Що вивчає геометрія?

Геометрія вивчає форму предметів, визначає їх розміри та взаємне розташування.

Багато предметів мають прямокутну форму, інші круглу, треті – трикутну. Бувають і складніші форми.

Якщо подивитися уважніше, можна помітити, що той самий прямокутник складається з чотирьох відрізків, які утворюють його сторони. Т. е. можна сказати, що більшість фігур складається з більш простих фігур. Усі фігури складаються з точок. Тому точку можна вважати найпростішим елементом.

При описі фігур важливо як вказати геометричні примітиви, у тому числі вона складається, а й "відносини" з-поміж них. Наприклад, прямокутник не просто складається з чотирьох відрізків, але вони мають бути з'єднані між собою; кути, що утворюються з'єднаними відрізками, повинні бути прямими; крім того, відрізки повинні бути попарно рівні, і відрізки з однаковою довгою розташовуватися на протилежних сторонах.

У той самий час прямокутники бувають різними. Один більш витягнутий з одного боку і більше схожий брусок, в іншого ширина і довжина не сильно відрізняються, і такий прямокутник схожий квадрат. Та й зрозуміло, прямокутники можуть відрізнятися за своїми розмірами. Все це говорить про те, що під терміном "прямокутник" ми розуміємо безліч фігур, які відповідають певним вимогам.

Геометрія – давня наука. Вона виникла близько 4-5 тис. Років тому. Людям з давніх часів потрібно вимірювати земельні ділянки, відстані, різні предмети, робити виміри при будівництві будівель. Слово «геометрія» у перекладі з грецької означає «землемірство».

Спочатку історії накопичувалися правила різних геометричних побудов.Потім у Стародавню Грецію з'явилися вчені, які привнесли до геометрії багато нового. Зокрема, почали приділяти велику роль міркуванням, на основі яких можна було відкрити нові факти та закономірності. Можна сміливо сказати, що геометрія як наука сформувалася до початку нашої ери.

Практичне значення геометрії велике. Крім того, вона вчить людину міркувати, бачити світ форм у їх взаємозв'язку та взаємодії.

Наука геометрія ділиться на два великі розділи - планіметрію та стереометрію. Планіметрія вивчає фігури на площині. Це прямокутники, трикутники, кола, трапеції, інші чотирикутники. Стереометрія вивчає фігури у тривимірному просторі. Це куля, куб, циліндр, піраміда та багато інших.

Геометрія

Геометрія — це фундаментальна наука, частина математики, яка вивчає фігури та їх властивості на площині та просторі.

Геометрія та геометричні фігури повсюдно вивчаються з раннього віку, починаючи з дитячого садка. Потім знайомство з геометрією продовжується у школі. У ВНЗ відбувається більш поглиблене вивчення спеціальних розділів геометрії.

Визначення геометрії

Назва "геометрія" походить від грецьких слів "гео" - земля і "метрео" - вимірюваю. Геометрія бере свій початок саме з вимірювань на землі [1], обчислення площі родючих ділянок. Також астрологи розраховували розташування різних небесних об'єктів та світил.

Геометрія не є ізольована галузь, яка не перетинається з іншими розділами математики. Справа полягає навпаки. Багато завдань з алгебри, арифметики, математичного аналізу, теорії диференціальних рівнянь [2] , теоретичної механіки вирішуються за допомогою побудов на площині і в просторі, тобто шляхом застосування геометричних методів.Більше того, більша частина рівнянь вирішується геометричним способом шляхом побудов фігур чи графіків функцій.

Базовими об'єктами в геометрії є «точка», «промінь», «пряма», «відрізок», «площина», «кут» та «фігура». Зі свого боку геометрія використовує інструментарій алгебри та теорії рівнянь. Багато геометричні завдання на знаходження елементів фігур та площ вирішуються шляхом зведення їх до рівнянь. Геометрія також має справу з числами, як і будь-яка інша частина математики.

Базові поняття у геометрії

Все починається з точки. Це найпростіше поняття у геометрії. «Точка» на площині або в просторі є неподільний об'єкт, який займає місце розташування, іншими словами, що має певні координати. Якщо дві точки мають одні й самі координати, ці точки збігаються. Порівнювати точки між собою, як, наприклад, ми порівнюємо числа, яка з них більша або менша, важча або легша (як ми порівнюємо маси предметів) у геометрії не має сенсу. Всі вони рівні або, інакше кажучи, однакові, ні легші, ні важчі, ні менші, не більше за розміром і вагою. Тому точка — це абстрактний і типовий об'єкт. Точки прийнято позначати великими латинськими літерами A, B, C та інших.

