Формули з корінням: як робити операції

Визначення арифметичного квадратного кореня ясності не додає, але заучити його варто:

Арифметичним квадратним коренем із невід'ємного числа a називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Визначення квадратного кореня також можна подати у вигляді формул:

З визначення випливає, що a може бути негативним числом. Тобто те, що стоїть під коренем, обов'язково позитивне число.

Щоб розібратися, чому саме так і ніяк інакше, розглянемо приклад.

Спробуємо знайти корінь із √-16

Тут логічно припустити, що 4, але перевіримо: 4*4 = 16 — не сходиться.

Якщо - 4, то -4 * -4 = 16 (мінус на мінус завжди дає плюс).

Виходить, що жодне число не може дати негативного результату при зведенні його в квадрат.

Числа, що стоять під знаком кореня, мають бути позитивними.

З визначення, значення кореня також має бути негативним.

Тут можуть виникнути резонні питання, чому, наприклад, у прикладі x2 = 16, x = 4 та x = -4.

Різниця між квадратним коренем та арифметичним квадратним рівнянням

Насамперед, щоб розмежувати ці два поняття, запам'ятайте:

Це два нетотожні один одному вирази.

• x2 = 16 – це квадратне рівняння.
• x = √ 16 - арифметичний квадратний корінь.

З виразу x2 = 16 випливає, що:

|х| = √16, це означає, що x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Якщо дві вертикальні палички біля x вводять вас у замішання, почитайте нашу статтю про модуль числа.

У той самий час, з виразу x = √16 випливає, що x = 4.

Якщо ситуація все ще здається заплутаною та нелогічною, просто запам'ятайте, що негативне число може бути рішенням лише у квадратному рівнянні. Якщо у рішенні «мінус» є два варіанти:

Якщо ви отримуєте квадратний корінь з числа, то можете бути впевнені, на вас чекає «позитивний» результат.

Розгляньмо приклад, щоб остаточно з'ясувати різницю між квадратним коренем і квадратним рівнянням.

Перший вираз - квадратне рівняння.

Друге вираження - арифметичний квадратний корінь.

Ми бачимо, що результатом рішення першого виразу стали два числа – негативне та позитивне. А в другому випадку – лише позитивне.

Запис ірраціональних чисел за допомогою квадратного кореня

Ірраціональне число - це число, яке не можна уявити у вигляді звичайного дробу.

Найчастіше ірраціональні числа можна зустріти у вигляді коренів, логарифмів, ступенів і т.д.

Приклади ірраціональних чисел:

Щоб спростити запис ірраціональних чисел, математики запровадили поняття квадратного кореня. Давайте розберемо кілька прикладів, щоб побачити квадратний корінь у справі.

Дано рівняння: x2 = 2.

Відразу зіштовхуємось із проблемою, оскільки очевидно, що жодне ціле число не підходить.

Переберемо числа, щоб упевнитися в цьому:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Негативні числа дають такий самий результат. Значить результатом рішення неможливо знайти цілі числа.

Рішення таке:
Будуємо графік функції y = x2.
Зазначаємо рішення на графіку: -√2; √2.

Якщо спробувати витягти квадратний корінь із 2 за допомогою калькулятора, то результат буде наступний: √2 = 1,414213… .

У такому вигляді відповіді не записують – треба залишити квадратний корінь.
x2 = 2.
x = √2
x = -√2.

Вилучення коренів

Вирішувати приклади з квадратним корінням набагато легше, якщо запам'ятати якнайбільше квадратів чисел.Для цього скористайтеся таблицею - збережіть її собі та використовуйте для вирішення завдань.

Ось кілька прикладів вилучення коренів, щоб навчитися користуватися таблицею:

Шукаємо в таблиці число 289, рухаємося від нього вліво та вгору, щоб визначити цифри, що утворюють потрібне нам число.

Шукаємо у таблиці число 3025.
Ліворуч - 5, вгору - 5.

Шукаємо у таблиці число 7396.

Шукаємо у таблиці число 9025.

Шукаємо у таблиці число 1600.

Вилученням кореня називається знаходження його значення.

Властивості арифметичного квадратного кореня

У арифметичного квадратного кореня є 3 властивості - їх потрібно запам'ятати, щоб простіше вирішувати приклади.

