Формули та властивості арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія - Чисельна послідовність a ₁, a ₂, a ₃, . у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена та деякого постійного числа d , званого різницею чи кроком арифметичної прогресії.

n-тий член арифметичної прогресії

Різниця арифметичної прогресії

Формули суми арифметичної прогресії

Властивість арифметичної прогресії

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!

Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн-вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви хочете зв'язатися зі мною, маєте запитання, пропозиції чи хочете допомогти розвивати сайт OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія - Це числова послідовність a₁, a₂, . , a_n, . , Для якої для кожного натурального n виконується рівність:

де d – це різниця арифметичної прогресії.

Приклад: послідовність чисел 3, 7, 11, 15, 19, . є арифметичною прогресією з різницею d=4.

Арифметична прогресія буває трьох видів:

1. Зростаюча - арифметична прогресія, У якої різниця є позитивною Приклад: послідовність чисел 2, 5, 8, 11, 14, . є зростаючою арифметичною прогресією, оскільки її різницю d = 3.
2. Знижена- Арифметична прогресія, У якої різниця є негативною Приклад: послідовність чисел 100, 98, 96, 94, 92, . є спадною арифметичною прогресією, оскільки її різницю d = –2.
3. Стаціонарна- Арифметична прогресія, У якої різниця дорівнює нулю Приклад: послідовність чисел 23, 23, 23, 23, 23, . є стаціонарною арифметичною прогресією, оскільки її різницю d = 0.

Основні формули арифметичної прогресії

Члени арифметичної прогресії

Загальна формула для обчислення n-ого члена арифметичної прогресії по першому члену та різниці:

Наступний член арифметичної прогресії можна знайти за попереднім членом та різницею:

Попередній член арифметичної прогресії можна знайти за наступним членом та різницею:

Також член арифметичної прогресії можна знайти, якщо відомі наступний та попередній члени:

Сума арифметичної прогресії

Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює

Також суму можна обчислити, використовуючи іншу формулу:

Розв'язання задач на арифметичну прогресію

Розглянемо кілька типових завдань, присвячених арифметичній прогресії.

Довести, що послідовність, задана формулою a_n = 5 + 4n, є арифметичною.

Щоб довести, що послідовність є арифметичною, достатньо отримати наступний член цієї послідовності та знайти різницю.

a_n+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n

d = a_n+1 - a_n = 9 + 4n - (5 + 4n) = 9 + 4n - 5 - 4n = 4

Оскільки різниця є числом, то вона буде однакова всім членів даної послідовності. Тому послідовність є арифметичною прогресією.

Знайти 20 член арифметичної прогресії та суму перших десяти, якщо a₁ = -18 та d = 5

a₂₀ = a₁ + d ⋅ 19 = -18 + 5 ⋅ 19 = 77

S₁₀ = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

Число 85 є членом арифметичної прогресії 8, 15, 22, 29, . . Знайти номер члена.

Нехай n – номер, який потрібно знайти.

Застосувавши формулу для обчислення n-ого члена арифметичної прогресії, можна отримати n

В арифметичній прогресії a₈ = 22 та a₁₄ = 34. Знайти формулу для n-ого члена.

Застосувавши формулу для обчислення n-ого члена арифметичної прогресії по першому члену та різниці знаходимо:

Підставивши в ці вирази a₈ та a₁₄ отримуємо систему рівнянь:

Віднімаючи з першого рівняння друге, можна обчислити d:

Підставляємо d у перше рівняння для отримання a₁:

Таким чином, формула для n-ого члена арифметичної прогресії виглядає так:

a_n = 8 + 2 ⋅ (n - 1) = 8 + 2n - 2 = 6 + 2n

Знайти кількість членів арифметичної прогресії 1, 3, 5, 7, . , якщо їхня сума дорівнює 81.

Із заданої арифметичної прогресії отримуємо a₁ і d:

І підставляємо відомі дані у формулу суми:

(2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (n - 1)) ⋅ n / 2 = 81

Поділіться статтею з однокласникамиАРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ, формули та приклади».

При копіюванні матеріалів із сайту посилання на джерело є обов'язковим. Поважайте працю людей, які вам допомагають.
Знайшли помилку? Виділіть текст та натисніть Ctrl+Enter.

