Математика: раціональні числа

Періодично помічаєш, що у підручнику, чи на уроці, йдеться про якісь різні назви, що даються числам? Хочеш зрозуміти, що вони означають, яке дають відмінність числам? Чи в тебе в контрольній питання таке, пов'язане з раціональними числами? Неважливо, давай швиденько розберемося, чим відрізняються групи за числами.

Що таке в математиці: про раціональні числа?

Числам дано невелику ієрархію, яку обов'язково знати всім, хто займається математикою. Чому? Тому що математика — наука про числа — це базове знання, а всі ази треба знати, щоб розуміти предмет хоча б у якійсь його формі. Для раціональних чисел у цій ієрархії є місце, але не на початку списку, — такими числами називають ті, що включають дві інші групи, так що давай спочатку розберемося з числами цих груп, щоб було зрозуміло, з чого складається безліч раціональних чисел.

Спершу йде те, що називають натуральним числом. Що таке? Такими числами називають ті, які з'явилися за рахунку, тобто з нуля і всі цілі нескінченно. Іноді, щоправда, нуль не включають до списку, оскільки є різні підходи до цього моменту, але в школі і на ЄДІ можна не хвилюватися з цього приводу.

Потім іде те, що називають цілим числом. Береш попередню групу і додаєш усі негативні — і тут сто відсотків нуль уже буде. У числовій ієрархії групи працюють таким чином: береш попередню множину, додаєш до неї якісь нові правила, і вуаля — наступний рівень із новими числами.

Ось на третьому місці таки буде місце раціональним.Що туди входить? Раціональні числа - це всі попередні групи з числами, - логічно, - і додаються дроби. Все досить просто і зрозуміло з раціональними числами, чи не знаходиш?

Повна ієрархія: про число - визначення

Якщо ми розібралися з першими трьома рівнями, цими числами, то давай пройдемося і по інших числах, щоб не зупинятися тільки на раціональних числах. Так, ще раз, зупинилися ми на раціональних числах, чи не так? Що ж йде далі – після раціонального? Ми вже поговорили про негативні, цілі числа, про дроби, нулі — що нам ще треба буде? Дивись, наступний рівень - таким числам дано назву «дійсні». Іноді їх ще називають речовими - тут не особливо важлива назва, головне розуміти, що це те саме. Що до них входить? Логічно, що всі попередні пункти, але ще додається нова множина — таким числам дали назву «ірраціональні». Дивись, у тебе є партія «раціональні» — для них є навіть окрема група, — а що таке ірраціональні? Це ті, які створюються, коли неможливо рівно поділитись числу, прикладом буде число пі. Він не має чіткого закінчення після коми — воно і буде ірраціональним. Туди ж входить, наприклад, корінь із двох — із ним уже нічого не зробиш, він просто так і залишатиметься під коренем для комфортного написання. Ось це безліч входить у речові. Офіційно, і коректніше, їх можна описати таким чином, — числам, які розташовані в будь-якому місці на числовій прямій, дали назву речові. Останній же етап у цій ієрархії вивчають уже у ВНЗ — і навіть не на першому курсі, тому ми зараз його особливо не зачіпатимемо, але простий знай, що він існує.Називання таким числам, до речі, буде комплексним.

Де зустрічається: про раціональні числа?

Скрізь, де є математика та цифри — логічно — зустрічатимешся з раціональними числами. Але знання самої теми стануть у пригоді на іспитах, контрольних і просто в школі на уроках. Чому? Тому що досить часто відбувається робота з графіками, особливо їх аналізом, плюс тригонометрією, нерівностями і ще парочкою речей, де потрібно буде розрізняти групи і знати визначення раціональних чисел. Якщо в тебе не буде найменшого розуміння, що означає буква R або Q, то в тебе можуть виникнути великі проблеми як із рішенням, так і з розумінням умови завдання. Ця тема досить проста, потрібно чітко зрозуміти ієрархію і плутати групки.