• Корінь твору дорівнює добутку коріння
  
• Вийняти корінь із дробу — це витягти корінь із чисельника та із знаменника
  
• Щоб звести корінь у ступінь, потрібно звести у ступінь значення під коренем
  

Давайте потренуємося і вирішуємо приклади на всі три операції з корінням. Не забувайте звертатись до таблиці квадратів. Спробуйте вирішити приклади самостійно, а для перевірки звертайтеся до відповідей.

Квадратний корінь як елементарна функція

Квадратний корінь – це елементарна функція та окремий випадок статечної функції
при
. Арифметичний квадратний корінь є гладким при
, а нулі він безперервний праворуч, але з диференціюється (відмінне властивість коренів).

Як функція комплексний змінний корінь – двозначна функція, у якої листи сходяться на нулі.

Властивість кореня як функції

На [0; +∞) можна поставити кожному числу х у відповідність однину корінь n-ступеня з x при будь-якому значенні n.

Тобто це означає, що на множині [0; +∞) можна говорити про функцію кореня:

Тепер визначимо властивості функції кореня та побудуємо її графік.

Основні властивості кореня як функції:

Проміжок [0; +∞) – є областю визначення.

Оскільки невід'ємне число є коренем n-ступеня з невід'ємного числа, отже проміжок [0; +∞) буде областю значення функції.

Оскільки симетричною множиною не є область визначення функції, тому дана функція не є ні непарною, ні парною.

Операція із вилучення кореня вводилася як зворотна операція зведення у відповідний ступінь.

Отже можна стверджувати, що:

Тепер можна збудувати графік функції кореня.

Користуючись графіком, можна записати властивості функції, що залишилися.

На проміжку [0; +∞) функція зростає.

Зверху функція не обмежена, але вона обмежена знизу, наприклад, пряма у, яка = -0,5.

На всій області визначення функція опукла вгору.

Функція найменшим значенням буде 0, а найбільшого значення вона не має.

Якщо кожної з точок деякого проміжку функція диференційована, це означає, що у даному проміжку вона безперервна.

У будь-якій точці проміжку [0; +∞) існує ця похідна, винятком є ​​лише точка 0.

Оскільки у будь-якій точці проміжку (0; +∞) функція має похідну, значить на проміжку (0; +∞) функція диференційована.

Правила складання та віднімання квадратних коренів

Такі дії, як додавання і віднімання квадратного кореня, можливі лише за умови однакового підкореного виразу.

Можна скласти або відняти вирази 23 і 63, але не 56 і 94. ​​Якщо є можливість спростити вираз і привести його до коріння з однаковим підкореним числом, спрощуйте, а потім складайте або віднімайте.

Розмноження арифметичних коренів

Для множення арифметичного коріння використовуйте формулу:

Уважно подивіться друге вираз і запам'ятайте, як записуються такі приклади.

Якщо немає можливості витягти коріння з чисел, то робимо так:

Якщо множників більше двох, то вирішується приблизно так, як і з двома множниками:

Щоб вирішувати приклади швидше, не забувайте користуватися таблицею квадратів.

Метод множення показників із множниками

Помножити множники. Множник — число, яке стоїть перед знаком кореня. У разі відсутності множника він, за замовчуванням, вважається одиницею. Далі необхідно перемножити множники:

Приклад 1: 3 2 × 10 = 3? 3 × 1 = 3

Приклад 2: 4 3 × 3 6 = 12? 4 × 3 = 12

Помножити числа під знаком кореня. Як тільки ви перемножили множники, сміливо множте числа, що стоять під знаком кореня:

Приклад 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Приклад 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Спростити підкорене вираз. Далі слід спростити значення, що стоять під знаком кореня, - потрібно винести відповідні числа за знак кореня. Після цього необхідно перемножити числа та множники, які стоять перед знаком кореня:

Приклад 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Приклад 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Метод множення коренів без множників

Переконатися, що коріння однакові показники (ступеня). Згадаймо, що ступінь записується зліва над знаком кореня. Якщо немає позначення ступеня, це означає, що квадратний корінь, тобто. зі ступенем 2, і його можна множити на інше коріння зі ступенем 2.

Приклад 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Спростити підкорені вирази.Коли ми розмножуємо коріння один на одного, ми можемо спростити отриманий підкорений вираз до твору числа (або виразу) на повний квадрат або куб:

Приклад 1: 36=6. 36 - квадратний корінь із шести (6 × 6 = 36) .

Приклад 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Число 50 розкладаємо на твір 25 та 2 . Корінь з 25 - 5 тому виносимо 5 з-під знака кореня і спрощуємо вираз.

Приклад 3: 273 = 3 . Кубічний корінь із 27 дорівнює 3: 3 × 3 × 3 = 27 .

Розмноження коренів з однаковими показниками

Щоб перемножити коріння з однаковими показниками, потрібно залишити той самий показник кореня, а підкорені вирази перемножити.

√(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Розмноження коренів з різними показниками

Щоб перемножити коріння з різними показниками, потрібно спочатку привести коріння до загального показника, а потім перемножити отримане коріння з однаковим показником. Щоб помножити корінь на число, треба занести під знак кореня це число, зведене до ступеня з показником, як у кореня.

∛‎(729) × √(25) =
= √(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Розподіл арифметичних коренів

Для поділу арифметичного коріння використовуйте формулу:

Виконуючи поділ, не забувайте скорочувати множники. При розподілі арифметичних коренів використовуйте правила перетворення звичайних дробів.

Зведення арифметичних коренів у ступінь

Для зведення арифметичного кореня до ступеня використовуйте формулу:

Ці дві формули слід запам'ятати:

Внесення множника під знак кореня

Ви вже вмієте по-різному крутити і крутити квадратним корінням: множити, ділити, зводити в ступінь. Багатий арсенал, чи не так? Залишилося опанувати ще парою прийомів і можна без страху братися за будь-яке завдання.

А тепер розберемося, як вносити множник під знак кореня.

Число сім помножено на квадратний корінь із дев'яти.

Виймімо квадратний корінь і помножимо його на 7.

У цьому вираз число 7 - множник. Внесемо його під знак кореня.

Запам'ятайте, що вносити множник під кореневий знак обов'язково потрібно так, щоб значення вихідного виразу залишилося незмінним. Іншими словами, після наших маніпуляцій з коренем, значення виразу має, як і раніше, залишатися 21.

Ви пам'ятаєте, що (√a)2 = a

Тоді число 7 має бути зведене на другий ступінь. У цьому випадку значення виразу залишиться тим самим.

7√9 = √72* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесення множника під знак кореня:

Не можна вносити негативні числа під знак кореня.

Потренуємося вносити множники. Спробуйте вирішити приклади самостійно, звіряючись із відповідями.

Винесення множника з-під знака кореня

З тим, як вносити множник під корінь, ми, здається, розібралися. Але алгебра - така алгебра, тому тепер непогано б і винести множник з-під знаку кореня.

Дано вираз у вигляді квадратного кореня з добутку.

Ви вже напевно легко отримуєте квадратний корінь з чого завгодно, тому знаєте, що робити.

Виймаємо корінь із усіх наявних множників.

У цьому виразі квадратний корінь ми можемо витягти лише з 4, тому:

Таким чином, множник виноситься з-під знака кореня.

Давайте розберемо приклади. Спробуйте винести множники з-під знаку кореня самостійно, звіряючись із відповідями.

1. √28
   Розкладаємо підкорене вираз на множники 28 = 7*4.
   Виймаємо корінь із 4. Множник 7 залишаємо під знаком кореня.
   
2. 
   Відповідь: за правилом вилучення квадратного кореня з твору,

Винесемо в два останні вирази множник з-під знака кореня.

Помножуємо (-4*4) = -16. Решту виразу записуємо в незмінному вигляді.

Ми бачимо, що у всьому виразі є один загальний множник – √5.
Виносимо загальний множник за дужки:

Порівняння квадратного коріння

Ми майже досконало розібрали арифметичний квадратний корінь, навчилися множити, ділити та зводити його у ступінь. Тепер ви легко можете вносити множники під знак кореня і виносити їх звідти. Залишилося навчитися порівнювати коріння та стати непереможним теоретиком.

Отже, щоб зрозуміти, як порівняти два квадратні корені, потрібно запам'ятати пару правил.

Давайте розберемо з прикладу.

Порівняйте два вирази: √70 та 8√2

Насамперед перетворимо друге вираз: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

Чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.

Потренуйтеся у порівнянні коріння. Звіряєте свої результати із відповідями.

1. Порівняйте два вирази: √50 і 9√5
   Відповідь: перетворюємо вираз 9√5.
   9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405
   50 < 405
   Це означає, що √50 < 9√5.
2. Порівняйте два вирази: 6√5 та √18
   Відповідь: перетворюємо вираз 6√5.
   6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180
   180 > 18
   Це означає, що 6√5 > √18.
3. Порівняйте два вирази: 7√12 та √20
   Відповідь: перетворюємо вираз 7√12.
   7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588
   588 >20
   Це означає, що 7√12 > √20.

Як бачите, нічого складного в порівнянні арифметичних квадратних коренів немає.

Найголовніше — вивчити формули та звірятися з таблицею квадратів, якщо значення кореня надто великі для легкого обчислення в умі.

Не бійтеся скористатися допоміжними матеріалами. Математика просто створена для того, щоб оточити себе підказками та натяками.

Коли ви відчуєте, що вже досить натренувалися у вирішенні прикладів з квадратним корінням, можете дозволити собі час від часу вдаватися до онлайн-калькуляторів. Вони допоможуть вирішувати приклади швидше та бути ефективнішими.

Скорочення коріння

Величина ірраціонального виразу не зміниться, якщо показник кореня і підкореного виразу помножити або поділити на те саме число:

оскільки вилучення кореня і зведення в ступінь - це дії, що взаємно скорочуються, якщо їх показники рівні.

На цій властивості засновано скорочення коріння та приведення їх до загального показника.

Скорочення коренів - це розподіл показників кореня і підкореного числа (або вирази) на те саме число, якщо воно є загальним множником для всіх показників.

Вилучення квадратного кореня з великої кількості

Ви вже напевно познайомилися і потоваришували з таблицею квадратів. Вона ваша права рука. З її допомогою ви реактивно вирішуєте приклади і, можливо, навіть думаєте запам'ятати її напам'ять.

Але, як ви можете помітити, таблиця закінчується на числі 9801. А це, погодьтеся, не найбільше з тих, що можуть вам потрапити в прикладі.

Щоб витягти корінь із великої кількості, яка відсутня в таблиці квадратів, потрібно:

1. Визначити "сотні", між якими воно стоїть.
2. Визначити "десятки", між якими воно стоїть.
3. Визначити останню цифру у цьому числі.

Витягти корінь із великої кількості можна різними способами — ось один із них.

Виймемо корінь із √2116.

Наше завдання полягає в тому, щоб визначити між якими десятками стоїть число 2116.

Ми бачимо, що 2116 більше 1600, але менше 2500.

Це означає, що число 2116 знаходиться між 402 і 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запам'ятайте лайфхак по обчисленню всього у світі, що треба звести у квадрат.

Не секрет, що на останньому місці у будь-якій кількості може стояти лише одна цифра від 1 до 0.

Як користуватися таблицею

Ми знаємо, що число 41, зведене квадрат, дасть число, на кінці якого — цифра 1.

Число, 42, зведене квадрат, дасть число, на кінці якого — цифра 4.

Число 43, зведене квадрат, дасть число, на кінці якого — 9.

Така закономірність дозволяє нам без запису «перебрати» всі можливі варіанти, за винятком тих, які не дають потрібну нам цифру 6 на кінці.

Таким чином, у нас залишаються два варіанти: 442 та 462.

Далі обчислюємо: 44*44=1936.

Якщо такий спосіб здався не до кінця зрозумілим — можна витратити трохи більше часу та розкласти число на множники. Якщо вирішити все правильно, отримаємо такий самий результат.

Ще приклад. Виймемо корінь із числа √11664

Розкладемо число 11664 на множники:

Запишемо вираз у такому вигляді:

Витягти квадратний корінь з великої кількості набагато простіше за допомогою калькулятора. Але знати кілька таких способів «на екстрений випадок» точно не зашкодить. Наприклад, для контрольної чи ЄДІ.

Щоб закріпити всі теоретичні знання, давайте ще трохи повправляємось у вирішенні прикладів на арифметичні квадратні корені.

• Обчисліть значення квадратного кореня: √36
  
• Обчисліть значення квадратного кореня: √64*36
  
• Обчисліть значення квадратного кореня:
• Обчисліть значення квадратного кореня:
• Обчисліть значення квадратного кореня:
• Обчисліть значення виразу: 4√16 - 12
  
• Обчисліть значення виразу: 5√9 - 8
  
• Обчисліть значення виразу: 7√25 - 10
  
• Обчисліть значення квадратного кореня:
• Обчисліть значення квадратного рівняння:
• Обчисліть значення квадратного рівняння:
• Вийміть квадратний корінь із числа √7056 зручним для вас способом
  Як вирішуємо:

Знищення ірраціональності у знаменнику

Щоб позбутися ірраціональності в знаменнику, потрібно примножити на один і той же вираз чисельник і знаменник дробу, користуючись при необхідності формулами скороченого множення. Якщо в знаменнику дробу корінь числа — домножуємо на той самий корінь, і в знаменнику виявляється саме число.

