Число в першому та нульовому ступені

У записі 7 4 число 7 — це основа ступенятобто число, що повторюється співмножником, а число 4 - показник ступенятобто число, що показує кількість однакових співмножників.

Перший ступінь числа

Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі, тому що показник ступеня 1 показує, що число береться співмножником всього один раз, тобто воно ні на що не множиться, а просто залишається без змін.

Нульовий ступінь числа

Будь-яке число в нульовому ступені (за винятком 0) дорівнює 1.

Щоб розібратися, чому число в нульовому ступені дорівнює 1, треба згадати правило поділу ступенів з однаковими підставами:

При розподілі ступенів з однаковими основами з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

Отже, якщо розділити однакові ступеня з однаковими основами, то в результаті вийде основа в нульовому ступені:

a 3 : a 3 = a 3-3 = a 0 .

Так як два однакових числа, взятих в одній і тій же мірі, рівні, по суті, є одним і тим же числом, то при їх розподілі в приватному виходить одиниця. Значить:

a 3 : a 3 = 1.

Отже, будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці. Це можна легко довести, провівши перевірку поділу множенням, помноживши приватне дільник:

a 0 · a 3 = a 0+3 = a 3

1 · a 3 = a 3 .

Дії зі ступенями: формули та приклади

У математиці передбачено різні операції для чисел, величин, функцій. У завданнях нерідко можна зустріти приклади, де певне значення необхідно звести певний ступінь. Подібні дії мають ряд особливостей та властивостей, які важливо враховувати для спрощення обчислень та виключення помилок у розрахунках. Почати вивчення теми слід із запровадження ключового поняття.

Ступенем називають операцію в математиці, спрямовану на зведення числа у певний ступінь, або показник.

Складові елементи ступеня довільного числового значення:

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Основа ступеня є числом зі знаком плюсу чи мінуса, яке необхідно звести у заданий ступінь.

Показник ступеня є деяким числом, яке уточнює скільки разів необхідно виконати множення підстави на себе.

Показник ступеня вибирають з будь-якої числової множини:

При позначенні ступеня використовують спеціальний запис. Наприклад, в \(2^3\) основа дорівнює 2 і зводиться в ступінь, відповідну 3. За підсумками обчислення ступеня отримують відмінне від первісного значення, розраховане шляхом множення основи на себе таку кількість разів, яка зазначена в показнику.

Властивості ступенів

Розглянемо властивості, характерні для ступенів із натуральним показником:

• добуток числового значення на себе протягом декількох разів дає результат у вигляді ступеня з показником, рівним підсумовування показників, тобто:
• приватна пара ступенів, які записані з ідентичними підставами, відповідає ступеню з показником, що обчислюється за допомогою віднімання показників: \(\frac= a^<(m – n)>;\)
• у процесі зведення ступеня в ступінь з рівними основами одержують ступінь, показник якого відповідає результату множення показників, тобто: ((a^m)^n = a^<(m – n)>;\)
• якщо помножити ступінь на твір з ідентичним знову, то вийде добуток ступенів, які містять показник, що обчислюється як добуток показників: \(a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m;\)
• приватне від розподілу ступеня добуток за рівних значеннях снования дає у результаті приватне ступенів з показником, розрахованим під час віднімання показників, тобто: \(\frac= (\frac)^m.\)

У разі ступенів, які мають цілий показник, передбачено кілька специфічних особливостей:

• результатом зведення чисельного значення нульовий ступінь є 1, наприклад, \(a^0 = 1\) ;
• якщо звести число у ступінь зі знаком мінуса, то результатом розрахунків стане зворотне число, зведене на позитивний ступінь, тобто: (a^= \frac\) .

У завданнях підвищеного рівня складності трапляються приклади обчислення ступенів з раціональними показниками. Спростити подібні розрахунки зручно за допомогою характерних для даного типу статечних виразів властивостей:

Дії зі ступенями

Зі ступенями роблять різні математичні дії. При виконанні розрахунків необхідно враховувати принципи та правила обчислень. Розглянемо основні види процесів. Якщо ступеня мають ідентичні підстави, то добуток таких ступенів обчислюють шляхом складання показників та запису підстави без змін, тобто:

Знайти приватне від поділу ступенів, що володіють підставами, що не відрізняються, допустимо за допомогою запису аналогічної основи і віднімання показників за формулою:

Ступінь можна зводити на будь-який ступінь. При цьому необхідно переписати основу без змін та виконати множення вихідних показників. Озвучена дія зручно подати у вигляді математичного співвідношення:

Твір з певними множниками також можна звести в ступінь. У процесі обчислень цього виразу потрібно послідовно звести в заданий ступінь кожен із множників, тобто:

\((a\cdot b\cdot c)^m=a^m\cdot b^m\cdot c^m\)

При обчисленні ступеня приватного чи дробового числа, потрібно виконати зведення в наявний ступінь чисельника та знаменника за допомогою універсальної формули:

Таблиця

При виконанні завдань на зведення у ступінь невеликих числових значень допустимо скористатися табличною формою, де подано відповідні результати розрахунків:

Приклади розв'язання задач

Застосовуючи вивчені властивості та принципи математичних дій зі ступенями, потрібно обчислити результат наступного виразу: \(\frac \cdot 8^>>\)

На першому етапі необхідно проаналізувати заданий вираз. Зауважимо, що у чисельнику та знаменнику дробу записані ступеня. Зручно привести ступені над дробовою рисою до однієї основи. З цією метою виконаємо відповідні перетворення:

Після нескладних математичних дій вдалося представити початковий вираз у форматі, що підходить для подальших обчислень:

Є деякий твір (27 \ cdot 3 ^ n \) . Необхідно обчислити, чому дорівнює значення записаного виразу.

Зауважимо, що числовий множник, що дорівнює 27, допустимо подати у вигляді ступеня, а саме:

В результаті вдалося перетворити вихідний вираз на множення ступенів, які не відрізняються на підставах. Скористаємося правилом обчислення добутку подібних значень, що передбачає запис підстави без змін та складання показників. Виконаємо відповідні розрахунки та запишемо остаточну відповідь:

\(27 \cdot 3^n = 3^3 \cdot 3^n = 3^\)

Необхідно знайти, чому відповідає значення даного виразу: \(\frac>\cdot 5^>\)

За аналогією з попередніми прикладами почнемо обчислення з аналізу представленого запису.

Далі скористаємося правилом поділу і множення ступенів.

Число в першому та нульовому ступені

Зведення числа в ступінь - це операція, яка включає множення числа на себе певну кількість разів.

• Підстава - це число, яке ми множимо.
• Показник ступеня вказує, скільки разів основа перемножується.

Число в нульовому ступені

Згідно з правилом, будь-яке число, зведене в нульовий ступінь, дорівнюватиме одиниці.
Число в нульовому ступені (а^0) має особливі властивості. Незалежно від значення числа а воно при зведенні в нульовий ступінь дорівнює 1 за винятком нуля.

Число в першому ступені

Будь-яке число, зведене в 1 ступінь, дорівнює самому собі.
Число в 1 ступеня (x^1) зазвичай розглядається як x без змін.

Число в першій і в нульовій мірі відіграє важливу роль в алгебрі та математичних операціях.