Стереометрія

Стереометрія - розділ евклідової геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі.

Якщо основними постатями планиметрії є точка і пряма, то стереометрії до вивчення додається площина.

Приклади стереометричних фігур:

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

• куля;
• сфера;
• конус;
• циліндр;
• призму і таке інше.

Нерідко основним способом вирішення завдань у стереометрії є розгляд різноманітних площин при виконанні планиметричних законів.

У стереометрії використовуються такі позначення:

• великі літери A,B,C,D позначають точки;
• малі літери позначають прямі, наприклад, AB = a;
• площини, як правило, позначаються такими літерами як \(\alpha,\;\beta,\;\gamma\) та подібними;
• приналежність точок до прямої або точок і прямих до площини позначається стандартно: \(A\;\in\;a\) або \(b\;\in\;\alpha.\)

Базові теореми, аксіоми та визначення стереометрії

Переріз багатогранників

При вирішенні завдань із стереометрії нерідко доведеться будувати перерізи багатогранників на певній площині. Далі наведено базові визначення, що відносяться до перерізу.

Сікучою площину буде називатися у випадку, якщо по обидві сторони від неї будуть точки піраміди, куба, паралелепіпеда або призми.

Перетином піраміди, куба, паралелепіпеда або призми буде фігура, яка складається з усіх точок, що є загальними фігури і площині.

Сікуча площина перетинатиме грані піраміди, куба, паралелепіпеда або призми по відрізках, тому перетин є багатокутником, який лежить в січній площині, зі сторонами - зазначеними відрізками.

Щоб побудувати переріз вказаних вище фігур стереометрії, необхідно побудувати точки перетину січної площини і ребер фігури, а потім з'єднуватися кожні дві з них, які лежать в одній грані.

Симетрія фігур

1. Точки A і B будуть симетричними щодо точки O у випадках, коли O — середина відрізка AB.
2. Точки A і B будуть симетричними щодо прямої C у тих випадках, коли пряма C проходитиме через середину відрізка AB і буде йому перпендикулярна.
3. Точки A і B будуть симетричними щодо площини \(\beta\) у тих випадках, коли площина буде проходити через середину відрізка AB і буде йому перпендикулярна.
4. Точка О (пряма c, площина \(\beta\) ) буде центром симетрії фігури в тих випадках, коли всі точки фігури симетричні щодо точки O (прямий C, площині \(\beta\) ) будь-якій точці цієї ж фігури .
5. Випуклий багатогранник буде правильним у тих випадках, коли всі його грані — рівні між собою правильні багатокутники і в кожній вершині сходиться те саме кількість ребер.

Взаємне розташування прямих у просторі

У просторі прямі лежать або в одній площині або в різних площинах.

1. Дві прямі в просторі будуть паралельними в тих випадках, коли вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.
2. Дві прямі в просторі будуть перетинатися в тих випадках, коли вони лежать в одній площині і мають загальну точку.
3. Дві прямі в просторі будуть схрещуватися в тих випадках, коли вони не лежать в одній площині.

Відстань між фігурами

1. Відстанню між фігурами називатиметься найменша серед відстаней між їхніми точками.
2. Відстань між двома прямими, що схрещуються, буде відповідати величині відрізка з кінцями на цих прямих, який перпендикулярний їм обом. Для кожних двох прямих, що схрещуються, такий відрізок існує і єдиний.
3. Відстань між двома прямими, що схрещуються, дорівнюватиме відстані між паралельними площинами, в яких вони лежать.
4. Відстань між двома прямими, що схрещуються, дорівнюватиме відстані від однієї з них до паралельної їй площині, яка проходить через другу пряму.
5. Відстань між двома прямими, що схрещуються, дорівнюватиме відстані між їх проекціями на площину, яка перпендикулярна одній з них.

Основні теореми стереометрії

Теореми про паралельність прямих та площин

1. Якщо пряма AB паралельна до якої-небудь прямої CD, розташованої в площині P, то вона паралельна самій площині.

1. Якщо площина R проходить через пряму AB, паралельну до іншої площини P, і перетинає цю площину, то лінія перетину CD паралельна першій прямій AB.
2. Якщо дві паралельні площини P і Q перетинаються третьою площиною R, лінії перетину AB і CD паралельні.

1. Якщо дві прямі, що перетинаються, AB і DC однієї площини відповідно паралельні двом прямим A₁B₁ та C₁D₁ інший площині, то ці площини є паралельними.

Теореми про перпендикулярність прямих і площин

1. Для того щоб пряма AB була перпендикулярна площині P, необхідно і достатньо, щоб вона була перпендикулярна двом довільним непаралельним прямим CD і EF, що лежить в цій площині.

1. Для того щоб пряма DE проведена на площині P через основу похилої AC була їй перпендикулярна, необхідно і достатньо, щоб ця пряма була перпендикулярна до проекції BC, похилої на площину P (достатня умова цієї теореми називається «Теоремою про три перпендикуляри»: AC, BC, DE).

1. Якщо дві прямі AB і CD перпендикулярні одній площині P, вони паралельні між собою.

1. Якщо дві площини P і Q перпендикулярні до однієї прямої AB, то вони паралельні один одному.

Теореми про перпендикулярність площин

1. Якщо площина P проходить через перпендикуляр до іншої площини Q, то площина P перпендикулярна до площини Q.

1. Якщо дві площини P і Q взаємно перпендикулярні, то пряма, проведена в одній площині перпендикулярно лінії перетину площин, перпендикулярна до іншої площини.

Теорема про схрещувальні прямі

1. Кут \(\alpha\) між прямими схрещуються AB і CD визначається як кут між однією з цих прямих (наприклад, CD) і будь-який прямий A₁B₁, що проходить через її довільну точку E паралельно до іншої прямої.

1. Відстань h між прямими схрещуються AB і CD визначається як найкоротша відстань від однієї з цих прямих і може бути знайдена як відстань від однієї з цих прямих (наприклад, AB) до площини P, що проходить через іншу пряму CD паралельно першої.

Основні аксіоми стереометрії

Розглянемо чотири основні аксіоми стереометрії.

1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і при цьому лише одна.
2. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то кожна точка цієї прямої лежить у цій площині. У такому разі кажуть, що пряма лежить у площині, або, що площина проходить через пряму.
3. Якщо дві площини мають загальну точку, вони мають спільну пряму, якій належать всі загальні точки цих площин. Тоді вважається, що площини перетинаються прямою.
4. У будь-якій площині простору виконуються всі аксіоми планіметрії. Тобто для будь-якої площини простору справедливі всі доведені теореми та формули з планіметрії.

Додаткові аксіоми стереометрії

1. Для будь-якої площини у просторі існують точки, що належать даній площині та точки, що не належать їй.
2. Дві різні площини, які мають одну загальну точку, будуть перетинатися прямою, що проходить через цю точку.
3. Через дві різні прямі, які мають загальну точку, може бути проведена лише одна площина.

Наслідки з аксіом стереометрії

1. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину і лише одна.
2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.
3. Через дві паралельні прямі проходить площину і лише одна.
4. З аксіоми 2 випливає, що пряма, яка не лежить у площині, не може мати з площиною більше однієї загальної точки. Якщо пряма та площина мають лише одну загальну точку, то кажуть, що пряма перетинає площину.

Основні стереометричні фігури

1. Багатогранник - Геометричне тіло, яке є обмеженою кількістю плоских багатокутників. Якщо взяти два будь-які плоскі багатокутники, що мають сторону, то можна помітити, що вони не будуть лежать в одній площині.Ці багатокутники звуться граней, їх боку — ребра багатогранника, які вершини — вершини багатогранника. Фігура, яку утворюють усі грані багатогранника, має назву повна поверхня. Площу повної поверхні можна обчислити, склавши площі всіх граней.
2. Кубом називається багатогранник, який має шість граней, і всі вони рівні квадрати.
3. У паралелепіпеда є шість граней, і вони є паралелограммами. Ребра та вершини паралелепіпеда визначаються так само, як і у випадку інших багатогранників. Протилежні грані будуть називатися такими, якщо вони не мають спільного ребра, тоді як грані із загальним ребром звуться суміжних. Можлива ситуація, в якій дві протилежні грані паралелепіпеда виявляться виділеними та отримають назву підстав. В цьому випадку всі інші грані стануть бічними, а їхні сторони - бічними ребрами. При цьому, паралелепіпед, усі бічні грані якого — прямокутники, а не паралелограми, називатиметься прямим, а паралелепіпед із гранями-прямокутниками, називатиметься прямокутним.
4. Призма (n-вугільна) у стереометрії є багатогранником, дві грані якого є рівними n-кутниками. Решта ж граней (n) є паралелограмами. Підставами призми будуть рівні n-кутники, тоді як бічними гранями будуть паралелограми. Призма може бути також прямою. Така призма має прямокутники в ролі бічних граней. Правильною n-вугільною призмою називається призма з прямокутниками в ролі бічних граней, а її основами будуть правильні n-кутники. Для визначення площі бічної поверхні призми (S_бік), необхідно скласти всі площі бічних граней.А для знаходження площі поверхні призми (S_повний) знадобиться скласти площі всіх поверхонь. Обсяг (V) призми визначатиметься як добуток висоти (H) призми на площу снування (S_осн)
5. Піраміда (n-вугільна) є багатогранником з однією гранню у формі n-кутника, та іншими n гранями у формі трикутників із загальною вершиною. У такій піраміді n-кутник буде основою, а трикутники, які мають загальну вершину (вершина піраміди) – бічними гранями. Ребрами піраміди називають сторони її граней. n-вугільна піраміда може бути правильною. У цьому випадку її основа - це правильний n-кутник, рівні між собою бічні ребра, у той час як бічні грані - рівні між собою рівнобедрені трикутники. Для знаходження площі бічної поверхні піраміди (S_бік) необхідно знайти суму площ бічних граней. У той час як площа поверхні піраміди (S_повний) визначається через суму площ усіх граней піраміди.
6. Тетраедр - Це за своєю суттю трикутна піраміда. Усі її грані є прямокутниками, рівними між собою. Тетраедр є окремим випадком правильної трикутної піраміди.
7. Двогранний кут — це постать, яку утворюють дві площини, що мають спільну граничну пряму і частину простору, для якої півплощини будуть кордоном. Лінійним кутом у такому разі буде називатися кут зі сторонами, що є променями із загальним початком на ребрі двогранного кута. Ці промені повинні бути проведені в гранях кута перпендикулярно до ребра.
8. Циліндр являє собою коло з центром O і радіусом R, через усі точки якої проведено прямі, перпендикулярні площині кола.Циліндрична поверхня в даному випадку буде фігурою, яку утворюють прямі — циліндричній поверхні, що утворюють. Усі утворюючі є паралельними один одному і перпендикулярними до площини кола. Підставами циліндра є два рівні круги. Вісь циліндра - це відрізок, що з'єднує центри основ циліндра. Висота циліндра - це перпендикулярна пряма, проведена з будь-якої точки площини однієї з основ циліндра до площини другої основи.
9. Сферою називають замкнуту поверхню. Центром сфери буде точка, від якої рівновіддалені інші точки, чиє геометричне місце у просторі також називатиметься сферою. Сфера крім цього називається тілом обертання, яке утворене обертанням півкола навколо свого діаметра.

Наскільки корисною була для вас стаття?