Як довести властивість паралельних прямих

Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Ця властивість називається транзитивністю паралельності прямих.

Нехай прямі і одночасно паралельні прямий. Припустимо, що не паралельна, тоді пряма перетинається з прямою в деякій точці, що не лежить на прямій за умовою. Отже, ми маємо дві прямі і , що проходять через точку , що не лежить на даній прямій і одночасно паралельні їй. Це суперечить аксіомі 3.1. Теорему доведено.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.

Нехай ця пряма, - точка, що не лежить на ній. Пряма розбиває площину на дві напівплощини. Крапка лежить в одній із них. Відповідно до аксіоми 3.2 можна від променя відкласти кут, рівний куту, в іншу напівплощину. і – рівні внутрішні навхрест що лежать при прямих і січених тоді в силу теореми 3.1. З урахуванням аксіоми 3.1, теорема доведена.

Властивість паралельних прямих визначається наступною теоремою, зворотною до теореми 3.1.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то внутрішні навхрест лежачі кути рівні.

Нехай. Припустимо, що . Через точку проведемо пряму так, що . Але тоді за теоремою 3.1, а за умовою – . Відповідно до теореми 3.2. Це суперечить теоремі 3.3, через яку через точку , що не лежить на прямій , можна провести єдину пряму, паралельну їй. Теорему доведено.

З цієї теореми легко обгрунтовуються такі характеристики.

• Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то відповідні кути рівні.
• Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює .

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.

Поняття паралельності дозволяє запровадити наступне нове поняття, яке надалі знадобиться в 11-му розділі.

Два промені називаються однаково спрямованими, якщо існує така пряма, що, по-перше, вони перпендикулярні до цієї прямої, по-друге, промені лежать в одній напівплощині щодо цієї прямої.

Два промені називаються протилежно спрямованими, якщо кожен із них однаково спрямований з променем, додатковим до іншого.

Одноманітно спрямовані промені і позначатимемо: а протилежно спрямовані промені і –

Визначення паралельних прямих у просторі

Прямі в просторі можуть бути паралельними, перетинатися або схрещуватися. Ми розглянемо першу властивість.

Вперше теорію про паралельність науково обґрунтував грецький вчений Евклід у своїй роботі під назвою «Початку».

Паралельні прямі у просторі - Прямі, що лежать в одній площині і не мають перетинів один з одним.

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Позначення паралельних прямих

Самі прямі позначаються латинськими літерами. Наприклад, l та k. Паралельність позначається символом: |

Теорема про паралельні прямі, формулювання

Якщо будь-яка точка в просторі не розташована на прямій, то через неї проводиться лише одна пряма, яка буде паралельна аналізованої.

Докази закону подаємо у заключному розділі статті.

Типи кутів при паралельних прямих

Коли пряма перетинає дві інші паралельні прямі один одному, утворюється вісім кутів. У геометрії вони мають свої назви та властивості. Для подальшого аналізу теми цієї статті достатньо розібратися в трьох видах. Далі при розгляді кожного виду окремо орієнтуйтеся на малюнок нижче:

Односторонні

На малюнку вище це ∠1 та ∠6, а також ∠4 та ∠7. Вони розташовані з одного боку щодо прямих.

Відповідні

Кути 2 і 6, 3 і 7, 1 і 5, 4 і 8. Їх розташування відрізняється тим, що вони ніби розділені між собою однією з прямих.

Нахрест лежать

На цьому малюнку це ∠3 і ∠5, ∠2 і ∠8, ∠1 і ∠7, ∠4 та ∠6. Їх розташування легко запам'ятати, оскільки вони розміщуються за принципом «хрест-навхрест».

Умови паралельності

Щоб довести паралельність прямих, потрібно знати ознаки, якими вона визначається. Достатньо дотримання хоча б однієї з нижченаведених умов.

Нахрест кути, що лежать, рівні

Дано: \(a\;\vert\vert b\) , AB є січною, кути 1 і 2 - навхрест лежачими.

Довести: рівність ∠1 та ∠2.

Доказ: припустимо, що ∠1 та ∠2 не рівні. Тоді проведемо кут PAB, причому він буде накрестлежащим з ∠2.

Нахрест кути, що лежать, рівні. З цього випливає, що AP(vert/vert) b. Але це неможливо, тому що через точку a може проходити лише одна пряма, згідно з аксіомою, а у нас вийшло дві — b і A. Тому наше припущення неправильне і ∠1=∠2. Ч.т.д.

Відповідні кути рівні

∠1 та ∠2 є відповідними.

MN \(\vert\vert\) AD. Довести, що \( \angle NMC=\angle BAD\) .

Рішення: \(\angle NMC=\angle DAC\) (як соотв.), А \(\angle DAC=\angle BAD\) (AD - бісектриса). Отже, \(\angle NMC=\angle BAD\) .

Сума односторонніх кутів дорівнює 180 градусів

Сума ∠1 та ∠2 дорівнює 180º

a \(\vert\vert\) b, тому ∠1=∠3 (співвід.). ∠2+∠3=180º (суміж.). Тому при додаванні отримуємо 180º.

Якщо обидві прямі паралельні третій

Цю ознаку називають також теоремою про три паралельні прямі на площині. Якщо a (vert vert) b і c (vert vert b), то a (vert vert) c.

Є a(vert/vert) b. Припустимо, що існує ще c(vert/vert) a. Відповідно до умови, a не перетинає b і навпаки.

У тривимірному просторі прямі, паралельні третій, паралельні один з одним

Тут те саме, що у попередньому пункті: у разі, коли a і c ||, а b і c також ||, то a і b теж ||.

Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні

Позначення перпендикулярних до прямих: ⊥

На картинці видно, що a (perp) c і b (perp) c. Звідси, згідно з цією ознакою-теореми, випливає, що a(vert/vert) b.

Припустимо, що a (perp) c і b (perp) c, але a не (vert vert; b) b. Тоді a та b перетинаються в якійсь точці. Розглянемо трикутник ABC. Сума його кутів дорівнюватиме 180º+∠C. Але так не може бути. Отже, наше припущення неправильне, і a(vert/vert) b.

Доказ паралельності прямих

Нижче наведено доказ теореми з першого розділу статті.

1. Є a (пряма) та М (точка, далі - т.). Вона не належить a. Через них проходить площину альфа (\(\alpha\)). Відомо, вона єдина. Пряма b проходить через Т.М і (vert vert;) а. Вона існує, що доводить аксіома про \(\;\vert\vert.\)
2. Припустимо, що існує пряма с, яка теж проходить через т.м, причому c(vert/vert) a. І тут знадобиться інша площину \(\beta\) , така, щоб пройшла через т.м. Таке неможливе, бо є теорема, яка каже, що площина лише одна.Значить це та сама площину ( \(\alpha\) збіглася з \(\beta\) ) і та сама пряма (b збіглася з c). Єдиність прямої доведена.

Рівняння паралельної прямої

Якщо відомо, що пряма проходить через якусь точку з координатами і паралельна іншій прямій y=kx+a, її рівняння можна знайти за формулою:

де k - Кутовий коефіцієнт.

Властивості паралельних прямих

Властивості паралельних прямих часто зустрічаються при вирішенні завдань і доказів теорем. Довільні прямі – рідкість, але є такі постаті, як квадрат чи паралелограм, де паралельні прямі можуть стати основою завдання, а знання властивостей паралельних прямих вирішити такі завдання неможливо.

Що таке властивості паралельних прямих

Спочатку виділимо визначення, які потрібно знати вивчення властивостей паралельних прямих.

Паралельні прямі це прямі, які мають спільних точок, чи прямі, які перетинаються і лежать у одній площині.

Перетин означає, що два об'єкти мають спільну точку або набір точок. Тому, коли в геометрії кажуть, що прямі мають загальну точку, мають на увазі, що вони перетинаються.

При перетині двох прямих січної, утворюються навхрест лежачі, відповідні та односторонні кути.

Існує аксіома паралельних прямих, яка є вкрай важливою при доказі деяких властивостей і є основною властивістю паралельних прямих. Аксіома говорить, що через точку на площині можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Дві групи властивостей паралельних прямих

Властивостей у паралельних прямих всього 5, але вони поділяються на великі групи: наслідки з аксіоми паралельних прямих і наслідки з ознак паралельності прямих. Почнемо із першої групи.

Наслідки з аксіоми паралельних прямих

Наслідок 1

Якщо одна з двох паралельних прямих, паралельна до третьої, то й інша пряма їй паралельна.

Здається, що це логічно і не потребує доказів. Але в геометрії кількість тверджень, що не потребують обґрунтування, вкрай мало, і кожне з них зветься аксіомою.

Аксіоми були виведені ще на зорі геометрії і з того часу мало що змінилося. Більшість сучасних теорем виведено виходячи з аксіом Стародавню Грецію. Ці твердження єдині, що у математиці вимагає докази.

Проведемо дві паралельні прямі а та b. Пряма з паралельна до прямої а. Припустимо, що при цьому не паралельна прямий b. Тоді в неї має бути якась точка перетину К. Тобто через точку К проходить дві прямі с і b. При цьому кожна з цих прямих має бути паралельна до прямої а.

Тобто, через одну точку на площині проведено дві прямі, паралельні даній. Це неможливо, тому що суперечить аксіомі паралельних прямих. Значить початкове припущення було неправильним і прямі з b паралельні.

Мал. 1. Ілюстрація слідства.

Наслідок 2

Наслідок 2 дуже важливий, оскільки говорить про січну двох паралельних прямих. Властивість говорить: якщо пряма перетинає одну з паралельних прямих, вона перетне і другу.

Доказ також ведеться шляхом протилежного. Проведемо дві прямі: а та b. Припустимо, що пряма з перетинає пряму а, але не перетинає пряму b. Тоді прямі c та b паралельні. При цьому з перетинає а, тобто у цих прямих є загальна точка.

Тоді через точку К проходить пряма а і пряма, але кожна з них паралельна b.Отже, через одну точку проходить дві прямі паралельні прямі b, а це неможливо за аксіомою паралельних прямих. Значить початкове припущення було неправильним і пряма з перетинає кожну з прямих а і b, що потрібно було довести.

Мал. 2. Малюнок доказу.

Наслідки з ознак паралельності

Цю групу запам'ятати найпростіше. Властивостей паралельності прямих всього 3 і кожному їх відповідає своє слідство.

• Прямі паралельні, якщо навхрест лежачі кути при січній рівні. Слідство цілком логічно: Нахрест кути, що лежать, при двох паралельних прямих і січній рівні.
• Прямі паралельні, якщо відповідні кути рівні. Наслідок: відповідні кути при паралельних прямих і січній рівні.
• Прямі паралельні, якщо сума односторонніх кутів дорівнює 180. Наслідок: сума односторонніх кутів при паралельних прямих і січній дорівнюють

Що ми дізналися?

Ми дали поняття паралельним прямим, виділили дві великі групи властивостей паралельних прямих та довели дві властивості. Розібралися з використанням аксіоми паралельних прямих за доказом теорем у геометрії.