Завдання тисячоліття

Завдання тисячоліття (Millennium Prize Problems) становлять сім математичних завдань, охарактеризованих як «важливі класичні завдання, вирішення яких не знайдено вже протягом багатьох років». За вирішення кожного з цих завдань інститутом Клея запропоновано винагороду в 1000000 доларів США. Анонсуючи нагороду, інститут Клея провів паралель зі списком проблем Гільберта, представленим у 1900 році і істотно вплинув на математику XX століття. З 23 проблем Гільберта більшість вже вирішено, і лише одна — гіпотеза Рімана — увійшла до списку задач тисячоліття. Станом на 2018 рік лише одне із семи завдань тисячоліття (гіпотеза Пуанкаре) вирішено.

Рівність класів P та NP

Якщо позитивну відповідь на якесь питання можна швидко (за поліноміальний час) перевірити (використовуючи деяку допоміжну інформацію, яка називається сертифікатом), то чи вірно, що й саму відповідь (разом із сертифікатом) на це питання можна швидко знайти? Завдання другого типу відносяться до класу P, першого до класу NP. Проблема рівності цих класів одна із найважливіших проблем теорії алгоритмів.

Гіпотеза Ходжа

Важлива проблема геометрії алгебри. Гіпотеза описує класи когомологій на комплексних проектних різноманіттях, що реалізуються підбагатьями алгебри.

Гіпотеза Пуанкаре (доведено)

Вважається найвідомішою проблемою топології. Неформально кажучи, вона стверджує, що будь-який тривимірний «об'єкт», який має деякими властивостями тривимірної сфери (наприклад, кожна петля всередині нього має бути стягувана), може бути сферою з точністю до деформації.Премію за доказ гіпотези Пуанкаре присуджено у 2010 році російському математику Г. Я. Перельману, який опублікував у 2002 році серію робіт, з яких випливає справедливість гіпотези Пуанкаре. Але він відмовився її прийняти, як раніше відмовився від премії Філдса.

Гіпотеза Рімана

Гіпотеза свідчить, що всі нетривіальні (тобто мають ненульову уявну частину) нулі дзета-функції Рімана мають дійсну частину 1/2. Її доказ чи спростування матиме далекосяжні наслідки для теорії чисел, особливо, у сфері розподілу простих чисел. Гіпотеза Рімана була восьмою у списку проблем Гільберта. У разі публікації контрприкладу до гіпотези Рімана, вчена рада інституту Клея вправі вирішити, чи можна вважати цей контрприклад остаточним вирішенням проблеми, або проблема може бути переформульована у більш вузькій формі і залишена відкритою (в останньому випадку автору контрприкладу може бути виплачено невеликий приз).

Теорія Янга - Міласа

Завдання в галузі фізики елементарних частинок. Потрібно довести, що для будь-якої простої компактної калібрувальної групи G квантова теорія Янга - Міллса для простору R^4 (чотиривимірного простору-часу) існує і має ненульову щілину в спектрі часток (збуджень), що описуються їй, так що ці частинки мають ненульову масу. Це твердження відповідає експериментальним даним та чисельному моделюванню, проте довести його досі не вдалося.

Існування та гладкість рішень рівнянь Навье - Стокса

Рівняння Навье - Стокса описують рух в'язкої рідини. Одне з найважливіших завдань гідродинаміки.

Гіпотеза Берча – Свіннертойн-Дайєра

Гіпотеза пов'язана з рівняннями еліптичних кривих та безліччю їх раціональних рішень.

Перельмана нагородили за рішення "завдання тисячоліття"

Президент математичного інституту Клея (МІК) Джеймс Карлсон, оголошуючи про вручення премії, нагадав, що вчені ціле століття намагалися довести гіпотезу Пуанкаре, перш ніж це зробив Григорій Перельман.

У грошовому еквіваленті премія складає 1 млн. доларів.

Гіпотеза була сформульована французьким математиком Анрі Пуанкаре у 1904 році.

У 2002 році Перельман опублікував в інтернет-архіві роботу в 30 сторінок, з якої і випливало доказ гіпотези.

Однак публікувати результати у науковому журналі він так і не став.

У 2006 році за доказ гіпотези Пуанкаре Перельману була присуджена медаль Філдса, найбільша нагорода за досягнення в галузі математики, яку також називають "математичною Нобелівською премією". Однак він відмовився від неї.

За словами директора МІК, на початку червня в Парижі відбудеться конференція, присвячена доказу гіпотези Пуанкаре. Чи приїде туди Перельман, невідомо. Російський учений веде відокремлений спосіб життя, не читає лекцій та не спілкується з журналістами.

Перельман деякий час працював у США. Потім у 1996 році повернувся до Санкт-Петербурга, де працював у математичному Інституті Стеклова. Відмова інституту продовжувати роботу з науковцем у 2004 році, за словами його знайомих, призвела Перельмана до особистої кризи та сумнівів у власному професіоналізмі.

Незважаючи на те, що за ці кілька років Перельман став одним із найзнаменитіших математиків світу, він продовжує вести затворницький спосіб життя.

Гіпотеза Пуанкаре є однією з семи найважчих математичних проблем, з якими зіткнулися математики на рубежі другого тисячоліття.

Перелік "завдань тисячоліття" було засновано 2000 року.

За їхнє рішення присуджується "Премія тисячоліття", заснована МІК у 2000 році для того, щоб "закріпити в сучасній свідомості розуміння того, що межі сучасної математики залишаються відкритими, а сама наука рясніє невирішеними завданнями".

Уряд РФ запропонував заснувати премії за вирішення математичних «завдань тисячоліття»

22 листопада 2023 року Уряд РФ запропонував заснувати премії за рішення математичних «завдань тисячоліття». Відповідне доручення профільним відомствам дав прем'єр-міністр РФ Михайло Мішустін.

«З метою стимулювання розвитку наукової діяльності Мінобрнауки, Мінекономрозвитку та Мінфіну доручено подати в Уряд пропозиції щодо заснування в Росії одноразової премії за вирішення математичних «задач тисячоліття». Термін – 15 квітня 2024 року», - повідомляється на сайті кабміну про доручення Мішустіна за підсумками стратегічної сесії, присвяченої розвитку штучного інтелекту в РФ.

Завдання тисячоліття — це сім математичних завдань, за вирішення яких у 2000 році Математичний інститут Клея (США) запропонував винагороду $1 млн за кожну. На даний момент вирішено лише одну з них. Гіпотезу Пуанкаре зміг довести російський математик Григорій Перельман, котрий згодом відмовився від нагороди Математичного інституту Клея.

Інші «завдання тисячоліття»: гіпотеза Берча та Суіннертон-Дайєра, гіпотеза Ходжа, існування та гладкість розв'язків рівнянь Навье – Стокса, рівність класів P і NP, гіпотеза Рімана та теорія Янга – Міллса.