Якщо в знаменнику дробу сума/різниця коренів двох чисел — примножуємо на різницю/суму цього коріння, і в знаменнику виявляється різниця самих чисел.

7 / [ √(7) — √(3) ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / [ 7 — 3 ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / 4

Якщо в знаменнику сума/різниця кубічних коренів двох чисел — домножуємо на неповний квадрат різниці/суми цього кубічного коріння. У знаменнику виходить сума/різниця самих чисел. Якщо в знаменнику неповний квадрат суми/різниці кубічних коренів двох чисел — домножуємо на різницю/суму цього кубічного коріння. У знаменнику виходить різницю/сума самих чисел.

5 / [ ∛(7) + ∛(4) ] =
= 5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / [ 7 + 4 ] =
= 5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / 11

Дії з корінням: основи

1. Спростити підкорене вираз. Для цього необхідно розкласти підкорене вираз на 2 множники, один з яких - квадратне число (число, з якого витягується цілий квадратний корінь, наприклад, 25 або 9).
2. Потім потрібно витягти корінь із квадратного числа і записати отримане значення перед знаком кореня. Звертаємо вашу увагу, що другий множник заноситься під знак кореня.
3. Після процесу спрощення необхідно підкреслити коріння з однаковими підкореними виразами - тільки їх можна складати та віднімати.
4. У коріння з однаковими підкореними виразами необхідно скласти або відняти множники, які стоять перед знаком кореня. Підкорене вираз залишається без змін. Не можна складати чи віднімати підкорені числа!

Якщо у вас приклад з великою кількістю однакових підкорених виразів, то підкреслюйте такі вирази одинарними, подвійними та потрійними лініями, щоб полегшити процес обчислення.

Давайте спробуємо вирішити цей приклад:

650 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 302. Для початку необхідно розкласти 50 на 2 множника 25 і 2, потім витягти корінь з 25, який дорівнює 5, а 5 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 5 на 6 (множник у кореня) і одержати 302.

28 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 42. Спочатку необхідно розкласти 8 на 2 множники: 4 і 2. Потім з 4 витягти корінь, який дорівнює 2, а 2 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 2 (множник у кореня) та отримати 42.

512=5(4×3)=(5×2)3=103. Спочатку необхідно розкласти 12 на 2 множники: 4 і 3. Потім витягти з 4 корінь, який дорівнює 2, і винести його з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 5 (множник у кореня) і одержати 103.

Результат спрощення: 302-42+103

Потрібна допомога викладача? Опиши завдання - і наші експерти тобі допоможуть! Описати завдання

У результаті побачили, скільки однакових підкорених виразів міститься у цьому прикладі. А зараз попрактикуємось на інших прикладах.

• Спрощуємо (45). Розкладаємо 45 на множники: (45) = (9 × 5);
• Виносимо 3 з-під кореня (9 = 3): 45 = 35;
• Складаємо множники біля коріння: 35+45=75.

• Спрощуємо 640. Розкладаємо 40 на множники: 640 = 6 (4 × 10);
• Виносимо 2 з-під кореня (4=2):640=6(4×10)=(6×2)10;
• Перемножуємо множники, що стоять перед коренем: 1210;
• Записуємо вираз у спрощеному вигляді: 1210-310+5;
• Оскільки в перших двох членів однакові підкорені числа, ми можемо їх відняти: (12-3) 10 = 910 +5.

Як ми бачимо, спростити підкорені числа неможливо, тому шукаємо в прикладі члени з однаковими підкореними числами, проводимо математичні дії (складаємо, віднімаємо і т.д.) і записуємо результат:

1. Перед тим, як складати чи віднімати, необхідно обов'язково спростити (якщо це можливо) підкорені вирази.
2. Складати та віднімати коріння з різними підкореними виразами суворо забороняється.
3. Не слід підсумовувати чи віднімати ціле число чи корінь: 3+(2x)1/2.
4. При виконанні дій з дробами необхідно знайти число, яке ділиться націло на кожен знаменник, потім привести дроби до спільного знаменника, потім скласти чисельники, а знаменники залишити без змін.