Якщо дві точки не збігаються, їх можна поєднати лінією. Лінії бувають прямі чи прямі, тобто криві. При цьому дві різні точки можна з'єднати лише однією прямою, яка проходить через ці точки.

Це одна з основних аксіом геометрії. Справді, в класичній геометрії Евкліда, якщо провести через дві точки другу лінію, відмінну від першої прямої, це буде вже не пряма, а крива. Даний факт не важко уявити та візуалізувати на аркуші паперу.

«Промінь» - Це частина прямої, відкладена від точки (початку променя) тільки в одну строну. Промінь іноді називають напівпрямим. Іншими словами, промінь є прямою лінією, що має початок, але не має кінця.

«Кут» є два промені, що виходять з однієї точки. Кути поділяються на гострі (градусна міра менше 90 градусів), прямі (90°), тупі (від 90° до 180°), розгорнуті (180°). Кути прийнято позначати або однією великою латинською літерою, що позначає його вершину А, B, C і т. д. Або трьома буквами ABC, MNK і т. п. Кути також прийнято вимірювати в радіанах, при цьому 180 ° π радіан. 1 радіан - це центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола. Приклад кута 1 радіан можна бачити на малюнку.

«Відрізок» - Це частина прямий, обмежена двома точками. Якщо одну точку прийняти за початок, а другу точку прийняти за кінець, такий відрізок буде спрямованим і називатися «вектором». Відрізки позначаються двома латинськими літерами, тобто позначення початку та кінця відрізка AB, CD тощо. Приклад відрізків можна побачити малюнку.

«Площина» - Поверхня, що містить повністю кожну пряму, що з'єднує будь-які її точки. Поняття, знайоме кожному, у своїй настільки ж важливе у геометрії як точка і пряма. Площини зазвичай позначають грецькими літерами α, β та ін.

Геометричні фігури

Базовими фігурами у геометрії на площині є трикутник, чотирикутник, багатокутник, коло. У просторі це призма, піраміда, сфера, конус.

«Трикутник» - Найпростіша фігура в геометрії, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що з'єднують вершини трикутника. Відрізки будуть називатися сторонами трикутника. У трикутника три кути та три сторони.Тому можна виділити прямокутні трикутники (один із кутів — прямий), гострокутні трикутники (усі кути — гострі), тупокутні трикутники (якщо один кут тупий). Чудовою властивістю трикутника буде формула про суму його кутів, що дорівнює 180°. Іншими словами, якщо α, β, γ — кути трикутника, то вірна рівність α + β + γ = 180 °.

Якщо класифікувати трикутники з позиції сторін, то трикутники поділяються на рівносторонні (всі сторони рівні), рівнобедрені (дві сторони з трьох рівні, але не рівні третьої) та довільні. У трикутнику проти найбільшого кута лежить найбільша сторона і навпаки. Величезне значення трикутники грають у геометрії завдяки тому, що будь-яка фігура розбивається на трикутники будь-яким методом. Таким чином, щоб уміти аналізувати складніші фігури, потрібно знати властивості трикутника.

Базове значення в геометрії відіграє теорема Піфагора, [3] яка свідчить, що в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів: a 2 + b 2 = c 2 +b^=c^> . Для вирішення більшості завдань у геометрії так чи інакше використовуються теорема Піфагора.

«Чотирикутник» - фігура, що складається з чотирьох вершин і чотирьох відрізків, що послідовно з'єднують його вершини, що є його сторонами, при цьому жодні три вершини не лежать на одній прямій. Остання вимога дозволяє виключити вироджені чотирикутники, які є трикутниками або прямі. Важливими представниками чотирикутників є паралелограм та трапеція, оскільки майже всі інші чотирикутники можна аналізувати на основі їх властивостей.

• Паралелограм — чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно рівні та паралельні.
• Трапеція — чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні та дві інші не паралельні.

Найбільш популярними чотирикутниками на практиці є квадрати, прямокутники та ромби, які вже визначаються на основі паралелограмів.

• Ромб - чотирикутник, у якого всі сторони рівні.
• Прямокутник – чотирикутник, у якого всі кути прямі.
• Квадрат - чотирикутник, у якого всі кути прямі та всі сторони рівні.

Будь-який багатокутник вже розбивається на описані вище фігури, тому його властивості можна вивчати на основі розглянутих фігур. Окремо стоїть коло або коло. Введення поняття «кола» або «рівновіддаленості» значно розширює функціонал та кут зору геометричної науки. У свою чергу широке застосування кола практично змушує геометрів уважно вивчати властивості кола, щоб знайдені в такий спосіб закономірності інженери могли застосувати у промисловості та інших практичних областях.