Арифметична прогресія

Чіслова послідовність — це безліч чисел, у якому кожному числу можна присвоїти унікальний номер (тобто поставити у відповідність єдине натуральне число від (1) до (n)). Число з номером \(n\) називається \(n\)-им членом послідовності.

Наприклад, є послідовність чисел: 4; 13; -7; 0,15; -8,2. Тут число 4 - це перший член послідовності, який можна позначити (a_1). Третій член послідовності - це число -7, яке позначається як (a_3).Якщо послідовність має \(n\) членів, то \(n\)-ий позначається як \(a_n\). Взагалі, можна використовувати будь-які літери для позначення, але більше прийнято використовувати (a) для арифметичної прогресії і (b) для геометричної.

Іноді послідовність можна задати формулою. Наприклад, формула (a_n = 3n-5 \) задає числову послідовність: -2; 1; 4; 7.

Арифметична прогресія

Тепер розглянемо арифметичну прогресію.

Арифметична прогресія — це послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена та деякого фіксованого числа, званого різницею арифметичної прогресії. Інакше висловлюючись, новий член цієї прогресії утворюється шляхом додавання різниці до попередньому члену.

Послідовність 2; 5; 8; 11. є арифметичною прогресією з першим членом (a_1 = 2) і різницею (d = 3). І дійсно, кожен новий член прогресії виходить як сума попереднього і різниці (d).

Тоді така рівність: \(a_=a_n+d\). Або ж (d = a_-a_n \). Тобто \(d\) - фіксована величина, що дорівнює різниці двох сусідніх членів прогресії. Якщо різниця (d>0), то прогресія називається зростаючою; якщо \(d

Якщо маємо перший член прогресії \(a_1\), то другий ми можемо отримати як \(a_2=a_1+d\). Третій буде \(a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d). І далі (a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d\). Таким чином, ми можемо висловити будь-який член прогресії через перший за формулою (a_n=a_1+d(n-1)). Тобто до першого члену потрібно додати різницю прогресії \ (n-1 \) раз, щоб отримати \ (n \)-ий член.

Ще важливою властивістю арифметичної прогресії є те, що будь-який член прогресії (починаючи з другого) є середнім арифметичним двох сусідніх. Тобто вірна формула: (a_n = dfrac + a_>).Доказом є підстановка \(a_=a_n-d\) та \(a_=a_n+d\) у формулу. Цю формулу можна переписати як: \(a_+a_=2a_n\). У загальному вигляді формулу можна записати так: \(a_n=\dfrac+a_>\) або \(2a_n=a_+a_\) для будь-якого \(n\geqslant2\) і \(k

Так як \(d\) - стала величина, то для арифметичної прогресії справедлива запис: \(a_-a_n=a_n-a_\).

У будь-якій арифметичній прогресії ми можемо знайти суму її членів. Для цього є формула: (S_n = dfrac cdot n). Тобто якщо прогресія складається з \(a_1; a_2; a_3; . ; a_n\), то, склавши крайні члени, розділивши суму навпіл і помноживши на кількість членів, ми отримаємо суму (a_1+a_2+a_3+ . +a_n\) . Розберемо цю формулу на прикладі пошуку суми всіх чисел від 1 до 100, що є арифметичною прогресією з різницею (d=1). Складемо крайні члени 1 і 100 - отримаємо 101. Якщо скласти другий і передостанній: 2 і 99 - теж отримаємо 101. І так далі, до середини ряду. Таким чином, таких пар нам потрібно взяти рівно половину від усіх чисел, тобто (dfrac).

А тепер у формулу для суми членів, що вийшла, замість \(a_n\) підставимо знайдене раніше \(a_n=a_1+d(n-1)\). Тоді отримаємо (S_n = dfrac cdot n). Даною формулою зручно користуватися, якщо немає останнього члена прогресії, але її різниця. Звичайно, можна спочатку знайти останній член, а потім скористатися першою формулою, але можна відразу користуватися новою.

Розберемо кілька завдань, де стануть у нагоді формули арифметичної прогресії.

Завдання 1. В арифметичній прогресії 2; 5; 8; 11. Знайдіть формулу \(n\)-го члена і обчисліть сотий член.

