обчислити довжину дуги кривої заданої параметрично
Як визначити довжину дуги?
Знаючи ці два значення, нескладно обчислити довжину дуги L за формулою: L = πrα/180. Круговий сектор — частина круга, що лежить усередині відповідного центрального кута. Площа кругового сектора визначається за формулою: S = (πR2n) / 3600. Круговий сегмент — спільна частина круга й півплощини.
Як позначається довжина кола?
Довжину кола позначають буквою С.
Довжина дуги кривої заданої параметрично Приклад 2.128 (2444) Знайти довжину дуги кривої, заданої параметрично x=a (cos (t)+t*sin (t)), y=a (sin (t)-t*cos (t)),tє [0;2*Pi]. …Обчислити довжину дуги кривої заданої параметрично
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція - підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Контакти
Адміністратор,
розв'язування задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym
Розв'язування задач
Андрій
facebook:
dniprovets25
72. Довжина дуги, якщо крива задана параметрично
Якщо плоска крива 
задана параметрично:
,
,
,
і
при
, то в інтегралі
можна зробити заміну змінної
і
: 
(*) Зауваження. Якщо крива 
лежить у просторі, тобто
,
і
, то можна довести, що довжина дуги кривої визначається за формулою 
Тут підінтегральний вираз 
називають диференціалом довжини дуги.
73. Площа поверхні обертання
Нехай гладка крива 
лежить у площині
і задана рівнянням
,
. Тоді площа поверхні обертання кривої
навколо осі Ох визначається за формулою 
(**) Доведення.
Розіб'ємо відрізок 
довільним чином наn частин 
Площини
розбивають поверхню обертання наn частин, площа бічної поверхні кожної частини як площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює 
Площа всієї поверхні обертання 
, 
, оскільки 
,
і
лежить між
. Таким чином, 
і чим дрібніше розбиття, тим точніша остання формула. Введемо ранг розбиття
і 
. Повторюючи аналогічні розмірковування з п.71, дійдемо формули 
. Зауваження. Якщо гладка крива 
задана параметрично, тобто
,
, 
, 
і
при
, то 
.
74. Довжина дуги кривої у полярній системі координат
крива 
задана рівнянням
,
. Тоді за параметр
візьмемо
й формула
набере вигляду 
Доведення Оскільки 
, то
, 
Лекція 23 Застосування визначеного інтеграла до задач фізики
75. Маса дуги кривої Проаналізуємо отримані формули при розв`язанні геометричних задач:  , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 . |
У кожній точці кривої задана погонна густина 
Маса нескінченно малого елемента
, тоді
. 76. Статичний момент дуги кривої. Координати центра мас З фізики відомо, що статичний момент 
матеріальної точки маси
щодо деякої осі дорівнює
, де
- відстань від точки до осі. Нехай у площині задана крива 
, де
- погонна щільність. Для н.м. елемента дуги кривої статичний момент щодо осіОХ: 
, а статичний момент всієї кривої
. Аналогічно визначається статичний момент щодо осі ОУ:
. Центр мас точка 
має таку властивість, що якщо в цій точці зосередити всю масу кривої
, то статичний момент цієї маси щодо осі
збігається зі статичним моментом кривої
щодо осі
(тобто з моментом маси розподіленої по цій кривій). Таким чином, 
або
. Самостійно одержати координати центра мас, якщо крива 
задана в декартовій або в полярній системі координат. 77. Момент інерції дуги кривої Момент інерції 
матеріальної точки маси
щодо деякої осі дорівнює
, де
- відстань від точки до відповідної осі. Нехай у площині задана крива 
як у пункті 76. Тоді момент інерції н.м. елемента дуги кривої щодо осіОХ: 
, а для всієї кривоїL: 
. Аналогічно визначається момент інерції щодо осі OY: 
. Полярний момент інерції розглядається щодо полюса O: 
. Самостійно записати всі ці моменти в декартовій або в полярній системі координат. 78
Робота змінної сили Нехай точка 
рухається уздовж осі
під дією сили
, що лежить на осі
. 
Коли точка 
пройде н.м. елемент шляху
, сила
зробить роботу
. Робота змінної сили
на відрізку
визначається за формулою
. 79. Робота з подолання сили тяжіння Розглянемо це питання на прикладі про обчислення роботи, яку потрібно зробити, щоб викачати воду з вертикальної циліндричної діжки, що має радіус основи 
й висоту
. 
Щоб підняти н.м. шар води завтовшки 
до краю діжки, потрібно зробити роботу: 
Тоді робота з викачування всієї води з діжки 
. Лекція 24 80. Сила тиску на плоску пластину Нехай круглу пластину радіуса R опустили вертикально у воду так, що її центр перебуває на глибині H під водою. Визначити силу тиску води на цю пластину. 
Складемо диференціал сили тиску води на н.м. елемент пластини: 
, 
- питома вага води,h- відстань від поверхні води до н.м. елемента пластини. 
.