Окружність - Це безліч точок однієї площини, рівновіддалених від однієї точки (центру кола). При цьому відстань від будь-якої точки кола до її центру називається радіусом кола або кола. Термін коло використовується, якщо потрібно включити всі точки всередині кола в одну фігуру. Звідси випливає, що коло на відміну кола немає площі. Але коло є межею кола.

Якщо у визначенні кола усунути вимогу на знаходження точок в одній площині, то вийде сфера або куля.

• Сфера - Це безліч точок простору, рівновіддалених від однієї точки (центру сфери). Сфера є межею кулі.
• Призма — багатогранник, дві грані якого є рівними багатокутниками, що у паралельних площинах, інші грані — паралелограмами, мають спільні боку з цими многоугольниками. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а два багатокутники, що залишилися, називаються її верхніми і нижніми основами. Найбільш популярною призмою є куб.
• Піраміда — багатогранник, основою якого є багатокутник, інші грані є трикутники, мають загальну вершину.
• Конус - Геометрична фігура в просторі, утворена безліччю променів (утворюють конуса), що з'єднують усі точки деякою плоскою кривою (напрямною конуса) з даною точкою простору (вершиною конуса).

Види геометрії

Геометрія як наука у свою чергу ділиться на розділи та види:

• Планіметрія - геометрія, в якій вивчаються властивості фігур та об'єктів у межах однієї площини. Як приклади таких фігур можна вказати названі вище трикутник, трапеція, коло.

• Стереометрія - геометрія, в якій вивчаються властивості фігур та об'єктів у тривимірному просторі. Тут велика увага приділяється куту між площинами (двогранний кут), а також фігурам – куля, піраміда, призма та ін.
• Аналітична геометрія — геометрія, у якій вивчення властивостей геометричних об'єктів і фігур використовується інструментарій алгебри, саме метод координат. Наприклад, плоскі фігури вивчаються шляхом введення двовимірних координат (x; y) для кожної точки.Просторові фігури із стереометрії аналізуються шляхом введення координат (x, y, z). Наприклад, рівнянням прямої на площині є рівняння y = k ∗ x + b . Маючи дві прямі та два рівняння, що їх описують, можна знайти точку перетину даних прямих або довести їхню паралельність. Трикутник можна задати координатами його вершин, а далі знайти відстань за формулою знаходження відстані між двома точками. Після знаходження довжин сторін можна знайти площу трикутника за формулою Герона S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) >> , де p — напівпериметр трикутника. В аналітичній геометрії існують ознаки паралельності та перпендикулярності прямих та площин.
• Нарисна геометрія - вид геометрії, де просторові фігури вивчаються методом їх проектування на площині. Зазвичай така геометрія вивчається на інженерних спеціальностях у ВНЗ.
• Диференціальна геометрія - це розділ вищої геометрії, де властивості фігур вивчаються за допомогою інтегрального обчислення, інструментарію лінійної алгебри, диференціальних рівнянь. Основоположником цієї геометрії є великий російський математик Н.І. Лобачевський (1792-1856) [4] . Дану геометрію прийнято називати неевклідовою геометрією, де аксіома про те, що через точку поза прямою на цій площині проходить тільки одна пряма паралельна даній, не вірна.

Література

• Бекаревич А. н. Рівняння у шкільному курсі математики. - Мінськ: Нар. освітлення, 1968. - 152 с.
• Вигодський М. Я.Довідник з елементарної математики. - М.: Наука, 1978.
  • Перевидання: Вид. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

  Примітки

  1. ↑Глав. ред. М.Д. Аксьонова. Енциклопедія для дітей 11. Математика. - Вид. 1-е. - М.: Аванта +, 1999. - 688 с. - ISBN 5-89501-018-0.
  2. ↑Філіппов А. Ф.Введення у теорію диференціальних рівнянь. - Вид. 2-ге. - 2007. - 240 с. - ISBN 5354004160.
  3. ↑Якушева О.В, Попов А.В, Якушев А.Г. Математика. Все для іспиту. - М.: УНЦ ДО, 2004. - 207 с. - ISBN 5-88800-226-7.
  4. ↑Міщенко О.С, Фоменко О.Т. Курс диференціальної геометрії та топології. - М.: Факторіал Прес, 2000. - 448 с. - ISBN 5-88688-048-8.

  Ця стаття має статус «готової». Це не говорить про якість статті, проте в ній вже достатньо розкрито основну тему. Якщо ви хочете покращити статтю – правте сміливо!