З вихідних даних можна зрозуміти, що \(a_1=2\) та \(d=3\). Тоді, підставляючи це формулу \(a_n=a_1+d(n-1)\) отримуємо формулу для \(n\)-го члена цієї прогресії: \(a_n=2+3(n-1)=3n-1 \). Тоді (a_=3\cdot100-1=299\).

Завдання 2. Равлик повзе від одного дерева до іншого. Щодня вона проповзає на ту саму відстань більше, ніж у попередній день. Відомо, що за перший і останній дні равлик проповз загалом 10 метрів. Визначте, скільки днів равлик витратив на весь шлях, якщо відстань між деревами дорівнює 150 метрам.

З умови ми розуміємо, що загальний пройдений шлях дорівнює 150 метрів. І він же є сумою всіх відстаней, пройдених за (n) днів. Тобто (S_n = 150). І також відомо, що (a_1 + a_n = 10). Тоді, підставляючи відомі нам дані у формулу (S_n = dfrac cdot n) отримуємо, що (n = 30), що і потрібно знайти.

Завдання 3. Васі треба вирішити 434 задачі. Щодня він вирішує на те саме кількість завдань більше в порівнянні з попереднім днем. Відомо, що за перший день Вася вирішив 5 завдань. Визначте, скільки завдань вирішив Вася в останній день, якщо з усіма завданнями він упорався за 14 днів.

Виписуємо відомі дані: (a_1 = 5, n = 14, S_n = 434 \). Користуючись формулою для суми членів арифметичної прогресії отримуємо: (434 = dfrac> cdot 14 Leftrightarrow a_ = 57).

Завдання 4. Між числами 1 і 7 вставте чотири числа так, щоб вийшла арифметична прогресія.

Оскільки необхідно вставити 4 числа, то всього у цій прогресії вийде 6 чисел. Значить \(a_1=1\) та \(a_6=7\). Розпишемо \(a_6=a_1+5d=7\). Віднімаючи з цієї рівності перше отримаємо, що (5d = 6 Leftrightarrow d = 1,2). Тоді прогресія набуває вигляду: 1; 2,2; 3,4; 4,6; 5,8, 7.

Завдання 5. Дана арифметична прогресія: -4; -2; 0… Знайдіть суму перших десяти її членів.

Щоб знайти суму перших десяти членів арифметичної прогресії, крім першого члена нам потрібно або знати десятий член, або різницю прогресії.І це завдання легше вирішувати за формулою \(S_n=\dfrac\cdot n\), адже \(a_1=-4\) та \(d=a_2-a_1=-2+4=2\). Тоді (S_n = dfrac cdot10 = 50).

Завдання 6. Задано арифметичну прогресію, де п'ятий і десятий члени рівні 38 і 23 відповідно. Знайдіть п'ятнадцятий член прогресії.

Розпишемо \(a_5=a_1+4d=38\) та \(a_=a_1+9d=23\). Віднімаючи з другого рівняння перше отримуємо, що \(5d=-15 \Leftrightarrow d=-3\) і (a_1=38-4d=38+12=50\). Тоді (a_=a_1+14d=50-14\cdot3=8\).

Після знаходження \(d=-3\) можна було вчинити так: \(a_=a_5+10d=38-10\cdot3=8\) або \(a_=a_+5d=23-5\cdot3=8\) . Тобто не обов'язково знаходити перший член, щоб висловити якийсь ще. Можна висловлювати їх один через одного, додаючи до члена з меншим індексом стільки разів (d), скільки складає різницю їх індексів.

Завдання 7. Знайдіть суму перших 19 членів арифметичної прогресії, десятий член якої дорівнює 1000.

З умови відомо, що (a_=a_1+9d=1000). І також можна розписати \(a_=a_1+18d\), адже він нам знадобиться у формулі для суми. Спробуємо одержати вираз \(a_1+a_\). Для цього до обох частин другої рівності додамо (a_1). Отримуємо: (a_1+a_=2a_1+18d=2(a_1+9d)\). А вираз у дужках – це і є запис десятого члена. Тобто \(a_1+a_=2a_=2000). Тоді \(S_=\dfrac\ cdot19 = 19000 \). Висновок, що \(a_1+a_=2a_\) можна було також отримати, виходячи з формули \(a_n=\dfrac+a_>\) для (n=10) і (k=9).

Завдання 8. Скільки позитивних чисел міститься у прогресії 23,1; 22,7. ?

