вугільної, якщо її основа – п -кутник.

α – кут нахилу бокового ребра до основи призми.

Призма називається прямою, якщо її ребра перпендикулярні до площин основ. Інакше призма називається похилою.

Бічні грані прямої призми прямокутники.

Бокове ребро прямої призми є її висотою.

Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми:

Пряма призма називається правильною, якщо її основи є правильними багатокутниками.

Перерізи призми площинами, паралельними бічним ребрам, є паралелограмами.Зокрема, паралелограмами є діагональні перерізи. Це перерізи площинами, що проходять, через два бічні ребра, що не належать одній грані:

ВВ₁D₁ D – діагональний переріз.

Якщо у довільній похилій призмі провести переріз, перпендикулярне бічним ребрам і перетинає всі бічні ребра, і площу цього перерізу позначити S_⊥, а периметр – Р_⊥тоді:

У будь-якій призмі площа повної поверхні вважається як сума площі бічної поверхні та подвоєної площі основи:

Призма, в основі якої лежить паралелограм, називається паралелепіпедом.

У паралелепіпеда всі грані – паралелограми.

Грані паралелепіпеда, які мають загальних вершин, називаються протилежними.

У паралелепіпеда протилежні грані паралельні та рівні.

Діагоналлю паралелепіпеда, як і багатогранника взагалі, називається відрізок, що з'єднує вершини паралелепіпеда, що не лежать в одній його грані.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

Прямокутним паралелепіпедом називається такий прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками.

Довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, називаються його вимірами або лінійними розмірами.

У прямокутного паралелепіпеда три виміри.

У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

У прямокутному паралелепіпеді правильно:

У прямокутному паралелепіпеді, як і у кожному паралелепіпеді, є центр симетрії – точка перетину його діагоналей.Він також має три площини симетрії, що проходять через центр симетрії паралельно парам протилежних граней. На першому малюнку, наведеному вище, показано одну з таких площин. Вона проходить через середини чотирьох паралельних ребер паралелепіпеда.

Якщо у паралелепіпеда всі лінійні розміри різні, то він не має інших площин симетрії, крім трьох названих.

Якщо ж у паралелепіпеда два лінійних розміри рівні, тобто він є правильною чотирикутною призмою, то він має ще дві площини симетрії. Це площини діагональних перерізів, що показані на другому малюнку.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі три виміри рівні, називається кубом.

Діагональ куба в квадратний корінь із трьох разів більша за його сторону:

Чотири перерізи куба є правильними шестикутниками (одне з них показано на малюнку) – ці перерізи проходять через центр куба перпендикулярно до чотирьох його діагоналів.

У куба дев'ять площин симетрії:

• три з них, проходячи через середини чотирьох паралельних ребер куба, дають у перерізах квадрати;
• решта шість – це всі площини діагональних перерізів куба.

Пірамідою (наприклад, SABCDE ) називається багатогранник, який складається з плоского багатокутника (п'ятикутник ABCDE ) – основи піраміди, точки ( S ), що не лежить у площині основи, – вершини піраміди та всіх відрізків, що з'єднують вершину піраміди з точками основи.

Відрізки (SA, SB, SC, SD, SE), що з'єднують вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Поверхня піраміди складається з основи (п'ятикутник ABCDE) та бічних граней. Кожна бічна грань – трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною – сторона основи піраміди:

ΔSAB, ΔSBC, ΔSCD, ΔSDE, ΔSEA – бічні грані.

Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Висотою піраміди (SO) називається перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини основи.

Піраміда називається n -вугільною, якщо її основою є n -кутник. Трикутна піраміда називається також тетраедром.

α - Кут нахилу бокового ребра SA піраміди до площини її основи;

β - Кут нахилу бічної грані (SED) піраміди до площини її основи.

Основа висоти піраміди є центром кола, описаного біля основи піраміди, тоді і тільки тоді, коли виконується одна з умов:

• всі бічні ребра рівні;
• бічні ребра утворюють із площиною основи рівні кути;
• бічні ребра утворюють рівні кути з висотою піраміди.

Основа висоти піраміди є центром кола, вписаного в основу піраміди, тоді і тільки тоді, коли виконується одна з умов:

• бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом;
• висоти бічних граней рівні;
• бічні грані утворюють рівні кути з висотою піраміди.

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди:

Площа повної поверхні будь-якої піраміди дорівнює сумі площ бічної поверхні та основи:

Перерізи піраміди площинами, що проходять через її вершину, є трикутниками. Зокрема, трикутниками є діагональні перерізи. Це переріз площинами, що проходять через два несусідні бічні ребра піраміди.

Площина, яка перетинає піраміду і паралельна до її основи, ділить її на дві частини:

багатогранник, званий усіченою пірамідою ( AВСA₁У₁З₁ ).

Грані зрізаної піраміди, що лежать у паралельних площинах ( ΔАВС та ΔA₁У₁З₁ ), називаються основами, інші грані ( АA₁У₁В, АA₁З₁З , ВВ₁З₁З) називаються бічними гранями.

Підстави усіченої піраміди є подібними багатокутниками, бічні грані – трапеції.

Висота усіченої піраміди (ГО₁ ) – це відстань між площинами її основ.

Якщо S₁ і S₂ – площі основ усіченої піраміди та h – її висота, то обсягу усіченої піраміди правильно:

Піраміда (наприклад, SABCD ) називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник ( ABCD – квадрат ), а основа висоти збігається з центром цього багатокутника (О – центр описаного та вписаного кіл підстави).

Осі правильної піраміди називається пряма, що містить її висоту.

Бічні ребра правильної піраміди рівні.

Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди (SL), проведена з її вершини до сторони основи, називається апофемою.

Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи на апофему:

Усічена піраміда (наприклад, АВСDA₁У₁З₁D₁ ), яка виходить із правильної піраміди, також називається правильною.

Бічні грані правильної усіченої піраміди (AA₁У₁В, АA₁З₁З , DD₁З₁З , АA₁D₁D) - рівні рівнобокі трапеції; їх висоти називаються апофемами.

Тетраедр Куб Октаедр

Існує п'ять типів правильних опуклих багатогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

У правильного тетраедра грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по три ребра. Тетраедр є трикутною пірамідою, у якої всі ребра рівні.

У куба (правильний гексаедр) усі грані – квадрати; у кожній вершині сходиться по три ребра.Куб є прямокутним паралелепіпедом з рівними ребрами.

У октаедра грані - правильні трикутники, але на відміну від тетраедра в кожній його вершині сходить по чотири ребра.

У додекаедра грані – правильні п'ятикутники.

У ікосаедра грані - правильні трикутники, але на відміну від тетраедра та октаедра в кожній вершині сходиться по п'ять ребер.