  ГЕОМЕТРІЯ

  ГЕОМЕТРІЯ, розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. У планіметрії розглядаються постаті на площині; у стереометрії вивчаються просторові постаті.

  ІСТОРІЯ

  Єгипет.

  Якщо не враховувати вельми скромний внесок древніх мешканців долини між Тигром і Євфратом і Малою Азією, то геометрія зародилася в Стародавньому Єгипті до 1700 р. до н.е. Під час сезону тропічних дощів Ніл поповнював свої запаси води та розливався. Вода покривала ділянки обробленої землі, й у цілях оподаткування треба було встановити, скільки землі втрачено. Землеміри використовували як вимірювальний інструмент туго натягнуту мотузку. Ще одним стимулом накопичення геометричних знань єгиптянами стали такі види їхньої діяльності, як зведення пірамід та образотворче мистецтво.

  Основним джерелом наших знань про давньоєгипетську геометрію є приблизно 1700 до н.е.папірус Рінда, названий на ім'я власника, єгиптолога Рінда (цей папірус також називається папірусом Ахмеса) і що зберігається нині в Лондоні в Британському музеї. Папірус Ринда свідчить у тому, що древніх єгиптян цікавили переважно практичні аспекти геометрії і що з накопиченні геометричних фактів єгиптяни майже цілком керувалися інтуїцією, експериментом і наближеними уявленнями.

  Греція.

  Близько 600 до н. іонійські греки, які здійснили подорож до Єгипту, привезли на батьківщину перші відомості про геометрію. Найвідомішим мандрівником до Єгипту був Фалес (бл. 640 – бл. 546 до н.е.). Він був процвітаючим купцем, який присвятив останні роки життя науці та політиці. Фалес першим почав доводити істинність геометричних співвідношень, послідовно виводячи їх логічно з деякого набору загальноприйнятих тверджень, які називаються аксіомами або постулатами. Цей метод дедуктивного міркування, який мав стати домінуючим у геометрії і фактично – у всій математиці, зберігає своє фундаментальне значення й у наші дні.

  Одним із найзнаменитіших учнів Фалеса був Піфагор (бл. 570 – бл. 500 до н.е.). Він багато подорожував, а потім оселився в Кротоні, Італії, де заснував суспільство, що займалося вивченням арифметики, музики, геометрії та астрономії. Піфагор і його послідовники довели багато нових теорем про трикутники, кола, пропорції і деякі тривимірні тіла. Піфагор довів також знамениту теорему, що носить нині його ім'я, за якою площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

  Піфагор помер у вигнанні, але його вплив на грецьких математиків відчувалося багато століть.Після його смерті в Елеї (місто в Італії) новими центрами геометрії, що розвивається, ставали по черзі Афіни та Олександрія. Архіт Тарентський (бл. 428 – бл. 365 до н.е.) та Гіппій Елідський (р. бл. 425 до н.е.) витратили багато зусиль на вирішення трьох завдань, які відігравали важливу роль у давньогрецькій математиці: це завдання про трисекцію кута про побудову квадрата, площа якого дорівнює площі даного кола (завдання про квадратуру кола), і про побудову куба, що має вдвічі більший обсяг, ніж цей куб (завдання про подвоєння куба). Хоча нині відомо, що за допомогою циркуля та лінійки (єдиних знарядь геометричних побудов, відомих давньогрецьким математикам) ці завдання вирішити не можна, проте спроби це зробити не були марними. Вони стимулювали вивчення конічних перерізів та сприяли вдосконаленню математичних методів.

  Олександрія.

  Афінська школа вважала у своїх лавах таких великих людей, як Платон та Аристотель. Після смерті Аристотеля центр наукової думки перемістився до Олександрії (Єгипет), де на початку 3 ст. до н. було засновано знаменитий Олександрійський Мусейон – одне із головних наукових центрів античного світу. Який жив у Олександрії математик Евклід (3 в. до н.е.), біографічні відомості про який вкрай мізерні, зібрав у 13 книгах свого твору значну частину математичних знань того часу. Сім книг із 13 були присвячені геометрії, предмет якої був їм ретельно та систематично викладений, різні твердження та теореми розташовані у певному порядку та перенумеровані. Було включено також теорія просторових тіл, обмежених плоскими поверхнями. Називався цей великий твір Початок, і наступні видання, що точно дотримуються оригіналу, стали основою навчання геометрії аж до нашого часу. Найбільшим математиком античності був грек Архімед (бл. 287-212 до н.е.). Крім багатьох інших отриманих ним наукових результатів і відкриттів, Архімед розширив ту частину Почав Евкліда, в якій розглядалися просторові тіла, включивши до них сферу, циліндр і конус. Іншими великими олександрійськими геометрами були Аполлоній Пергський (3 в. е.; конічні перерізи), Птолемей (2 в. н.е.; астрономія) і Папп (3 в. н.е.; плоскі криві вищих порядків). У 641 н.е. араби пограбували Олександрію та зруйнували Мусейон та його бібліотеку. Втім, грецька математика набула період застою ще на початку 4 в. н.е., після смерті Паппа. також Стародавня Греція.

  Середньовіччя.

  Після падіння Олександрії більшість праць давньогрецьких математиків були розсіяні чи втрачені. Деякі з них, у тому числі Початок Евкліда, були перекладені та вивчалися арабами та індійцями. І хоча ці народи породили кількох великих математиків, серед яких найбільш відомі індійські математики Аріабхата (бл. 476 – бл. 550) та Бхаскара II (бл. 1114–1185), все ж таки їх найбільшою заслугою слід вважати збереження геометрії в період Середньовіччя.

  Після падіння Римської імперії у 5 ст. наука у Європі тривалий час перебувала майже у повному забутті. У 12 та 13 ст. Початок були перекладені з грецької та арабської латиною та сучасними європейськими мовами, а геометрія увійшла до програми монастирських шкіл. Перший з цих перекладів був виконаний Аделардом Батським у 1120 році.

  Новий час.

  За останні 300 років доказова геометрія була суттєво розширена, а за своїми методами та ступенем спільності результатів вона стала помітно відрізнятися від елементарної геометрії (тобто геометрії, викладеної в Початках). Французький математик Ж. Дезарг (1593-1662) у зв'язку з розвитком вчення про перспективу зайнявся дослідженням властивостей геометричних фігур залежно від їх проекцій. Тим самим він заклав основу проективної геометрії, яка вивчає властивості фігур, які залишаються незмінними при різних проекціях. У 19 ст. цей напрямок набув суттєвого розвитку. Проективна геометрія, конічні перерізи та нова геометрія трикутників та кіл складали зміст сучасної т.зв. чистої геометрії.

  Тісно пов'язана з проективною, нарисна геометрія була введена французьким математиком Г.Монжем (1746-1818). Ця нова область геометрії була пов'язана з представленням зображень геометричних фігур на площині та визначенням геометричними засобами відстаней, кутів та ліній перетину. Нарисна геометрія є основою технічного креслення.

  У 1637 р. Декарт (1596-1650), французький філософ і математик, опублікував свою Геометрію - Перша праця з аналітичної геометрії, що дозволила застосувати в геометрії потужні методи алгебри. Геометричні завдання всіх видів тепер могли вирішуватись у рамках єдиного підходу; крім того, завдяки новим методам стала можливою постановка і розв'язання нових завдань, про які давні не могли навіть подумати, але які нині перебувають у центрі математики та математичної фізики.

  З часів першої появи Почав математики марно намагалися довести п'ятий постулат Евкліда: через точку, що не лежить на прямій, можна провести лише одну пряму, їй паралельну. У 19 ст. було доведено, що можна побудувати несуперечливу геометрію, використовуючи всі аксіоми і постулати Евкліда та заперечення постулату про паралельні, а це означало, що доказу п'ятого постулату не шукається. Будь-яка така несуперечлива геометрія отримала назву неевклідової геометрії. Близько 1830 Я. Бойяї (1802-1860) і Н. І. Лобачевський (1792-1856) незалежно один від одного побудували геометрію, що використовувала постулат, згідно з яким через точку, що лежить поза прямою, можна провести багато прямих, їй паралельних. У 1854 Б. Ріман (1826-1866) сформулював постулат, згідно з яким через точку поза прямою неможливо провести жодної паралельної, що дало початок т.зв. риманової геометрії. Неевклідова математика розширилася і почала включати тригонометрію, аналітичну і диференціальну геометрії, охопивши як планиметрію, а й стереометрію, і навіть геометрію просторів розмірності більше трьох (геометрію гиперпространств). Евклідова та обидві неевклідові геометрії однаково добре служать для опису тієї обмеженої області простору, в якій ми живемо, хоча геометрія Евкліда простіше за формою. У той самий час під час переходу до риманової геометрії деякі сучасні фізичні теорії значно спрощуються. Див. також МАТЕМАТИКИ ІСТОРІЯ.

  ЕЛЕМЕНТАРНА ПЛАНІМЕТРІЯ

  Аксіоми та постулати.

  Існує набір вихідних посилок, званих аксіомами та постулатами, на яких базується вся структура геометрії.

  Аксіоми.

