Як легко пояснити теорему Піфагора

Що потрібно знати про теорему Піфагора – основні відомості

Теорема Піфагора є однією з ключових теорем евклідової геометрії. З її допомогою було встановлено просте відношення між сторонами прямокутного трикутника. Таким чином, довжини катетів, зведені у квадрат, у сумі дають квадрат довжини гіпотенузи, що можна використовувати при їх знаходженні.

Це співвідношення за припущенням вчених було знанням різних цивілізацій давнини, що існували в часи до н. Вважається, що першим довів теорему з геометричного погляду Піфагор. Це цікаве твердження сформульовано у Пропозиції 47 у «Початках» Евкліда.

Геометрична інтерпретація теореми Піфагори свідчить про те, що площа квадрата зображеного на гіпотенузі обчислюється як сума площ, якими характеризуються квадрати, що лежать на катетах.

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Справедливим є і зворотне твердження, згідно з яким у прямокутному трикутнику довжини пари сторін, зведені у квадрат, у сумі дають квадрат довжини третьої сторони.

Передбачено об'ємні узагальнення записаної теореми з поясненнями у випадках із довільними трикутниками та фігурами, що розглядаються у просторах вищих розмірностей. У неевклідових геометріях теорема Піфагора не застосовується.

Походження концепції теореми Піфагори пов'язують із давнім Єгиптом і Вавилоном (приблизно 1900 до нашої ери).Зображення на вавілонській табличці віком близько 4 тисяч років, виготовленої з глини, відображає зв'язок між катетами та гіпотенузою у прямокутному трикутнику. З іншого боку, це твердження набуло поширення в результаті висловлювань Піфагора (6 століття до нашої ери).

Формулювання теореми

Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику гіпотенуза у квадраті визначається, як квадрати катетів у сумі, тобто:

Цю теорему можна довести з погляду алгебри. Зобразимо умови малюнку:

Сторони утворюють квадрат, як видно на кресленні. Результат вийшов шляхом побудови чотирьох ідентичних трикутників abc. Зауважимо, що кожна зі сторін квадрата в довжину становить:

Обчислимо площу квадрата:

Площа мінімального квадрата, розташованого у внутрішній ділянці дорівнює \(c^\) . Будь-який із зображених трикутників має площу \(\frac\) . Таким чином, сумарна площа трикутників дорівнює:

Найменший із двох квадратів і трикутники за площею рівні:

Знаючи, що площа більшого квадрата складається з площ маленького квадрата та всіх трикутників, запишемо наступне співвідношення:

Існує ще один доказ теореми Піфагора, яка звучатиме, як: «Піфагорові штани на всі боки рівні».

На малюнку грає роль гіпотенузи, а катети позначені за a і b. Опустимо перпендикуляр до гіпотенузи та назвемо його с.

В результаті вдалося побудувати два трикутники (А і В), які є прямокутними, які розташовані у внутрішньому просторі великого трикутника С. Тоді за фактом його площа складається з площ двох нових трикутників:

Далі спробуємо розділити «Піфагорові штани» та створити 3 аналогічні фігури.

Зауважимо подібність трьох трикутників, що дозволяє вважати подібними отримані фігури у вигляді будиночків. Таким чином, співвідношення площі A і \(a^\) буде однаковим з площею \(B\) і \(b^\) , а також з площею \(C\) і \(c^\) :

Площа будь-якого з трикутників можна обчислити за допомогою площі кожного із квадратів:

\(\beta \cdot с^ = \beta \cdot a^ + \beta \cdot b^\)

Докази теореми

Розглянемо спосіб доказу теореми Піфагори за допомогою трикутників, які є подібними. У процесі слід орієнтуватись на наступний малюнок:

Трикутник \(\triangle ABC\) є прямокутним, оскільки має прямий кут. Позначимо його вершину за С, а сторони назвемо, як a, b, c. Ці сторони розташовані протилежно до вершин трикутника A,B,C відповідно.

Проведемо висоту CH. Керуючись ознакою подібності трикутників, запишемо:

\(\triangle ABC\sim \triangle ACH\)

\(\triangle ABC\sim \triangle CBH\)

В результаті отримаємо:

Якщо знайти добуток крайніх елементів пропорцій, то вийде таке співвідношення:

Далі доцільно скласти компоненти:

Отже, теорема доведена.

На підтвердження теореми Піфагора застосуємо спосіб площ. Цей спосіб характеризується високим ступенем складності. Розберемо основні прийоми доказів.

Розглянемо доказ з урахуванням равнодополняемости. Для цього слід скористатися наступною схемою:

В даному випадку пропонується дослідити 4 аналоги трикутника, який є прямокутним, має катети a,b та гіпотенузу c. Сторони зображені так, що утворюється квадрат, сторона якого дорівнює a+b.

У внутрішньому просторі можна розпізнати чотирикутник із стороною с.Це квадрат, тому що в сумі гострих кутів, що протилежать прямому куту, дає 90 градусів, а міра розгорнутого кута становить 180 градусів.

Площа великого квадрата:

Площа внутрішнього квадрата \(c^\) , а площа кожного з трикутників дорівнює:

При алгебраїчному перетворенні слід затвердження теореми.

Доказ Евкліда побудовано на підтвердженні конгруентності \(\triangle ACK\cong \triangle ABD\) з площами, що відповідають половині площі прямокутників \(AHJK\) та \(ACED\).

Традиційний доказ Евкліда дає змогу встановити, що площі між прямокутниками рівні. Дані прямокутники отримані в результаті розподілу квадрата над гіпотенузою за допомогою висоти, проведеної з прямого кута. Згідно з описаною на малюнку схемою можна встановити, що площа квадрата над гіпотенузою, який утворений прямокутниками \(AHJK\) і \(BHJI\), обчислюється як сума площ квадратів над катетами.

Доказ Леонардо да Вінчі зображено схематично на малюнку:

Доказ Леонардо да Вінчі побудовано підтвердження конгруентності чотирикутників CAJI і DABG. Дані фігури мають площі, які можна визначити шляхом складання половин площ квадратів на катетах і площі початкового трикутника. Такий же результат виходить, якщо до половини площі квадрата на гіпотенузі додати значення площі, яку має початковий трикутник. В результаті половина суми площ квадратів над катетами відповідає половині площі квадрата над гіпотенузою, що є твердженням, що дорівнює геометричному формулюванню теореми Піфагора.

Схема доказу методом нескінченних малих:

Відомо кілька способів підтвердження теорем за допомогою диференціальних рівностей. Наприклад, вважається, що Харді вдалося довести теорему Піфагора, застосовуючи нескінченно малі прирощення катетів а та b, а також гіпотенузи c.

Приріст катета da, якщо незмінним залишається катет b, супроводжується збільшенням гіпотенузи dc, що можна записати наступним чином:

Шляхом поділу невідомих доцільно сформулювати таке диференціальне рівняння:

В результаті інтегрування записаної рівності отримаємо:

Таким чином, константа дорівнює:

У результаті теорема підтверджена.

Варіації та узагальнення

Розглянемо узагальнення теореми Піфагора для геометричних фігур, які є подібними на трьох сторонах. Наприклад, малюнку площі зафарбованих зеленим кольором фігур у сумі дають площу фігури, виділеної синім цветом:

Теорема Піфагора з використанням подібних прямокутних трикутників:

Узагальнення теореми Піфагора з погляду геометрії представлено Евклідом у «Початках». Згідно з твердженням, площі фігур, які зображені на катетах, у сумі дають площу подібної до них фігури, яка розташована на гіпотенузі. Сенс узагальнення полягає у пропорційності площі подібної фігури квадрату будь-якого власного лінійного розміру і зокрема квадрату довжини якоїсь із сторін. Таким чином:

Зауважимо, що згідно з теоремою Піфагора, справедливе таке співвідношення:

Наступним узагальненням є теорема косінусів. Відомо, що теорема Піфагора є її окремим випадком. За допомогою цього узагальнення встановлено зв'язок між довжинами сторін у трикутнику, який є довільним. Таким чином:

Тут \(\theta\) позначає кут, розташований між сторонами а та b.

У тому випадку, коли градусний захід кута становить 90°, \(\cos \theta\) набуває нульового значення, що дозволяє спростити співвідношення до класичної теореми Піфагора.

Узагальнення, яке встановив Сабіт ібн Курра, продемонстровано на малюнку:

У нижній частині зображені подібні трикутники \(\triangle DBA\) і \(\triangle ABC\).

Відомо про існування узагальнення теореми Піфагора на довільний трикутник, в основі якого лежить відношення довжин сторін цієї геометричної фігури. кути при підставі аналогічні куту \(\theta\) , який розташований навпроти сторони c. Порівняння двох трикутників, які подібні до першого, дозволяє вивести наступне співвідношення:

Даний вираз можна перетворити на теорему Піфагора за умови, що \(\theta =\pi /2\) .

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора має прикладне значення. У першу чергу варто відзначити застосування розглянутої закономірності для вимірювання відстані, на яку видалено дві точки, що знаходяться в прямокутній системі координат:

Тут s є відстанню, а точки мають наступні координати (a, b) та (c, d).

Теорема Піфагора застосовна, коли потрібно розв'язати задачу на визначення модуля комплексного числа.

За допомогою теореми Піфагора зручно знаходити відстань, на яку видалені деякі комплексні числа \(z_=x_+y_i\) і \(z_=x_+y_i\) . У цьому випадку доцільно застосувати таку формулу:

Стосовно пари точок, розташованих у площині Лобачевського, теорема Піфагора дозволить знайти відстань між ними таким чином:

У цьому випадку R означає радіус кривизни площини Лобачевського, ch є позначенням гіперболічного косинуса.

Застосування теореми Піфагора в Евклідовій метрикt дозволяє визначити віддаленість точок \(p=(p_,\dots ,p_)\) і \(q=(q_,\dots ,q_)\) один від одного в n-мірному просторі за допомогою формули :

де d(p,q) позначає відстань між точками, що розглядаються.

Розглянемо, як теорема Піфагора застосовується теоретично чисел. Піфагорової трійкою називають сукупність їх трьох натуральних чисел (\(x,\;y,\;z\)). Дані числа можна прийняти за значення довжин сторін, з яких складається прямокутний трикутник. Таким чином, це натуральні числа, що відповідають діофантовим співвідношенням:

Піфагорові трійки мають велике значення для зрозумілого формулювання та перевірки теорії чисел. За допомогою їх результативного визначення утворено великий обсяг робіт, виконаних у різні часи, починаючи з давніх-давен. Подання Великої теореми Ферма є аналогічним завданням обчислення піфагорових трійок для ступеня понад 2.

Лише одна піфагорова трійка, до складу якої входять три послідовні числа поспіль, має вигляд 3, 4, 5:

Приклади розв'язання задач

Трикутник АВС має такі параметри:

Потрібно порахувати, чому дорівнює висота (СН) .

Зауважимо, що катет, розташований навпроти кута в (30^circ), становить половину від гіпотенузи. У такому разі:

Запишемо властивість прямокутного трикутника:

\(\angle BCH=\angle A=30^\circ\)

\(\triangle BCH: HB=0,5 BC=\sqrt3:2.\)

Скористаємося теоремою Піфагора:

Трикутник АВС характеризується такими параметрами:

\(CH\) позначає висоту

Необхідно визначити АН за умови, що (АВ = 2.)

Зауважимо, що катет, розташований навпроти кута в (30^circ), становить половину від гіпотенузи. У такому разі:

Скористаємося теоремою Піфагора:

\(\triangle AHC: HC=0,5AC=\sqrt3:2\)

Заданий якийсь трикутник АВС, у якому градусна міра кута С становить \(90^\circ\) , СН позначає висоту, градусна міра кута А становить \(30^\circ\) . Потрібно обчислити ВН за умови, що АВ = 4.

Зауважимо, що катет, розташований навпроти кута в (30^circ), становить половину від гіпотенузи. У такому разі:

Скористайтеся властивістю прямокутного трикутника:

\(\angle BCH=\angle A=30^\circ\)

\(\triangle BCH: HB=0,5 BC=1\)

Є певний трикутник АВС, у якому (AB=BC=AC=2sqrt3) . Необхідно обчислити висоту СН.

У такому випадку, СН є медіаною. В результаті:

Скористаємося теоремою Піфагора:

Трикутник АВС є рівностороннім. Висота \ (СН = 2 \ sqrt3 \) . Потрібно визначити АВ.

У такому випадку, СН є медіаною. В результаті рішення виглядатиме таким чином:

Скористаємося теоремою Піфагора, яка свідчить про наступне:

\(\triangle ACH: AC^2=AH^2+CH^2\quad\Rightarrow\quad 4a^2=a^2+12\quad\Rightarrow\quad a=2\quad\Rightarrow\quad AB=2a =4\)

Є певний трикутник АВС, у якому АС дорівнює ВС. Висота АН відповідає 4, градусна міра кута С становить (30 ^ \ circ \) . Потрібно визначити ЗС.

У прямокутному трикутнику \(\triangle ACH\) катет, який розташований навпроти кута \(30^\circ\) відповідає половині гіпотенузи. В результаті вірним є такий варіант:

Трикутник АВС характеризується такими параметрами:

Необхідно визначити, чому дорівнює висота АН.

У прямокутному трикутнику \(\triangle ACH\) :

Катет, розташований навпроти кута \(30^\circ\) , відповідає половині гіпотенузи, тому:

Скористаємося теоремою Піфагора:

Трикутник АВС характеризується такими параметрами:

Необхідно дізнатися про величину АС.

Проаналізуємо прямокутний \(\triangle AHB\) :

Катет, розташований навпроти кута \(30^\circ\) , відповідає половині гіпотенузи, тому:

У прямокутному \(\triangle ACH\) :

Скористаємося теоремою Піфагора:

\(AC^2=HC^2+HA^2\quad\Rightarrow\quad AC^2=\dfrac4+3\quad\Rightarrow\quad AC=2\)