Калькулятор коренів онлайн

Багато школярів, студентів, а також їхні батьки в процесі перевірки домашніх завдань відчувають труднощі при обчисленні нестандартного коріння n ступеня. Необхідність рішення часто виникає для складних прикладів таких наук як, алгебра, геометрія, вища математика і т.д. Зробити ці математичні розрахунки швидшими та зручнішими дозволяють root калькулятори від «raschitat-online».

Користувачі сайту можуть всього за пару кліків дізнатися значення кореня n-го ступеня (n=2,3,4,5,6…). Фактично, особливий алгоритм допомагає визначити, яке невід'ємне число "b" зведено в "н" так, що під знаком кореня вийшло деяке число "a". Іншими словами, перше "b" є шуканим параметром, яке помножено саме на себе "енна" кількість разів. Це виглядає як запис:

На сторінці передбачено окреме поле для значень, створене для вказівки наявного числового значення "а".

Якщо читати приклад правильно, то «енний ступінь», розташований над галочкою, називається показником кореня. Коли, перед учням приклад, де n=2, то читається як «корінь 2-го ступеня» чи «простий квадратний корінь».

Особливості обчислень кореневих рішень: парного та непарного ступеня

Необхідно чітко відрізняти правила роботи з парними та непарними кореневими показниками. Визначити значення з парним параметром «н» (2, 4, 6, 8…) можна лише з позитивного числа. Для негативних підкорених чисел та парним варіантом ступеня – рішень немає.

Для непарної міри можна порахувати з будь-яких дійсних чисел. До них відносяться кубічний "3", а також "5", "7" і т.д. Їм відповідають вирази 3√a=b, 5√a=b, 7√a=b.

Якщо під знаком з кореневим визначником знаходиться дріб, наприклад, ½, то обчислення проводять для кожного числа окремо.Онлайн калькулятори дозволяють це приклад вирішити так: n√(½)=n√1 / n√2.

Важливою умовою для можливості цифрових розрахунків з дробовими числами є правило: знаменник не може дорівнювати нулю.

Формат математичних розрахунків

Онлайн калькулятор здатний рішення для будь-яких одиниць виміру, включаючи Deg – градуси, Rad – радіани, Grad – гради. Для активації того чи іншого режиму виміру достатньо вибрати і натиснути на відповідну кнопку.

Прикладом перекладу є:

• 1 рад = 57,3 °;
• коло з радіусом 360 ° = 2π рад.;
• 1 град = 0,9 Deg або 1 град = 0,015708 Rad.

Найбільш простим прикладом є синус 90 градусів. Для отримання готового рішення натисніть:

У відповідь буде результат 1.

Опція Deg допомагає перевести кут з формату градусів, хвилин і секунд в десяткові частки градусів для обчислень. Наприклад, кут 35 o 14 хвилин 04 секунди 53 десяті частки секунди можна перевести в десяті частки. Цей запис виглядає так:

Відповіддю буде 35,2345916.

Опція RAD дозволяє з'ясувати значення кутів у радіанах. Одиниця Radian відповідає 1/2π від r довжини кола. А проведення вимірювань кутів у цій системі обчислення називається «радіанною мірою кута». Вираз виглядають так: 1 рад = 360/(2π).

Опція Grad дозволяє уточнити дані у режимі завдання кутів у градах. При цьому 1 град дорівнює 1/400 довжини кола.

Завдяки цим наведеним прикладам та вбудованим опціям, будь-який користувач зможе використовувати онлайн калькулятори для розрахунку кореня та ступеня.

Інші калькулятори

Ірраціональні нерівності

Також перед тим, як приступати до ірраціональних нерівностей, корисно вміти вирішувати ірраціональні рівняння.

Що таке ірраціональна нерівність

Нерівність називається ірраціональною, якщо в ній є хоча б один арифметичний корінь від деякого виразу, що залежить від змінної (x.)

Приклади ірраціональних нерівностей: $$x+\sqrt \ge 2;$$ $$(x^2-9)*\sqrt \lt 0;$$ $$\sqrt \le 2\sqrt;$$ $$\frac> +x \gt \sqrt;$$ $$\sqrt[3]\gt 2;$$

Перше, що хочеться зробити, коли бачиш нерівність із квадратним коренем – це звести його у квадрат. Але зведення в квадрат дуже небезпечна нерівносильна операція, яка вимагає уважного застосування, оскільки можуть з'явитися сторонні корені:

• Зводити нерівність у квадрат чи будь-яку іншу парну ступінь можна лише за умови, що обидві частини нерівності неотрицательны. Необхідно стежити за ОДЗ.
• Якщо ліва чи права частина ірраціональної нерівності негативна, то зводити у квадрат суворо заборонено.
• У непарну міру нерівність можна зводити без будь-яких обмежень.