  Аксіоми – це твердження, які приймаються за справжні без доказів.Аксіоми зазвичай поділяються на дві групи: загальні, що стосуються всієї математики, та геометричні.

  До загальних аксіом відносяться такі.

  1. Рівні одному й тому рівні між собою.
  2. Якщо до рівних додаються рівні, то суми будуть рівними.
  3. Якщо від рівних віднімаються рівні, то залишки будуть рівними.
  4. Якщо рівні помножити на рівні, то твори будуть рівними.
  5. Якщо рівні поділити на рівні, то приватні будуть рівними.
  6. Однакові ступеня рівних, а також коріння однакового ступеня з рівних рівні.
  7. Ціле більше за будь-яку свою частину.
  8. Ціле дорівнює сумі своїх частин.

  До геометричних аксіом відносяться такі.

  1. Через будь-які дві дані точки можна провести лише одну пряму.
  2. Геометричну фігуру можна переміщати у просторі, не змінюючи ні її розмірів, ні її форми.
  3. Геометричні фігури, які збігаються після накладання, конгруентні (тобто рівні).
  4. Пряма є найкоротша відстань між двома точками.

  Постулати.

  Наступні постулати стосуються побудов і беруться за справжні без доказів.

  1. Через будь-які дві ці точки можна провести пряму.
  2. Пряма може бути продовжена нескінченно або обмежена в будь-якій своїй точці.
  3. Окружність може бути описана навколо будь-якої даної точки як центру та з будь-яким радіусом.
  4. Усі прямі кути рівні.
  5. Через точку, що не лежить на прямій, можна провести одну і лише одну пряму, їй паралельну.

  Деякі геометричні фігури, побудови та висновки.

  Багато термінів, що використовуються для опису фігур у геометрії, настільки фундаментальні, що визначити їх неможливо.Всі спроби зробити це призводили лише до заміни одних термінів іншими, настільки ж невизначеними, або простого опису деяких властивостей фігур. Наприклад, термін "крапка" не піддається визначенню.

  Лінії.

  Термін «лінія» (або «крива» в широкому значенні слова) не має визначення, хоча подумки лінію можна уявити як слід точки, що рухається. Численні спроби визначити пряму лінію (рис. 1,а) не мали успіху. Багато з цих спроб апелювали до фізичного експерименту, наприклад, "пряма - це туго натягнута лінія". Найчастіше наводиться опис прямий, запропонований Архімедом: «Пряма – це найкоротша відстань між двома точками». Це «визначення», проте, лише замінює невизначене поняття прямизни настільки ж невизначеним поняттям відстані. Передбачається, що пряма нескінченна, тобто. її можна необмежено продовжити в обидві сторони. Частина прямої називається відрізком. Ламана (рис. 1,б) складається з прямолінійних відрізків. Кривий (рис. 1,в) називається лінія, жодна частина якої не є прямою.

  Як показано на рис. 1,г, 1,д та 1,е, Прямі можуть бути паралельними, перпендикулярними і похилими. Паралельні прямі – це прямі, відстань між якими скрізь однакова. На рис. 1,г показано, як побудувати пряму, паралельну даній прямій L та віддалену від неї на задану відстань. Береться коло, радіус якого дорівнює даній відстані. Проводяться дві дуги з центрами у двох різних точках прямої L. Пряма, що стосується обох дуг, і є та пряма, яку потрібно побудувати.

  На рис. 1,д показано, як побудувати пряму через точку. Р і перпендикулярну до прямої L. Порядок, у якому робляться засічки дугами, вказані номерами [першими слід провести (у будь-якій послідовності) або дугу 1 або дугу 1в]. Для проведення дуг 2 і 2в циркуль встановлюється в точці перетину прямої L дугами 1 і 1в відповідно, радіуси залишаються ті самі. Пряма, що проходить через точку Р і точку перетину дуг 2 і 2в є шуканий перпендикуляр. Перпендикуляр - це найкоротша лінія, яку можна провести від точки до прямої, на яку він опущений, і відстань від точки до прямої за визначенням дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з неї на пряму.

  Кути.

  Кутом називається фігура, утворена двома напівпрямими, що виходять із однієї точки. Ця точка називається вершиною кута, а напівпрямі – сторонами кута. Якщо сторони кута перпендикулярні одна одній, то кут, що утворюється ними, називається прямим (рис. 2,а). Кути менше прямого називаються гострими (рис. 2,б), а кути більше прямого – тупими (рис. 2,в). Розгорнутим називається кут, обидві сторони якого лежать на одній прямій (рис. 2,г); такий кут дорівнює двом прямим кутам. Бісектрисою кута називається пряма, що проходить через його вершину і ділить кут навпіл. Кути можна вимірювати кількісно, ​​якщо визначити одиницю виміру кута (кут в один градус) як 1/180 розгорнутого кута. Таким чином, прямий кут містить 90 °, а кут на рис. 2,д містить більше 180 °, але менше 360 °.