Ми знаємо, що \(a_1=23,1\) та \(d=-0,4\). Тобто (a_n=23,1-0,4(n-1)=23,5-0,4n\). Нам потрібно знайти номер члена, який буде останнім позитивним. Можна спробувати знайти член, що дорівнює нулю, тобто \(a_n=23,5-0,4n=0 \Leftrightarrow n=58,75\).Оскільки значення відбулося цілим числом, отже, що нульового члена немає у цій прогресії. Однак тепер ми можемо зрозуміти, що нуль знаходиться між 58 і 59 членами. Оскільки прогресія спадна (\(d<0\)), то 58-ой - останній позитивний, а 59-ый - перший негативний. Тобто ми маємо 58 позитивних членів прогресії.

Можна було зробити так. Ми отримали формулу (a_n = 23,5-0,4n). Скажімо, що (a_n>0), адже нам потрібні тільки такі члени. Тоді, вирішивши нерівність, отримуємо, що (n

Завдання 9. Внутрішні кути деякого опуклого багатокутника, найменший у тому числі дорівнює \(120^\), утворюють арифметичну прогресію з різницею \(5^\). Знайдіть число сторін цього багатокутника.

За допомогою відомих даних запишемо формулу для знаходження суми всіх \(n\) кутів багатокутника: \(S_n=\dfrac\cdot n=\) \(\dfrac\cdot n\). І також ми знаємо, що сума кутів будь-якого багатокутника знаходиться за формулою \((n-2)\cdot180^\), де \(n\) - кількість кутів. Прирівнюючи два вирази знаходимо, що \(n=9\) або \(n=16\). Однак при (n = 16) отримаємо, що частина кутів перевищує (180). Для \(n=9\) також можна зробити перевірку і переконатися, що підходить тільки \(n=9\).

Завдання для самоперевірки

Завдання 1. Турист йде з одного міста в інше, щодня проходячи більше, ніж у попередній день, на одну і ту ж відстань. Відомо, що за перший день турист пройшов 10 км. Визначте скільки кілометрів пройшов турист за третій день, якщо весь шлях він пройшов за 6 днів, а відстань між містами становить 120 кілометрів.

Завдання 2. Робітники прокладають тунель завдовжки 99 метрів, щодня збільшуючи норму прокладки на те саме число метрів.Відомо, що за перший день робітники проклали 7 метрів тунелю. Визначте скільки метрів тунелю проклали робітники в останній день, якщо вся робота була виконана за 9 днів.
Завдання 3. Віка вирішила почати робити зарядку щоранку. У перший день вона зробила 30 присідань, а кожного наступного дня вона робила на одну і ту ж кількість присідань більше, ніж у попередній день. За 15 днів вона зробила лише 975 присідань. Скільки присідань зробила Віка у п'ятий день?

Завдання 4. Між числами 1 і 4 вставте 8 чисел так, щоб вони разом із даними числами становили арифметичну прогресію.

Завдання 5. Знайдіть кількість членів арифметичної прогресії 9; 12; 15. якщо їхня сума дорівнює 306.

Завдання 6. Кінцева арифметична прогресія складається із восьми натуральних чисел. Сума найбільшого та найменшого з них дорівнює 11. Знайдіть суму всіх членів цієї прогресії.

Завдання 7. Сума третього та дев'ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 8. Знайдіть суму перших 11 членів цієї прогресії.

Завдання 8. Відомо, що (a_1); . ; \(a_\) - арифметична прогресія і \(a_1+a_5+a_=3\). Знайти \(a_5+a_9\).

Завдання 9. В арифметичній прогресії \(a_n\) відомо, що \(a_4+a_8+a_+a_=224\). Знайдіть суму перших 19 членів цієї прогресії.

Завдання 10. Знайти тризначне число, цифри якого утворюють (у тому порядку, в якому вони стоять у числі) зростаючу арифметичну прогресію і ділиться на 45.

Завдання 11. Сума першого і п'ятого членів арифметичної прогресії дорівнює (dfrac), а твір третього і четвертого її членів дорівнює (dfrac). Знайдіть суму перших 17 членів цієї прогресії.

Відповіді

4. Вийшла прогресія: \ (1; 1 dfrac; 1 dfrac; 2; 2 dfrac; 2 dfrac; 3; 3 dfrac; 3 dfrac; 4 \).