Існує кілька основних типів ірраціональних нерівностей. Зараз коротко, для зручності, наведемо алгоритми їх вирішення, а потім докладно та з прикладами обговоримо вирішення ірраціональних нерівностей кожного типу. Якщо зрозуміти логіку та розібратися, які обмеження необхідно накладати у кожному окремому випадку, то вчити алгоритми не доведеться.

Алгоритми розв'язання ірраціональних нерівностей

Далі \(f(x)\) та \(g(x)\) - це функції, що залежать від змінної \(x;\)
Будьте уважні, в ірраціональних нерівностях навіть знак нерівності може кардинально змінити алгоритм розв'язання в однакових, на перший погляд, нерівностей. Також у студентів часто виникають складнощі з вибором суворого чи не суворого знаку нерівності, тому ми наведемо алгоритми у деяких спірних випадках для суворих та несуворих нерівностей окремо.

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \ge a\)

Якщо \(a \ge 0:\) $$\sqrt \ge a \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge a^2. $$ Якщо \(a \lt 0:\) $$f(x) \ge 0;$$

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \le a\)

Якщо \(a \ge 0:\) $$\sqrt \le a \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \le a^2, \ f(x) \ge 0. \end$$ Якщо \(a \lt 0:\) коріння немає.

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \le g(x)\)

$$ < \small \sqrt\le g(x) \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \le g^2(x), \ f(x) \ge 0, \ g(x) \ge 0. \end>$$ $$ < \small \sqrt\lt g(x) \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \lt g^2(x), \f(x) \ge 0, \g(x) \ge 0. \end>$$

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \ge g(x)\)

$$ < \small \sqrt\ge g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin \begin f(x) \ge g^2(x) \ g(x) \ge 0; \end \ \begin f(x) \ge 0, \g(x) \lt 0; \end \end \right.>$$ $$ < \small \sqrt\gt g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin \begin f(x) \gt g^2(x) \ g(x) \ge 0; \end \ \begin f(x) \ge 0, \g(x) \lt 0; \end \end \right. >$$

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \ge \sqrt\)

$$ < \small \sqrt\ge \sqrt \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \ge g(x), \ g(x) \ge 0. \end>$$ $$ < \small \sqrt\gt \sqrt \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \gt g(x), \g(x) \ge 0. \end>$$

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \le \sqrt\)

$$ < \small \sqrt\le \sqrt \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \le g(x), \ f(x) \ge 0. \end>$$ $$ < \small \sqrt\lt \sqrt \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \lt g(x), \f(x) \ge 0. \end>$$

Ірраціональні нерівності виду \(g(x)*\sqrt \ge 0\)

$$ < \small g(x)*\sqrt\ge 0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin \begin g(x) \ge 0, \f(x) \ge 0; \end \f(x) = 0. \end \right. >$$ $$ < \small g(x)*\sqrt\gt 0 \quad \Rightarrow \quad \begin g(x) \gt 0, f(x) \gt 0; \end> $$

Ірраціональні нерівності виду \(g(x)*\sqrt \le 0\)

$$ < \small g(x)*\sqrt\le 0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin \begin g(x) \le 0, f(x) \ge 0; \end \f(x) = 0. \end \right. >$$ $$ < \small g(x)*\sqrt\lt 0 \quad \Rightarrow \quad \begin g(x) \lt 0, f(x) \gt 0; \end> $$

Коріння непарного ступеня

Зведення лівої та правої частин нерівності в непарний ступінь не накладає жодних обмежень.Це рівносильна операція, наприклад: $$ < \small \sqrt[3]\ge g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge g^3(x).>$$ При розв'язанні ірраціональних нерівностей з арифметичними корінням непарного ступеня можете сміливо зводити на непарний ступінь, на коріння нерівності це не вплине.