Як запам'ятати?

Тут не спрацює версія нарішування, тому єдине, що залишається, — це запам'ятати. Завчити будь-яким способом, який тобі спадає на думку: картки, просто вивчити, переписати сто разів. Вибирай той спосіб, який допоможе тобі повністю запам'ятати матеріал.

Результати випускників Турбо на ЄДІ з профільної математики:

💯 Випустили понад 40 стобальників

⚡ 249 осіб отримали на ЄДІ 90+ балів

💥 Кожен третій учень здав на 80+ балів

🔥 Середній бал у 2024 році: 76

Закінчив фізмат Ліцей, далі економічний факультет Санкт-Петербурзького державного економічного університету.

Очолював Молодіжний Економічний Клуб у СПбГЕУ, започаткував всеросійську Молодіжну Асоціацію Клубів Управлінської Боротьби. Проводив заняття у десятках ТОП ВНЗ.

Регулярно здаю ЄДІ, востаннє здав на 94 бали.

Щоб краще зрозуміти матеріал на вебінарах, ми відкриваємо кіндери, змішуємо колу з молоком і їмо піцу!

Зустрінемось на вебінарах! ❤️

Раціональні числа: визначення, властивості та приклади

Повторюємо ази шкільної математики та вчимося застосовувати їх у коді на Python.

Ілюстрація: Оля Їжачок для Skillbox Media

Світом правлять числа! Так одного разу сказав Піфагор, і ми не маємо підстав з ним сперечатися. Питання лише тому, що це за числа. Наприклад, натуральними числами ви ніколи не опише негативний баланс на картці або, скажімо, точний показник швидкості світла. Тут потрібна потужніша артилерія — тобто раціональні числа.

Сьогодні ми дізнаємося, що це за числа такі, навіщо вони потрібні та як з'явилися. Стаття буде корисна не лише студентам, які штудують базу перед іспитами, а й новачкам в IT — наприкінці ми подивимося, як працювати з раціональними числами мовою Python.

З цієї статті ви дізнаєтесь:

Що таке раціональні числа

Раціональні числа — це всі числа, які можна подати у вигляді дробу m/n, де чисельник m - Це ціле число, а знаменник n - Натуральне. Безліч раціональних чисел позначається латинською літерою Q.

Наприклад, число 0,5 можна подати як дріб 5/10 або ½, отже, воно є раціональним. Математично це записується як 0,5 ∈ Q.

Будь-яке ціле число теж можна вважати раціональним, адже ми можемо уявити його у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна записати як 5/1. Технічно це буде не відрізняється від поділу 5 на 1, в результаті якого вийде та сама п'ятірка.

Нуль також відноситься до раціональних чисел, тому що його ми теж можемо уявити у вигляді дробу. Так як на нуль ділити вкрай не рекомендується, знаменник у нуля теж не може бути менше одиниці.Проілюструвати це можна на прикладі піци: спочатку у нас було 7 із 8 шматків, тобто дріб 7/8, а коли всі з'їли – стало 0/8:

Нескінченні періодичні дроби також відносяться до раціональних чисел. Наприклад, якщо ми візьмемо дріб 1/7 і спробуємо перевести її у звичайний вигляд - тобто розділимо 1 на 7, - то отримаємо 0,14285714285714 ... Послідовність після коми (період) 142857 повторюватиметься до нескінченності, але при зворотній операції ми знову отримаємо дріб 1/7, а значить, це також відноситься до раціональної множини.

Якщо після коми у дробу немає ніякої послідовності, що повторюється, то число вже називається ірраціональним. Наприклад, √2 = 1,41421356237… Ще один приклад — знамените число π («пі») — 3,1415926535…

Приклади раціональних чисел:

• Ціле позитивне натуральне число 1 – це 1/1.
• Ціле число 0 – це 0/1.
• Ціле від'ємне число −5 – це −5/1.
• Десятковий дріб 0,25 - це 25/100.
• Негативний десятковий дріб −0,75 – це −75/100.
• Змішане число 3,25 – це 13/4.
• Нескінченний періодичний дріб 0,333… — це 1/3.