  На рис. 2,е, 2,ж, 2,з та 2,і показано, як співвідносяться між собою кути деяких фігур. Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими напівпрямими сторонами іншого (рис. 2,е). Вертикальні кути рівні. Додаткові кути в сумі становлять 90° (рис. 2,ж), а суміжні кути в сумі дають 180 ° (рис. 2,з).Якщо пряма перетинає дві паралельні прямі, як у рис. 2,і, то кути E, B, C і H рівні, і кути F, A, D і G також рівні між собою. Кути між паралельними (кути А, У, З, D на малюнку) називаються внутрішніми, а кути, що лежать поза паралельними – зовнішніми. Той факт, що паралельні утворюють з прямої рівні кути, що перетинає їх, використовується при кресленні паралельних прямих (рис. 2,м).

  На рис. 2,до показано, як за допомогою циркуля та лінійки розділити навпіл цей кут: пряма VA - Бісектриса кута. На рис. 2,л показано, як подвоїти цей кут.

  Традиційно в елементарній геометрії виконувались лише геометричні побудови, які можна здійснити, використовуючи лише циркуль та лінійку без поділів. Загального підходу до таких побудов немає, і успіх майже повністю залежить від наполегливості та винахідливості. Так, наприклад, може здатися, що завдання про розподіл кута на три рівні частини, т.зв. трисекція кута, досить легка, оскільки подібне з нею завдання поділу кута навпіл вирішується досить просто. Однак упродовж століть усі зусилля як любителів, так і професіоналів здійснити трисекцію кута незмінно закінчувалися невдачею. Щоправда, це завдання вдалося вирішити, використовуючи деякі плоскі криві вищих порядків, наприклад, конхоїду та квадратрису, а Архімед показав, як можна було б вирішити задачу про трисекцію кута за допомогою лінійки з двома мітками (рис. 2,н). У запропонованому ним розв'язанні задачі на ребрі лінійки відкладається відстань МР, рівне радіусу ON. Лінійка кладеться так, щоб її край проходив через крапку Nтоді точка М потрапляє на продовження прямої OL, а крапка P - На коло.Завдання про трисекцію кута еквівалентне пошуку геометричної побудови, що дозволяє знаходити коріння рівняння x 3 – 2 = 0. У 1837 питання трисекції було остаточно вирішено французьким математиком П.Ванцелем, який дав суворий доказ неможливості точної трисекції кута у випадку з допомогою циркуля і лінійки.

  Трикутники.

  Трикутником називається плоска постать, обмежена трьома прямими. У трикутника можуть бути три нерівні сторони (різносторонній трикутник), дві рівні сторони (рівностегновий трикутник) або три рівні сторони (рівносторонній трикутник) (рис. 3,а, 3,б, 3,в). У рівнобедреному трикутнику кути, що лежать проти рівних сторін (кути a і b на рис. 3,б), рівні; у рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.

  Прямокутним називається трикутник (рис. 3,г), у якого один із кутів прямий. Сторона, що лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою; Дві сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. Деякі співвідношення між довжинами сторін прямокутного трикутника ми наведемо у позначеннях, вказаних на рис. 3,д. Знаменита теорема Піфагора свідчить; квадрат довжини гіпотенузи у прямокутному трикутнику дорівнює сумі квадратів довжин катетів, або c 2 = a 2 + b 2 .

  Довжина перпендикуляра h, опущеного з вершини прямого кута на гіпотенузу, є середнє пропорційне довжин відрізків, на які основа перпендикуляра ділить гіпотенузу:

  Кути усередині трикутника називаються внутрішніми; кути, які утворюються, якщо сторони трикутника продовжити за їхні вершини, називаються зовнішніми (рис. 3,е). Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює розгорнутому кутку. Будь-який зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, що не мають з ним загальної вершини (РD = РA + РB).

  Відрізок прямий, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називається медіаною. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини. Наприклад, на рис. 3,ж відрізок АТ складає 2/3 від довжини відрізка АС. Точка перетину медіан є також центром тяжкості трикутника (трикутник, вирізаний з однорідного по товщині та щільності матеріалу і підвішений у цій точці, буде у рівновазі). Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений із однієї з його вершин на протилежну сторону (або її продовження). Усі три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром (рис. 3,з); бісектриси всіх кутів трикутника також перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола (рис. 3,і) і рівновіддалена від усіх сторін трикутника.

  Пряма, що перетинає трикутник і паралельна до однієї з його сторін, ділить дві інші сторони на пропорційні відрізки. На рис. 3,до a/b = e/c = f/d. Бісектриса будь-якого кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні довжинам сторін, що утворюють кут. На рис. 3,л, якщо РA = РB, то c/a = d/b.

  Два трикутники (будь-які фігури) називаються рівними (або конгруентними), якщо вони перекладаються одна в одну перетвореннями руху. Перетворення однієї постаті на іншу називається рухом, якщо вона зберігає відстані між точками.Можна довести три ознаки рівності трикутників: два трикутники рівні, якщо 1) дві сторони та кут між ними одного трикутника рівні відповідно двом сторонам та куту між ними іншого трикутника; 2) сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні відповідно до сторони та прилеглих до них кутів іншого трикутника; і 3) три сторони одного трикутника рівні відповідно до трьох сторін іншого трикутника. Якщо трикутники можна перевести один в одного перетворенням руху, що не виводить їх з площини, в якій вони лежать, то вони називаються власне конгруентними; якщо ж один із трикутників необхідно перевернути, то трикутники називаються невласне конгруентними.

  Перетворення однієї фігури в іншу називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне й те саме число разів. Дві фігури подібні, якщо вони перетворюються одна на одну перетворенням подібності.

  Якщо два трикутники подібні (рис. 3,м), їх кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Пропорційним дільником, зображеним на рис. 3,н, користуються для того, щоб збільшити або зменшити креслення в необхідну кількість разів.

  Площа будь-якого трикутника дорівнює половині добутку його сторони на проведену в ній висоту:

  Якщо трикутник рівносторонній, його площа дорівнює , де а - Довжина сторони. Якщо а, b, c - Довжини сторін трикутника, то його площа визначається за формулою

  висновок якої приписують Герону (s - Напівпериметр).

  Чотирикутники.

  Чотирьохкутником є ​​будь-яка плоска фігура, обмежена чотирма прямими (рис. 4). Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони мають рівну довжину. Ромб (мал.4,г) – це паралелограм, усі сторони якого рівні, а прямокутник (рис. 4,д) - це паралелограм, у якого всі кути прямі. Діагоналі паралелограма (рис. 4,ж) у точці перетину діляться навпіл; у прямокутнику діагоналі рівні. Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші – непаралельні. Паралельні сторони називаються основами. Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму її основ: A = h [(b + d)/2]. Площа паралелограма A = bh. Один з методів визначення площі чотирикутника полягає в розбитті фігури на два трикутники за допомогою діагоналі і в обчисленні суми площ трикутників, що утворилися.

  Цікавим додатком властивостей паралелограма служить шарнірний пантограф (рис. 4,з), що використовується для перекреслення креслень та інших графічних зображень у більшому чи меншому масштабі. Пантограф є шарнірним механізмом, що має форму паралелограма, закріплений у вершині. А, зі ланкою DC, продовженим до точки Р. Пряма РА перетинає ланку СВ у точці Р у. Ланка СВ завжди паралельно ланці DAотже трикутники PDA і PCP у подібні. Тому CP у = DAЧPC/PD, а ця величина стала, тому точка Р у ланки СВ також лежить на прямій, що з'єднує точки Р і А. З двох розглянутих вище подібних трикутників випливає, що відношення РА/Р уА також постійно. Отже, у будь-якому положенні пантографа переміщення точки Р у пропорційно переміщенню точки Р. Якщо точка Р рухається по контуру будь-якої фігури, то точка Р у, в якій знаходиться вістря олівця, повторює без спотворень цей контур у зменшеному масштабі.Відношення масштабів оригіналу та копії дорівнює РА/Р уА = PD/CD.

  Багатокутники.

  Багатокутником називається плоска фігура, обмежена замкненою ламаною лінією, ланки якої називаються сторонами. Багатокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній напівплощині щодо будь-якої прямої, що містить його бік. Випуклий багатокутник називається правильним, якщо всі сторони та кути його рівні. Відстань від центру правильного багатокутника до будь-якої сторони дорівнює радіусу вписаного в нього кола (позначений на рис. 5,а буквою а). Площа правильного багатокутника дорівнює добутку половини радіусу на периметр:

  У табл. 1 наведено назви та формули для площ деяких правильних багатокутників (s означає довжину сторони).

  Таблиця 1. НАЗВИ І ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ

  Число сторін

  Назва багатокутника

  Площа правильного багатокутника