Коріння парного ступеня

Вирішення ірраціональних нерівностей з будь-яким арифметичним корінням парного ступеня аналогічне рішенню нерівностей з квадратним корінням, за винятком того, що потрібно зводити нерівність не в квадрат, а в ступінь кореня, щоб позбутися від нього.

Ірраціональні нерівності з квадратним коренем

Отже, будь-яка нерівність, в якій є змінна (x) під знаком кореня, називається ірраціональною. Корінь може бути будь-якого ступеня, але найпоширеніший тип нерівностей - зі звичайним арифметичним квадратним коренем.

У цьому розділі ми намагатимемося докладно розібратися, звідки беруться всі ці страшні сукупності та системи при вирішенні ірраціональних нерівностей.

Щоб позбавитися кореня (ще кажуть: позбутися ірраціональності), потрібно звести і ліву, і праву частини нерівності в квадрат. Але зведення у квадрат – це нерівносильна операція. Іншими словами, може з'явитися стороннє коріння. Тому при будівництві ми змушені накладати додаткові умови, які роблять наші перетворення рівносильними. Оскільки всі нерівності різні, те й умови завжди різні, що значно ускладнює завдання.

Для того, щоб справді навчитися вирішувати ірраціональні нерівності, треба не вивчати алгоритми, наведені вище, а краще розібратися, звідки всі ці умови виникають. Тоді ви зможете вирішити будь-яку, навіть найскладнішу ірраціональну нерівність.

Властивості квадратного кореня

Перш ніж розпочати безпосередньо вирішення прикладів, обговоримо деякі очевидні властивості квадратного кореня.

Квадратний корінь існує тільки від позитивних чисел, неможливо витягти корінь із негативного числа. Тому підкорене вираз завжди має бути більше або дорівнює нулю. $$ $$x \ge -4;$$

Те, що ми зараз знайшли, ще називають ОДЗ (область допустимих значень) - це такі значення змінної \(x,\), при яких вихідна функція, взагалі кажучи, існує.

При (x \lt -4 \) буде корінь від негативного числа, що втрачає всякий сенс.
Сам арифметичний квадратний корінь теж завжди невід'ємний: не можна порахувати з чогось корінь і отримати від'ємне число: $$\sqrt \ge 0;$$

У загальному вигляді обмеження, які переслідують квадратне коріння, можна виписати ось так: $$\sqrt \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge 0;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt \ge 0.$ $ Про них у жодному разі не можна забувати.

Згадати всі властивості квадратного коріння можна в окремій статті.

Почнемо вирішувати ірраціональні нерівності з найпростішого типу: коли квадратний корінь від певної функції порівнюється зі звичайним числом:

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \ge a\)

Розбиратимемося на реальних прикладах, так найлегше:
Приклад 1 $$\sqrt \ge -2;$$ Відразу випишемо ОДЗ: $$x+3 \ge 0;$$ $$x \ge -3.$$ Тепер дивимося на вихідну нерівність: у лівій частині стоїть квадратний корінь \( \sqrt\), а в правій - від'ємне число \((-2).\) І, згідно з умовою, нам потрібно знайти такі значення змінної \(x,\) при яких ліва частина нерівності більша або дорівнює правій, тобто квадратний корінь повинен бути більшим або дорівнює від'ємного числа.

Стоп! Квадратний корінь завжди більше або дорівнює нулю, а значить він автоматично повинен бути більше будь-якого негативного числа.

Виходить, наша вихідна нерівність виконується за будь-яких \(x?\) Ні, вона виконується за будь-яких \(x,\) задовольняючих ОДЗ.

Тобто розв'язанням нерівності буде \(x \ge -3.\)
Відповідь: \(x \in [-3; +\infty).\)

А що, якщо справа стоїть позитивне число:
Приклад 2 $$\sqrt \gt 2;$$ Запишемо ОДЗ, але не будемо його вирішувати (пізніше скажу чому): $$x^2+3x \ge 0;$$ Переходимо безпосередньо до вирішення нерівності. Тут логіка, як у першому прикладі, не працює, корінь ліворуч цілком може бути менше (2) при якихось значеннях (x.)

Тому, щоб вирішити цю нерівність, потрібно позбавитися квадратного кореня. Єдиний спосіб зробити це - звести ліву та праву частину нерівності в квадрат: $$(\sqrt)^2 \gt 2^2;$$ Ми дійсно можемо звести цю нерівність у квадрат, і при цьому нічого не порушиться і не з'являться ніякі сторонні коріння. Чому? Та тому, що ми можемо зводити в квадрат тоді, коли впевнені, що ліва та права частини нерівності невід'ємні за умови, що не порушується ОДЗ.

Ліворуч стоїть квадратний корінь, він завжди невід'ємний за визначенням. А праворуч стоїть позитивне число (2.) ОДЗ ми вище записали. Боятися нема чого, значить можемо зводити в квадрат.

Тут увага! Подивіться на нерівність, яка у нас вийшла після зведення в квадрат: вираз, що стояло під коренем, має бути більшим, ніж позитивне число \(4.\) А що у нас записано в ОДЗ? Що вираз під коренем має бути більшим або дорівнює нулю. Але якщо ми вирішуємо нерівність, в якій підкорене вираз має бути більшим (4), то логічно, що воно автоматично буде і більше (0.) Можна зробити висновок, що ОДЗ виконується автоматично в процесі вирішення основної нерівності. ОДЗ можна не вирішувати, тому я не став цього робити на початку. Продовжуємо рішення: $$x^2+3x-4 \gt 0;$$ $$(x+4)(x-1) \gt 0;$$ Вирішуємо методом інтервалів:

Вибираємо проміжки зі знаком (+).
Відповідь: \(x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty).\)

Об'єднуючи два розглянуті вище приклади, можна записати алгоритм розв'язання ірраціональних нерівностей такого типу: $$\sqrt \ge a;$$ де \(a\) - деяке число;
Якщо \(a \ge 0:\) $$\sqrt \ge a \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge a^2. $$ Якщо \(a \lt 0:\) $$f(x) \ge 0;$$

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \le a\)

Приклад 3 $$\sqrt \le -10;$$ Квадратний корінь не може бути меншим за нуль, а значить тим більше не може бути меншим від негативного числа, які б \(x\) ви не підставляли. Ця нерівність немає рішень.
Відповідь: Нема коріння.

Приклад 4 $$\sqrt \lt 4;$$ Знайдемо ОДЗ: $$x^2-9 \ge 0;$$ Розкладаємо різницю квадратів: $$(x-3)(x+3) \ge 0;$$

Вирішуємо вихідну нерівність. Щоб позбутися кореня, зводимо ліву та праву частини у квадрат. Ми можемо це зробити без будь-яких обмежень, крім ОДЗ, оскільки ліва і права частини нерівності позитивні: зліва арифметичний квадратний корінь, праворуч позитивне число: $$(\sqrt)^2 \lt 4^2;$$ $$x ^2-9 \lt 16;$$ $$x^2-25 \lt 0;$$ Знову вийшла різниця квадратів: $$(x-5)(x+5) \lt 0;$$

$$x \in (-5;5);$$
Накладаємо ОДЗ. Для зручності відзначимо на одній числовій прямій розв'язання нерівності зверху, а ОДЗ знизу, і знайдемо їх перетин:

Відповідь: \(x \in (-5; -3] \cup [3; 5).\)

Алгоритм рішення: $$\sqrt \le a$$ де \(a\) - деяке число;
Якщо \(a \ge 0:\) $$\sqrt \le a; \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \le a^2, \f(x) \ge 0. \end$$ Якщо \(a \lt 0:\) коріння немає.

В ірраціональних нерівностях, у яких порівнюються квадратний корінь і число, важливо стежити за виконанням ОДЗ і тим, щоб сам корінь не був меншим за нуль.

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \ge \sqrt\)

Квадратний корінь - це зростаюча функція, тобто чим більший підкорений вираз, тим більше сам корінь. Тому, коли порівнюються два арифметичні корені, більше буде той, у якого під коренем стоїть більший вираз. При цьому в жодному разі не можна забувати про ОДЗ.

Приклад 5 $$\sqrt \ge \sqrt;$$ ОДЗ: $$\begin x^2+6x \ge 0, \ x-6 \ge 0; \end$$ Поки не вирішуватимемо ОДЗ. Перейдемо до вирішення вихідної нерівності. Оскільки ліворуч і праворуч стоять квадратне коріння, то обидві частини нерівності невід'ємні, отже, щоб позбутися коріння, можна зводити в квадрат, за умови виконання ОДЗ: $$(\sqrt)^2 \ge (\sqrt)^2;$ $ $$x^2+6x \ge x-6;$$

Увага! Подивіться на нерівність після зведення в квадрат, згідно з ним, ми шукаємо такі значення змінної \(x\), щоб ліва частина \((x^2+6x)\) була більшою або дорівнює правій частині \((x-6). \) Цей факт може суттєво спростити нам рішення: річ у тому, що за ОДЗ і \((x^2+6x),\) та \((x-6)\) повинні бути невід'ємними, але вирішувати обидві ці нерівності в ОДЗ необов'язково. Якщо \((x-6) \ge 0\), то автоматично виконується і \((x^2+6x) \ge 0,\) оскільки згідно з нерівністю \(x^2+6x \ge x-6 \ ge 0.\)

Коротше кажучи, вихідна нерівність зводиться за допомогою рівносильного перетворення (зведення в квадрат і накладання умови на \((x-6 \ge 0)\)) до системи: $$\sqrt \ge \sqrt;$$ $$\Downarrow$ $ $$\begin x^2+6x \ge x-6, \ x-6 \ge 0; \end$$ Коріння цієї системи повністю співпадає з корінням вихідної нерівності. Залишається тільки вирішити: $$\begin x^2+5x+6 \ge 0, \x xge 6; \end$$ Знайдемо коріння квадратного багаточлена: $$D=5^2-4*1*6=25-24=1;$$ $$x_1=\frac>=\frac=-2;$$ $$x_2 =\frac>=\frac=-3;$$ І розкладемо його на множники, тоді система набуває вигляду: $$\begin (x+2)(x+3) \ge 0, \ x \ge 6; \end$$ Вирішення першої нерівності в системі: $$x \in (-\infty;-3] \cup [-2;+\infty);$$ Вирішення другої нерівності: $$x \in [6;+\ infty);$$ Зазначимо їх на числовій прямій і знайдемо перетин:

Відповідь: \(x \in [6;+\infty).\)

Приклад 6 $$\sqrt \lt \sqrt;$$ Після зведення в квадрат нерівність зводиться до системи: $$\begin x^2+2 \lt 2x^2-7, \ x^2+2 \ge 0; \end$$ Зверніть увагу, що друга умова в системі накладається саме на ту функцію, яка менша: \(0 \lt x^2+2 \lt 2x^2-7.\)
Якщо \(x^2+2 \ge 0\), то \(2x^2-7 \ge 0\) автоматично. $$\begin -x^2+9 \lt 0, \ x^2 \ge -2; \end$$ Подивіться на другу нерівність у системі: квадрат більше від'ємного числа за будь-яких \(x.\) Отже друга нерівність виконується завжди. Система зводиться до простої нерівності: $$-x^2+9 \lt 0;$$ $$(3-x)(3+x) \lt 0;$$

Алгоритм рішення: $$ < \small \sqrt\gt \sqrt \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \gt g(x), \g(x) \ge 0. \end>$$

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \le g(x)\)

Ми вже розібрали вище, як вирішувати нерівності, в яких порівнюються квадратний корінь і число, а що якщо замість числа буде функція, яка залежить від (x)? Рішення стає трохи складнішим. Давайте розбиратися на прикладах:

Приклад 7 $$\sqrt \le x-2;$$ Про всяк випадок, випишемо ОДЗ, воно тут зовсім просте: $$2x-1 \ge 0;$$ Нам потрібно позбутися кореня, єдиний спосіб - це звести всю нерівність у квадрат . Але права частина нерівності залежить від змінної \(x,\) а значить при деяких \(x\) вона може бути негативною, і тоді зводити до квадрата не можна. Ще раз нагадую, що зводити до квадрата нерівності можна тільки, якщо ви впевнені, що обидві частини нерівності позитивні. А це не так. Значить, не можна зводити в квадрат? Можна, якщо вимагати виконання (x-2 \ge 0.\)

З урахуванням ОДЗ, вихідна нерівність при \(x-2 \ge 0\) зводиться до системи: $$\sqrt \le x-2$$ $$\Downarrow$$ $$\begin 2x-1 \le (x- 2)^2, \ 2x-1 \ge 0, \ x-2 \ge 0. \end$$ $$\begin 2x-1 \le x^2-4x+4, \ 2x \ge 1 , \ x \ge 2. \end$$ $$\begin x^2-6x+5 \ge 0, \ x \ge 0,5, \ x \ge 2. \end$$ $$\ begin (x-1)(x-5) \ge 0, \ x \ge 0,5, \x xge 2. \end$$ Зазначимо на числовій прямий розв'язання всіх трьох нерівностей у системі і знайдемо їх перетин. Щоб не заплутатися, зробимо це різними кольорами:

Це рішення отримано за умови, що права частина нерівності невід'ємна: \(x-2 \ge 0.\) Розглянемо випадок, коли вона негативна: \(x-2 \lt 0.\)
Випишемо вихідну нерівність: $$\sqrt \le x-2;$$ Згідно з нерівністю, ми шукаємо такі \(x\), при яких квадратний корінь зліва повинен бути меншим від негативного числа праворуч. Це неможливо, квадратний корінь завжди більше або дорівнює нулю. Тому випадок (x-2 \ 0 ) не має рішень.
Відповідь: \(x \in [5;+\infty).\)

Приклад 8 $$3\sqrt-3-x \lt 0;$$ Перенесемо всі доданки, крім кореня, в праву частину нерівності: $$3\sqrt \lt 3+x;$$ Слідкуємо за тим, щоб вираз під коренем і права частина нерівності були невід'ємні, і зводимо нерівність у квадрат: $$3\sqrt \lt 3+x$$ $$\Downarrow$$ $$\begin 9(1-x^2) \lt (3+x)^2, \ 1-x^2 \ge 0, \ 3+x \ge 0. \end$$ $$\begin 9-9x^2 \lt 9+6x+x^2, \ (1-x)(1 +x) \ge 0, \x xge -3. \end$$ $$\begin 10x^2+6x \gt 0, \ (1-x)(1+x) \ge 0, \ x \ge -3. \end$$ $$\begin x(10x+6) \gt 0, \ (1-x)(1+x) \ge 0, \ x \ge -3. \end$$ Методом інтервалів вирішуємо всі нерівності в системі на одній числовій прямій:

Відповідь: \(x \in [-1;-0,6) \cup (0;1].\)

Алгоритм рішення: $$ < \small \sqrt\lt g(x); \quad \Rightarrow \quad \begin f(x) \lt g^2(x), \f(x) \ge 0, \g(x) \ge 0. \end>$$

Ірраціональні нерівності виду \(\sqrt \ge g(x)\)

Ірраціональні нерівності \(\sqrt \ge g(x)\) відрізняються від попередніх лише знаком нерівності. Але алгоритм вирішення вони зовсім різний.
Давайте розбиратимемося на прикладах.

Приклад 9 $$\sqrt \gt -x;$$ ОДЗ: $$x+2 \ge 0;$$ У лівій частині нерівності стоїть квадратний корінь, який завжди більший або дорівнює нулю за умови, що він існує. Права частина нерівності може бути як позитивною, так і негативною, залежно від змінної (x.)

Від нас потрібно знайти такі значення \(x,\) при яких ліва невід'ємна частина нерівності буде більшою, ніж права частина, яка може бути будь-якого знака. Розіб'ємо рішення на два випадки, коли права частина нерівності позитивна і коли негативна:

1. \(-x \ge 0.\) У такому разі обидві частини нерівності будуть позитивними, і можна звести нерівність у квадрат. Щоб не забути ще й про ОДЗ, запишемо всі види системи: $$\begin(\sqrt)^2\gt(-x)^2, \-x \ge 0, \x+2 \ge 0. \ end$$ $$\begin x+2\gt x^2, \ x \le 0, \ x+2 \ge 0. \end$$

Увага! Подивіться на першу і третю нерівності в системі: третя нерівність \(x+2 \ge 0\) - це ОДЗ, але її вирішувати необов'язково, вона виконується автоматично, оскільки згідно з першою нерівністю: \(x+2 \gt x^2 \ge 0.\) \((x+2)\) має бути більше квадрата, а квадрат завжди невід'ємний.

Таким чином, третю нерівність можна викинути із системи. Ви скажете, навіщо його викидати, воно ж є елементарним. У цьому прикладі - так, воно вирішується дуже просто, але є нерівності з набагато складнішими умовами, і порятунок хоча б одного з них у рази полегшує вирішення всього прикладу. Щоб навчитися вирішувати складні завдання, потрібно навчитися робити аналітичну роботу над кожним прикладом і помічати такі речі.

Отже, наша система тепер виглядає так: $$\begin x+2\gt x^2, \ x \le 0. \end$$ $$\begin -x^2+x+2\gt 0, \ x \le 0. \end$$ Знаходимо нулі квадратного багаточлена: $$D=1^2-4*(-1)*2=1+8=9;$$ $$x_1=\frac>=\frac= -1;$$ $$x_2=\frac>=\frac=2;$$ І розкладаємо на множники, не забуваємо про \(«-»\) перед \(x^2:\) $$\begin -( x+1)(x-2)\gt 0, \ x \le 0. \end$$ Вирішуємо методом інтервалів, відзначаємо на числовій прямій обидві нерівності і знаходимо перетин рішень:

І розглянемо другий випадок, коли права частина вихідної нерівності негативна:

2. \(-x \lt 0.\) $$\sqrt \gt -x;$$ У цьому випадку ми отримуємо нерівність, в якій квадратний корінь у лівій частині повинен бути більший за негативну праву частину. Але це виконується за будь-яких \(x,\) задовольняють ОДЗ.

Випадок з негативною правою частиною можна записати у вигляді ще однієї системи: $$\begin x+2 \ge 0, \ -x \lt 0. \end$$ При негативній правій частині нерівності вона вірна за будь-яких \(x\) на ОДЗ.$$\begin x \ge -2, \ x \gt 0. \end$$ Намалюємо обидві нерівності на числовій прямій і знайдемо їх перетин:

І залишилося тільки об'єднати одержані рішення для обох випадків: $$x \in (-1; 0] \; + \; x \in (0;+\infty);$$ $$\Downarrow$$ $$x \in (-1; +\infty); $$ Відповідь: \(x \in (-1;+\infty).\)

Всі міркування щодо рішення минулого прикладу можна звести до сукупності: $$ < \small \sqrt\ge -x;>$$ $$\Downarrow$$ $$ < \small \left[ \begin\begin x+2 \ge ( -x) ^ 2, \ -x \ ge 0; \end \ \begin x+2 \ge 0, \ -x \lt 0; \end \end \right.>$$

Приклад 10 $$\sqrt \gt 4(x-1);$$ Розглянемо два випадки, коли права частина нерівності позитивна і коли негативна.

У першому випадку зводимо в квадрат і отримуємо систему: $$ < \small \begin(\sqrt)^2 \gt (4(x-1))^2, \ 4(x-1) \ge 0; \end>$$ $$\Downarrow$$ $$ < \small \begin(x+5)(3x+4) \gt 16(x-1)^2, \ 4(x-1) \ge 0 ; \end>$$

Окремо вимагати від підкореного виразу, щоб воно було невід'ємним, не потрібно, тому що згідно з першою нерівністю в системі підкорене вираз має бути більше квадрата.

У другому випадку, коли права частина негативна, нерівність буде вірною за будь-яких \(x,\), що задовольняють ОДЗ: $$\begin (x+5)(3x+4) \ge 0, \ 4(x-1) \ lt 0; \end$$

Об'єднаємо системи з обох випадків у сукупність, щоб показати, наскільки грамотно з точки зору математики виглядає рівносильне перетворення вихідної нерівності: $$\sqrt \gt 4(x-1)$$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin \begin (x+5)(3x+4) \gt 16(x-1)^2, \ 4(x-1) \ge 0; \end \ \begin (x+5)(3x+4) \ge 0, \ 4(x-1) \lt 0; \end \end \right.$$
Тепер окремо вирішимо кожну систему: $$ < \small \begin(x+5)(3x+4) \gt 16(x-1)^2, \ 4(x-1) \ge 0; \end>$$ $$ < \small \begin3x^2+19x+20 \gt 16x^2-32x+16, \ x \ge 1; \end>$$ $$ < \small \begin-13x^2+51x+4 \gt 0, \ x \ge 1; \end>$$ Знайдемо нулі квадратного багаточлена і розкладемо його на множники: $$< \small D=51^2-4*(-13)*4=2809;>$$ $$< \small x_1=\frac> =-\frac;>$$ $$< \small x_2=\frac>=4;>$$ $$\begin -13(x+\frac)(x-4) 0, х 1; \end$$ На числовій прямій відзначаємо рішення обох нерівностей і знаходимо перетин:

Вирішуємо другу систему: $$\begin (x+5)(3x+4) \ge 0, \ 4(x-1) \lt 0; \end$$

Об'єднуємо рішення обох систем та записуємо відповідь:
Відповідь: \(x \in (-\infty; -5] \cup [-\frac;4).\)

Алгоритм рішення: $$ < \small \sqrt\gt g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin \begin f(x) \gt g^2(x), \g(x) \ge 0; \end \ \begin f(x) \ge 0, \g(x) \lt 0; \end \end \right. >$$

Ірраціональні нерівності виду \(g(x)*\sqrt \ge 0\)

Ліва частина ірраціональної нерівності є твір двох множників: функції і квадратного кореня. Твір буде більший за нуль тільки в тому випадку, якщо обидва множники мають однаковий знак: або обидва позитивні, або обидва негативні. Так як квадратний корінь завжди більше або дорівнює нулю, то у першого множника (g(x)) просто немає вибору - він теж повинен бути позитивним, щоб нерівність виконувалася. При цьому слід уважно стежити, щоб знайдені (x) задовольняли ОДЗ.

Крім цього, знак нерівності несуворий, тобто нас влаштовують значення \(x,\) при яких ліва частина дорівнює нулю. Добуток двох множників дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Значить значення \(x,\) у яких або функція \(g(x),\) або корінь \(\sqrt\) дорівнюють нулю на ОДЗ, теж будуть корінням нерівності.

Використовуючи наші висновки, вирішимо приклад:

Приклад 11 $$x*\sqrt \ge 0;$$

Ліва частина нерівності - це твір двох множників: \(x\) і \(\sqrt.\) Так як \(\sqrt \ge 0\) при будь-яких \(x\) на ОДЗ, то для того, щоб ліва частина вихідної нерівності була більша-рівна нуля, необхідно, щоб перший множник \(x\) був більший за нуль, або ж дорівнює нулю на ОДЗ: $$\begin x \ge 0, \quad перший \; множник x-1 \ge 0 \quad ОДЗ; \end$$ Крім цього, нас влаштовує, коли сам корінь дорівнює нулю, адже тоді весь твір дорівнюватиме нулю незалежно від того, чому дорівнює \(x:\) $$\sqrt=0;$$ Запишемо всі види сукупності: $ $x*\sqrt \ge 0$$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin \begin x \ge 0, \ x-1 \ge 0; \end \ \sqrt=0; \end \right. $$ $$\Downarrow$$ $$\left[ \begin x \ge 1; \ x = 1; \end \right. $$ $$\Downarrow$$ $$x \in [1;+\infty);$$ Відповідь: \(x \in [1;+\infty).\)

І розглянемо ірраціональну нерівність із суворим знаком:
Приклад 12 $$(-x^2-4x+5)\sqrt \gt 0;$$ Відразу звертаємо увагу на знак нерівності - він строгий. Отже, нам підходити значення \(x,\) у яких ліва частина дорівнює нулю.

Так як квадратний корінь завжди більший або дорівнює нулю, то для того, щоб вирішити нерівність, множник \((-x^2-4x+5)\) повинен бути строго більшим за нуль на ОДЗ: $$(-x^2-4x +5)\sqrt \gt 0$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin -x^2-4x+5 \gt 0, \ x^2-9 \gt 0; \end $$ Зверніть увагу на строгі знаки нерівності. Незважаючи на те, що ОДЗ: \(x^2-9 \ge 0\), в системі ми пишемо строгий знак (замість \(«ge») пишемо \(«gt»)), тому що, якщо корінь дорівнюватиме нулю, то і вся ліва частина нерівності дорівнюватиме нулю, а нас це не влаштовує.
Вирішуємо систему: $$\begin -x^2-4x+5 \gt 0, x^2-9 \gt 0; \end $$ У першій нерівності в системі розкладаємо квадратний багаточлен на множники через дискримінант: $$< \small D=(-4)^2-4*(-1)*5=36;>$$ $$< \small x_1=\frac>=\frac=-5;>$$ $$< \small x_2=\frac>=\frac=1;>$$ У другій нерівності помічаємо формулу різниці квадратів.$$\begin -(x+5)(x-1) \gt 0, \ (x-3)(x+3) \gt 0; \end $$ Наголошуємо на числовому прямому розв'язанні обох нерівностей і знаходимо перетину. Не забуваємо про знак мінус перед дужками першої нерівності та про виколоті точки: