Що таке конус у геометрії? Визначення, формули, приклад задачі

Знання властивостей геометричних фігур дозволяє як вирішувати теоретичні завдання, але й виконувати різні практично важливі розрахунки. Однією з таких фігур, властивості якої будуть розглянуті у цій статті, є конус. Що таке конус, які види його бувають, як знайти його площу та обсяг? Нижче висвітлюються докладно всі ці питання.

Загальне визначення конуса у геометрії

Стереометрія, яка займається вивченням характеристик фігур у тривимірному просторі, пропонує наступну відповідь на питання, що таке конус: це фігура, поверхня якої утворена сукупністю прямих відрізків, що з'єднують певну точку простору з певною кривою на площині. Зазначена точка простору називається вершиною конуса, прямі відрізки - це генератрис фігури або її утворюють, а сама крива на площині - це директриса (напрямна). Під назва визначення підходить цілий клас фігур, найвідомішими з яких є круглий, еліптичний, параболічний і гіперболічний конуси. Еліптична фігура показана нижче на малюнку.

Директриса цього конуса є замкнутим еліпсом, який обмежує основу фігури. Генератриси будь-якого конуса всі разом утворюють конічну поверхню, яка називається бічною. Ці дві поверхні (основа та бічна) обмежують просторовий об'єм, який прийнято називати об'ємом конуса.

Круглий прямий конус – фігура обертання

Еліптичний конус, зображений на малюнку вище, не можна отримати в результаті обертання будь-якої плоскої фігури.Єдиним представником класу конусів, який можна утворити обертанням, є круглий прямий конус. Ця фігура показана нижче.

Видно, що її основа є ідеальним коло. Більш того, будь-який переріз бічної поверхні площиною, паралельною основі, також буде колом, але з меншим діаметром, ніж фігура в основі. Помаранчевий трикутник ABC, виділений усередині конуса, прямокутний. Видно, що його катет AC є радіусом основи r. Катет AB – це висота фігури h. За побудовою зрозуміло, що висота є довжиною перпендикуляра, проведеного з вершини фігури до площини основи (кола). Ця висота перетинає коло у його центрі. Остання означає, що конус є прямим. Нарешті, гіпотенуза трикутника BC є нічим іншим, як генератрисою конуса. Щоб за допомогою описаного трикутника утворити конус необхідно обертати його навколо сторони AB. Для наочного уявлення різниці між прямим та похилим конусами наведемо відповідний малюнок.

Відмінність між двома фігурами очевидна: якщо їхні основи є однаковими, то опущені з вершини висоти перетинають основи у різних точках. Перша фігура є прямою, друга – похилою.

Лінійні параметри круглого прямого конуса та кут при основі

Для однозначного завдання конуса ці три параметри є надмірними, тобто розглянуту фігуру можна побудувати та розрахувати всі її властивості, знаючи лише два з трьох названих параметрів. Залучаючи розглянуту схему отримання конуса за допомогою обертання прямокутного трикутника, можна записати наступне співвідношення між генератрисою, радіусом та висотою конуса:

Ця рівність є очевидною і не вимагає доказу (слід згадати про теорему Піфагора).

Задати конус можна не тільки за допомогою прямих відрізків r, h і g, але також використовуючи кутову міру між будь-якою з генератрис фігури та площиною основи. Позначимо цей кут буквою? Користуючись визначенням тригонометричних функцій, можна записати ряд формул, в яких кут φ пов'язує лінійні параметри. Запишемо основні з них:

Площа поверхні фігури

Розглядаючи питання, що таке конус, наведемо формулу, що дозволяє визначити площу його повної поверхні. Щоб зрозуміліше було, про що йтиметься, наведемо розгортку на площину розглянутої фігури.

Розгортка конуса на площині є дві фігури. Коло – це основа конуса, круговий сектор радіусом g – це бічна поверхня. Круговий сектор легко одержати, якщо взяти паперову конічну поверхню і розрізати її уздовж будь-якої генератриси g. Розгорнувши цю поверхню, ми отримаємо шуканий сектор.

Визначення площі So кола не становить проблем. Відповідний вираз наведено нижче:

Щодо кругового сектора, то необхідні його параметри для розрахунку площі Sb також відомі: радіус g і довжина дуги, що відповідає довжині кола розглянутого вище кола. Формула для розрахунку площі бічної поверхні конуса Sb має вигляд:

Таким чином, загальна площа фігури дорівнює:

Формула для обсягу

Знаючи, що таке круглий конус прямий, неважко записати формулу для його обсягу. Оскільки розглянуту фігуру можна вважати пірамідою з нескінченним числом бічних ребер, то для неї, як для будь-якої піраміди, можна обчислити за формулою:

Значення площі So ми вже наводили вище, тому формулою для обсягу прямого конуса з круглою основою буде наступна:

Розв'язання геометричної задачі

Відомо, що значення площі поверхні круглого конуса прямого дорівнює 300 см². Необхідно визначити радіус конуса, знаючи, що його генератриса дорівнює 15 см.

Запишемо рівність для площі та підставимо значення g = 15 см та S = 300 см², отримаємо:

Розділимо ліву та праву частини на число pi, отримаємо наступне квадратне рівняння:

Вирішуємо це рівняння через дискримінант, отримуємо:

Негативний корінь відповідає умові завдання, тому можна записати відповідь: заданий конус має радіус 4,82 див.