Як розкласти корінь із 275

Як спростити квадратний корінь

Співавтор(и): David Jia. Девід Джіа – репетитор та засновник приватної репетиторської компанії LA Math Tutoring у Лос-Анджелесі, Каліфорнія. Має більше 10 років викладацького досвіду, працює з учнями різного віку та класів над різними предметами, а також займається конультуванням з вступу до коледжу та підготовкою до SAT, ACT, ISEE та інших тестів. Набравши максимальні 800 балів за SAT з математики та 690 — з англійської мови, отримав стипендію Дікінсона в Університеті Майамі, який закінчив зі ступенем бакалавра ділового адміністрування. Крім того, був інструктором у навчальних онлайн-відео компаній, що випускають підручники, таких як Larson Texts, Big Ideas Learning та Big Ideas Math.

Кількість переглядів цієї статті: 184 532.

Спростити квадратне коріння зовсім не так складно, як може здатися. Потрібно просто розкласти число на множники та витягти з-під знаку кореня повні квадрати. Запам'ятавши кілька найпоширеніших квадратів і навчившись розкладати число на множники, ви зможете запросто спрощувати квадратне коріння.

Розкладання на множники

Мета спрощення квадратного кореня – це переписати його у такій формі, яку простіше використовувати у обчисленнях. Розкладання числа на множники - це знаходження двох або декількох чисел, які при перемноженні дадуть вихідне число, наприклад, 3 х 3 = 9. Знайшовши множники, ви зможете спростити квадратний корінь або взагалі позбутися його. Наприклад, √9 = √(3x3) = 3. [1] X Джерело інформації

Перепишіть завдання як корінь із добутку двох чисел. Наприклад, спростимо √98: 98 ÷ 2 = 49, тому 98 = 2 x 49. Перепишіть завдання так: √98 = √(2 x 49). [3] X Джерело інформації

2 вже максимально спрощено, оскільки це просте число (дивіться перелік простих чисел вище). Тому розкладіть на множники число 49.
49 на 2, 3, 5 не поділяється. Тому переходьте до наступного простого числа - 7.
49 ÷ 7 = 7, тому 49 = 7 x 7.
Перепишіть завдання так: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).

Як тільки під коренем ви отримали два однакові числа, ви можете зупинитися з розкладанням чисел на множники (якщо їх ще можна розкласти). Наприклад, √(16) = √(4 х 4) = 4. Якщо ви продовжите розкладання чисел на множники, ви отримаєте ту саму відповідь, але зробите більше обчислень: √(16) = √(4 х 4) = √(2 х 2 х 2 х 2) = √(2 х 2) √(2 х 2) = 2 х 2 = 4.

√180 = √(2 x 90)
√180 = √(2 x 2 x 45)
√180 = 2√45, але 45 можна розкласти на множники та ще раз спростити корінь.
√180 = 2√(3 x 15)
√180 = 2√(3 x 3 x 5)
√180 = (2)(3√5)
√180 = 6√5

70 = 35 x 2, тому √70 = √(35 x 2)
35 = 7 x 5, тому √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
Всі три множники є простими, тому їх не можна розкласти на множники. Всі три множники різні, тому ви не зможете винести ціле число з-під знаку кореня. Отже, √70 спростити не можна.

Повний квадрат

1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100

√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10

√50 = √(25 х 2) = 5√2. Якщо підкорене число закінчується на 25, 50 або 75, ви можете розкласти його на твір 25 і якогось числа.
√1700 = √(100 х 17) = 10√17. Якщо підкорене число закінчується на 00, ви можете розкласти його на добуток 100 і якогось числа.
√72 = √(9 х 8) = 3√8. Якщо сума цифр підкореного числа дорівнює 9, ви можете розкласти його до твір 9 і якогось числа.
√12 = √(4 х 3) = 2√3. Завжди перевіряйте, чи поділені поділені числа на 4.

√72 = √(9 x 8)
√72 = √(9 x 4 x 2)
√72 = √(9) x √(4) x √(2)
√72 = 3 x 2 x √2
√72 = 6√2

Термінологія

√ – це знак квадратного кореня. Наприклад, у √25, «√» - це знак квадратного кореня. [7] X Джерело інформації

Під знаком кореня записується підкорене вираз. Наприклад, «25» - це підкорене вираз (число) у √25. [8] X Джерело інформації

Коефіцієнт - це число, що стоїть перед знаком кореня (ліворуч від нього). Це число, яким множиться квадратний корінь; воно записується ліворуч від знака √. Наприклад, «7» — це коефіцієнт 7√2.

Множник - ціле число, що отримується при розподілі іншого числа. 2 — множник 8, оскільки 8 ÷ 4 = 2, а 3 не є множником 8, оскільки 8 на 3 не ділиться (націло). 5 - множник 25, тому що 5 x 5 = 25.

Зрозумійте сенс спрощення квадратного кореня. Спрощення квадратного кореня - це знаходження серед множників підкореного виразу повних квадратів та їх вилучення з-під кореня. Якщо число є повним квадратом, знак кореня зникне, як тільки ви запишете його корінь. Наприклад, √98 може бути спрощений до 7√2.

Для знаходження повного квадрата (як одного з множників підкореного виразу) просто перегляньте список повних квадратів, починаючи з повного квадрата, найближчого до підкореного числа (і далі в порядку зменшення). Шукаючи повний квадрат серед 27, почніть з повного квадрата 25, потім 16, і зупиніться на 9.

За жодних обставин у вас не повинен з'явитися десятковий дріб!
Калькулятори можуть бути корисними для обчислень з великими підкореними числами, але краще практикуватися у спрощенні коріння вручну.

Додаткові статті

Про цю статтю

Співавтор(и): David Jia. Девід Джіа – репетитор та засновник приватної репетиторської компанії LA Math Tutoring у Лос-Анджелесі, Каліфорнія.Має більше 10 років викладацького досвіду, працює з учнями різного віку та класів над різними предметами, а також займається конультуванням з вступу до коледжу та підготовкою до SAT, ACT, ISEE та інших тестів. Набравши максимальні 800 балів за SAT з математики та 690 — з англійської мови, отримав стипендію Дікінсона в Університеті Майамі, який закінчив зі ступенем бакалавра ділового адміністрування. Крім того, був інструктором у навчальних онлайн-відео компаній, що випускають підручники, таких як Larson Texts, Big Ideas Learning та Big Ideas Math. Кількість переглядів цієї статті: 184 532.

Як складати і віднімати квадратне коріння

Кількість переглядів цієї статті: 581 112.

Складати і віднімати квадратне коріння можна тільки за умови, що у них однакове підкорене вираз, тобто ви можете скласти або відняти 23 і 43, але не 23 і 25. Ви можете спростити підкорене вираз, щоб привести їх до коріння з однаковими підкореними виразами (а потім скласти або відняти їх).

Осягаємо основи

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Тут ви розкладаєте 50 на множники 25 та 2; потім з 25 витягнете корінь, рівний 5, і 5 виносите з-під кореня. Потім 5 множите на 6 (множник біля кореня) і отримуєте 302.
2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Тут ви розкладаєте 8 на множники 4 та 2; потім з 4 витягнете корінь, рівний 2, і 2 виносите з-під кореня. Потім 2 множите на 2 (множник у кореня) і отримуєте 42.
5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Тут ви розкладаєте 12 на множники 4 та 3; потім з 4 витягнете корінь, рівний 2, і 2 виносите з-під кореня. Потім 2 множите на 5 (множник у кореня) і отримуєте 103.

Підкресліть коріння, підкорені вирази яких однакові. У прикладі спрощене вираз має вигляд: 30√2 - 4√2 + 10√3. У ньому ви повинні підкреслити перший і другий члени (30√2 і 4√2), так як у них однакове підкорене число 2. Тільки таке коріння ви можете складати і віднімати.

Якщо вам дано вираз з великою кількістю членів, багато з яких мають однакові підкорені вирази, використовуйте одинарне, подвійне, потрійне підкреслення для позначення таких членів, щоб полегшити вирішення цього виразу.

Практикуємось на прикладах

Спростіть √(45). Розкладіть 45 на множники: √(45) = √(9 x 5).
Винесіть 3 з-під кореня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
Тепер складіть множники біля коріння: 3√5 + 4√5 = 7√5

Спростіть 6√(40). Розкладіть 40 на множники: 6√(40) = 6√(4 x 10).
Винесіть 2 з-під кореня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
Перемножте множники перед коренем та отримайте 12√10.
Тепер вираз можна записати у вигляді 12√10 - 3√(10) + √5.Так як у перших двох членів однакові підкорені числа, ви можете відняти другий член від першого, а перший залишити без змін.
Ви отримаєте: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.

приклад 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Тут жодне з підкорених виразів не можна розкласти на множники, тому спростити вираз не вийде. Ви можете відняти третій член з першого (оскільки мають однакові підкорені числа), а другий член залишити без змін. Ви отримаєте: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.

√9 = √(3 х 3) = 3.
√4 = √(2 х 2) = 2.
Тепер ви можете просто скласти 3+2, щоб отримати 5.
Остаточна відповідь: 5 – 3√2.

Знайдіть найменший загальний знаменник цих дробів. Це число, яке ділиться націло на кожен знаменник. У прикладі на 4 і 2 ділиться число 4.
Тепер другий дріб помножте на 2/2 (щоб привести його до спільного знаменника; перший дріб вже приведений до нього): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
Складіть чисельники дробів, а знаменник залиште тим самим: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

Перед підсумовуванням або відніманням коренів обов'язково спростіть (якщо можливо) підкорені вирази.

Ніколи не підсумовуйте і не віднімайте коріння з різними підкореними виразами.
Ніколи не сумуйте і не віднімайте ціле число і корінь, наприклад, 3 + (2x) 1/2.
- Примітка: «х» в одному другому ступені і квадратний корінь з «х» – це те саме (тобто x 1/2 = √х).
Додаткові статті

Про цю статтю

Співавтор(и): David Jia. Девід Джіа – репетитор та засновник приватної репетиторської компанії LA Math Tutoring у Лос-Анджелесі, Каліфорнія.Має більше 10 років викладацького досвіду, працює з учнями різного віку та класів над різними предметами, а також займається конультуванням з вступу до коледжу та підготовкою до SAT, ACT, ISEE та інших тестів. Набравши максимальні 800 балів за SAT з математики та 690 — з англійської мови, отримав стипендію Дікінсона в Університеті Майамі, який закінчив зі ступенем бакалавра ділового адміністрування. Крім того, був інструктором у навчальних онлайн-відео компаній, що випускають підручники, таких як Larson Texts, Big Ideas Learning та Big Ideas Math. Кількість переглядів цієї статті: 581 112.