Чим раціональні числа відрізняються від інших

Щоб краще розібратися в специфіці раціональних чисел - короткий лікнеп з математичних множин.

Почнемо з натуральних чисел. До них відносяться всі позитивні числа: від 1 до нескінченності - нуль до цього списку не входить. Натуральні числа ми використовуємо, щоб порахувати щось матеріальне: одна монета, два фломастери, п'ять машин. Цей вид чисел - найдавніший, його використовували для розрахунків ще первісні племена.

Цілі числа — усі натуральні числа, протилежні їм (тобто негативні), і навіть нуль. Вважається, що такі числа вперше почали використовувати в Стародавньому Китаї та Стародавній Індії для математичного позначення боргу.

Наступна множина — раціональні числа. Це все натуральні та цілі числа, а також дроби: звичайні, кінцеві десяткові та нескінченні періодичні. Періодичні — це такі дроби, де одна чи група цифр після коми повторюються, наприклад 0,161616… Якщо цього повтору немає, то число вже зветься ірраціональним.

Ірраціональні та раціональні числа, у свою чергу, утворюють нову множину — речові числа. Візуально це можна так:

Властивості раціональних чисел

Як і будь-яких інших об'єктів у математиці, раціональні числа мають свої властивості. У всіх прикладах нижче a, b і c є раціональними числами.

Властивості додавання

1️⃣ Переміщувальна властивість. Від зміни місць доданків сума не змінюється:

2️⃣ Сполучна властивість. Щоб до раціонального числа додати суму двох чисел, потрібно до першого числа додати і перше, і друге число:

3️⃣ Нуль - нейтральний елемент. Додавання нуля з раціональним числом не змінить це число:

4️⃣ Наявність протилежного числа. У кожного раціонального числа є протилежне, а при складанні ми отримаємо 0:

Щоб краще запам'ятати ці властивості, збережіть собі таку шпаргалку:

Властивості множення з позитивними множниками

Тут все практично ідентично.

1️⃣ Переміщувальна властивість. Від зміни місць множників твір не змінюється:

2️⃣ Сполучна властивість. Щоб помножити раціональне число на добуток двох чисел, потрібно перше число помножити спочатку на перший, а потім на другий множник:

3️⃣ Властивість множення на 1. При множенні раціонального числа на 1 ми отримаємо те число:

4️⃣ Властивість множення на 0. При множенні раціонального числа на 0 ми отримаємо 0:

5️⃣ Властивість множення на дріб. При множенні раціонального числа на дріб, в чисельнику якого 1, а в знаменнику це раціональне число, вийде 1:

6️⃣ Розподільча властивість. При множенні суми на раціональне число можна помножити це число на кожне доданок окремо, а потім ці значення скласти. Це правило працює і з відніманням:

Властивості множення з негативними множниками

1️⃣Збільшення чисел з різними знаками. Якщо є хоча б один негативний множник, весь твір буде негативним (плюс на мінус дає мінус, і мінус на плюс дає мінус):

2️⃣Примноження негативних чисел: якщо ми множимо обидва негативні множники, то твір вийде позитивним (мінус на мінус дає плюс):

Властивості віднімання та поділу

Властивості віднімання раціональних чисел можна описати за аналогією з властивостями додавання, головне — не заплутатися з мінусом. Наприклад, a − b = −b + a:

А властивості поділу раціональних чисел обернені властивостями множення:

Раціональні числа в Python

Розглянемо приклади раціональних чисел та їх властивостей мовою Python. У пітоні є спеціальний модуль fractionsякий дозволяє нам працювати з раціональними числами, а в ньому клас Fraction, що є реалізацією дробового значення

Ну що ж, за діло. Для початку імпортуємо клас Fraction з модуля fractionsщоб ми могли ним користуватися:

from fractions  import Fraction

Тепер розберемо, як працює цей клас. Під час створення об'єкта Fraction у конструктор можна передати:

• два значення, де перше - це чисельник, а друге - знаменник (змінна a);
• дробове значення у вигляді рядка (змінна b);
• речове значення (змінна c);
• інший Fraction, так як Fraction і є реалізацією раціонального дробового значення (змінна d).

a = Fraction(1, 2) b = Fraction('1/2') c = Fraction(0.5) d = Fraction(a) print(a, b, c, d) print(float(a), float(b), float(c), float(d))  1/2
1/2
1/2
1/2
0.5
0.5
0.5
0.5

Видно, що значення змінних Fraction при виведенні показує дробовий вигляд раціонального числа 0,5, а в другому рядку виводу при наведенні значення? float, отримаємо його речове уявлення .

Поміняємо значення змінних і пройдемося за властивостями раціональних чисел, взявши негативний дріб -¾, дріб ⅔ (з нескінченним періодом) та ціле число 10:

a = Fraction(-3, 4) b = Fraction(2, 3) c = Fraction(10)

Візьмемо сполучну властивість додавання і застосуємо формулу (a + b) + c = a + (b + c), щоб переконатися, що значення будуть рівні, а також наведемо вигляд дробів до float:

print((a + b) + c,  '=', a + (b + c)) print(float((a + b) + c),  '=', float(a + (b + c))))  119/12 = 119/12
9.916666666666666 = 9.916666666666666

Як можна помітити, значення однакові, а при виведенні в речовому вигляді у нас виходить число з нескінченним періодом 6. А як ми вже говорили вище, такі числа також відносяться до раціональних.

Виконаємо ту ж операцію за формулою розподільчої властивості множення:

print((a + b) * c,  '=', a * c + b * c) print(float((a + b) * c),  '=', float(a * c + b * c))  -5/6 = -5/6
-0.8333333333333334 = -0.8333333333333334

Значення вийшли рівні, але можна помітити, що при приведенні до речового виду період раціонального числа порушується - 3 наприкінці замінюється на 4. Це відбувається через особливості обчислень у мові Python. Якщо ми на аркуші паперу розділимо 5 на 6, то отримаємо 0,8333, де 3 буде повторюватися до нескінченності.

І насамкінець розберемо випадок з розподілом раціональних чисел з використанням переміщувальної властивості. Для початку розділимо a на b. Тепер поміняємо операнди місцями та подивимося, що вийде. Для цього множимо a на дріб 1/b, підставивши як другий операнд клас Fraction, який і реалізує цей дріб. Вуаля:

print(a / b,  '=', a * Fraction(1, b)) print(float(a / b),  '=', float(a * Fraction(1, b)))  -9/8 = -9/8
-1.125 = -1.125

Резюме: повторимо вивчене

З цієї статті ми дізналися, що таке раціональні числа, чим вони відрізняються від інших видів чисел і які мають властивості. Давайте пройдемося за основними моментами, щоб закріпити знання.

• Раціональне число - це число, яке можна уявити у вигляді дробу, де чисельник - ціле число, а знаменник - натуральне.
• Раціональні числа - це все натуральні та цілі числа, а також дроби: звичайні, кінцеві десяткові та нескінченні періодичні.
• Нескінченні періодичні дроби - це такі дроби, де є послідовність, що повторюється після коми. Наприклад, 1,16161616… Якщо дріб нескінченний, а такої послідовності немає, число називається ірраціональним.
• У раціональних чисел є математичні властивості: переміщувальне, поєднане, розподільне і таке інше.
• З раціональними числами можна проводити будь-які математичні операції, такі як додавання, віднімання, поділ, множення та інші.
  

Більше цікавого про код — у нашому телеграм-каналі. Підписуйтесь!

Читайте також: