Як літає космічна ракета (з прикладу РН Союз)?

Давно хотів розібратися і зрозуміти, хоч би приблизно, на якісному рівні, що є траєкторія космічної ракети? Яку траєкторію закладають у тому, щоб точно потрапити у задану орбіту? Якою має бути траєкторія для оптимального використання енергетичного ресурсу ракети-носія? Як швидко потрібно нахиляти ракету в процесі польоту? У цій статті поділюся з Вами своїми міркуваннями та обчисленнями.

За основу я взяв відео із офіційного Ютуб-каналу Роскосмосу з тимчасовою лінійкою параметрів польоту. З цими параметрами і порівнюватиму свої обчислення. Параметри ракети-носія взяті з Вікіпедії, зі сторінки з описом для РН Союз-2 (незважаючи на те, що на відео представлений запуск РН Союз-ФГ, енергетичні та тягові параметри у них однакові)

Заздалегідь зазначу, що опір повітря в розрахунках не буде враховано. За фізичну модель космічної ракети приймається матеріальна точка, тобто фізичні розміри ракети в розрахунках не беруть участь. Форма планети Земля приймається за кулю, місце старту – точка на поверхні цієї кулі. Прямокутна система координат прив'язана до площини, що стосується кулі в точці запуску з початком координат у точці запуску (далі - площина запуску). Також приймається, що траєкторія польоту є плоскою кривою, тому для розрахунків будуть використані лише дві координати: горизонтальна координата X - дальність, вертикальна координата Y - висота польоту щодо площини запуску.

Запуск космічного об'єкта виробляється на НГО - низьку навколоземну орбіту, у разі це приблизно 200 км над поверхнею Землі, тому параметр g - прискорення вільного падіння приймається величиною постійної, рівної значення поверхні Землі: 9,8 м/с^2. Також будемо вважати для спрощення розрахунків, що вектор сили тяжіння спрямований вертикально вниз на всьому проміжку траєкторії польоту (хоча він, очевидно, дещо повертається внаслідок руху ракети по колу щодо центру Землі). Витрата палива приймається постійним для кожного ступеня. Чого не можна сказати для тяги двигунів першого та другого ступенів на початковій ділянці польоту (до відділення першого ступеня). Тяга двигунів істотно залежить від тиску зовнішньої атмосфери: чим менше, тим більше тяга. Про це нам говорить різниця в тязі конкретного двигуна на рівні моря та у вакуумі, наприклад: РД-107А – двигун першого ступеня, тяга на рівні моря – 85,6 ТС, тяга у вакуумі – 104 ТС. Точка запуску приймається за рівень моря, на висоті відділення першого ступеня вважається вакуум. Я не знайшов ніде інформацію про те, як залежить потяг двигуна від зовнішнього тиску атмосфери, а відповідно і від висоти, тому в розрахунках буде використана лінійна залежність.

Процес польоту буде поділено на три етапи, за кількістю щаблів ракети. Розрахунок буде здійснено для кожного етапу польоту окремо і потім підсумовано в єдину траєкторію. Перший етап - з моменту старту до відділення першого ступеня, другий етап - з моменту відділення першого ступеня до моменту відділення другого ступеня, третій етап - з моменту відділення другого ступеня до моменту відділення третього ступеня.У процесі польоту ракета повертається (нахиляється), або, як кажуть, лягає в горизонт. Кут нахилу керується програмним автоматом або бортовим комп'ютером. етапів польоту ракети. Кут нахилу вважатимемо від вертикалі, тобто вертикальному положенню ракети відповідатиме 0 градусів, горизонтальному - 90 градусів. За основу розрахунків буде використано динаміку вільної матеріальної точки і вирішуватиметься друге завдання динаміки, тобто, за відомими масами точки і силами, що діють на неї, будуть обчислені закони її руху.

де - Маса точки, - Вектор прискорення, - Вектори прикладених до точки сил.

де - сумарна тяга двигунів, - сила тяжкості.

І рівняння набуде вигляду:

Розділимо обидві частини рівняння на m:

Космічна ракета - це тіло змінної маси, паливо згоряє, маса ракети зменшується витрата палива витратою маси. ракети, масу ракети після вироблення палива. Тоді є маса палива. Позначимо час роботи двигунів.

є витрата маси в одиницю часу і рівняння витрати маси набуде вигляду:

Підставимо це рівняння до рівняння динаміки:

Як було сказано вище, тяга двигуна залежить від зовнішнього тиску, це актуально для двигунів першого та другого ступенів до відділення першого ступеня, поки ракета летить у щільних шарах атмосфери. Тому чисельник першого складового правої частини рівняння теж має бути представлений у вигляді лінійної функції (вище обумовлювалося, що за відсутністю реального закону зміни тяги в залежності від тиску буде використано лінійну залежність). - тяга на старті, - тяга у вакуумі, T - час роботи двигунів до відділення першого ступеня. Тоді коефіцієнт зростання тяги буде

Для кожного етапу польоту це рівняння вважатиметься окремо. - сумарна тяга двигунів першого та другого ступенів на старті, - стартова маса ракети, - тяга двигуна другого ступеня, - маса ракети в момент після відділення першого ступеня, - тяга двигуна третього ступеня; - маса ракети в момент після відділення другого ступеня. Тепер розпишемо ці рівняння по осях координат, заздалегідь поставивши лінійний закон зміни кута нахилу ракети.

Для першого етапу польоту:

Для другого та третього етапів польоту:

Тепер замінимо у цих рівняннях усі прискорення на другу похідну від переміщення:

Ми отримали шість диференціальних рівнянь, які вирішуватимемо чисельним методом з початковими умовами за допомогою програми. Початкові умови для перших двох рівнянь приймаються нульовими (початкові координати та швидкість дорівнюють 0). Початкові умови інших рівнянь беруться з кінцевих значень рішень попередніх рівнянь відповідно.

Докладно розпишемо параметри ракети.

Перший ступінь (один бічний блок із чотирьох)

• Стартова вага: 44 413 кг
• Суха маса: 3784 кг
• Тяга: 85,6 тс / 104 тс
• Час роботи: 118 с

• Стартова вага: 99 765 кг
• Суха маса: 6545 кг
• Тяга: 80,8 тс / 94 тс
• Час роботи: 300 с

• Стартова вага: 27 755 кг
• Суха маса: 2355 кг
• Тяга: 30,38 тс
• Час роботи: 224 с (на відео третій ступінь відключається на 524 секунді польоту, 524 - 300 = 224)
• Маса на старті: M1 = 313 т Тяга на старті: 423,2 тс
• Витрата маси першого ступеня: (44413 - 3784)/118 = 344,3 кг/с * 4 = 1377,3 кг/с
• Витрата маси другого ступеня: k2 = (99765 - 6545)/300 = 310,7 кг/с
• Сумарна витрата маси до відділення першого ступеня: k1 = 1377,3 + 310,7 = 1688 кг/с
• Маса після відділення першого ступеня: M2 = 96752 кг
• Маса після відділення другого ступеня: M3 = 30693 кг
• Витрата маси третього ступеня: k3 = (27755 - 2355)/300 = 84,7 кг/с

Обчислення

Програма розрахунку траєкторії написана мовою Java. Для візуалізації траєкторії на площині використано бібліотеку awt. Рішення диференціальних рівнянь зроблено за допомогою уточненого методу Ейлера, докладний опис можна знайти, наприклад, у книзі В. М. Вержбицького "Чисельні методи". Код програми розрахунку доступний за посиланням.

Для того щоб відобразити траєкторію польоту щодо площини до траєкторії, застосована поправка кривизни (кривизна Землі лінеаризована).

Результати обчислень

Траєкторія з поправкою кривизни:

Траєкторія без поправки кривизни:

Порівняння результатів

У момент перед відстиковкою першого ступеня

Як влаштована ракета і чому вона летить Фрагмент книги американського фізика Луїса Блумфілда «Як усе працює»

Наприкінці жовтня видавництво Corpus за підтримки Політехнічного музею та «Книжкових проектів Дмитра Зіміна» випустить книгу фізика Луїса Блумфілда «Як усе працює. Закони фізики у нашому житті».Професор Віргінського університету просто і ясно пояснює, чому горять лампочки та котиться велосипед, як правильно поливати сад та як працюють кухонні плити. На початку грудня Луїс Блумфілд приїде до Москви на книжковий ярмарок Non/fiction, щоб подати свою книгу. З дозволу видавництва "Медуза" публікує фрагмент видання, який пояснює, чому летить ракета.

Незважаючи на всю складність конструкції сучасних космічних кораблів, ракета — один із найпростіших літальних апаратів. В основі її пристрою лежить принцип, згідно з яким всяка дія породжує протидію. Ракета летить, викидаючи певну речовину зі своєї хвостової частини. Незважаючи на всю цю простоту, ракети розроблялися і вдосконалювалися протягом більш як семисот років. Ракети використовуються в дослідженнях космосу, в озброєннях, у рятувальних операціях та розвагах.

Реактивний двигун

Серед найбільш вражаючих властивостей ракети — її здатність забезпечувати власний рух навіть у повній порожнечі космічного простору, а також досягати за рахунок цієї реактивної сили високих швидкостей. Якимось чином ракета штовхає сама себе без допомоги зовнішніх сил, і складається враження, ніби цей поштовх може повідомити їй велике прискорення.

Очевидно, насправді ракета не може сама себе зрушити з місця, так само як і ви не можете підняти себе над землею за шнурки своїх черевиків, і прискорення її має межу. Насправді ракета отримує рушійну реактивну силу, відштовхуючись від власного палива, а коли запас палива вичерпується, вона перестає набирати швидкість.Щоб зрозуміти, як ракета отримує реактивну силу із запасу палива, давайте подивимося, як працює третій закон Ньютона (той самий, що описує дію і протидію) стосовно ракет.

Уявіть собі, що ви сидите на льоду посеред замерзлого ставка і ваші швидкість і імпульс дорівнюють нулю, і вологий лід дуже слизький.

Оскільки ви маєте інерцію, то єдина надія зрушити - це отримати який-небудь поштовх ззовні. кросовку і кидайте її щосили у бік східного берега ставка. кросівку, ви своєю рукою прикладаєте до неї силу.

А що відбувається з вами?.. Ви переміщаєтеся до західного берега! але спрямований у протилежний бік. він може бути лише перерозподілений. Навіть після того, як ви кинули кросівку, ваш сумарний імпульс дорівнює нулю.

Природно, ваша маса набагато більша за масу кросівки, тому ви рухаєтеся набагато повільніше, ніж він.Імпульс дорівнює добутку маси на швидкість, і чим більша маса тіла, тим менша швидкість йому потрібна для отримання такого імпульсу. Так чи інакше ви досягли, чого хотіли, — ви повільно ковзаєте до західного берега.

Ваша кінцева швидкість має межу, тому що вам вдалося повідомити кросівці лише невеликий імпульс, і ви також отримали від неї невеликий імпульс, спрямований в інший бік. Якби вам вдалося метнути її з вищою швидкістю або запустити в повітря цілу скриньку з взуттям, ваш імпульс був би набагато більшим і ви почали б ковзати швидше.

Однак кидатися кросівками не надто ефективно. Набагато ефективніше було б випустити у бік східного берега швидкий потік газу. Навіть за кімнатної температури швидкість молекул у повітрі дорівнює приблизно 1800 км/год. Якщо нагріти газ до 2800 °С — саме така температура газу в рідинному ракетному двигуні, його молекули будуть рухатися втричі швидше. Кинувши щось із такою швидкістю, ви отримаєте неабиякий за величиною імпульс, спрямований у протилежний кидок убік.

Цей процес і реалізується у класичному ракетному двигуні (рис.). В результаті хімічної реакції паливо перетворюється на сильно розігрітий газ реактивного струменя. Енергія, яка спочатку існувала у вигляді потенційної енергії хімічного палива, в розігрітому газі, що зайнявся, перетворюється на теплову (це головним чином кінетична енергія хаотичного руху крихітних молекул). Сопло ракетного двигуна спрямовує невпорядковані переміщення молекул в один бік, і двигун повідомляється реактивна сила, спрямована в протилежний бік.

Молекулярна картина процесу в ракетний двигун, який працює на хімічному паливі. Паливо згоряє в камері двигуна, і з сопла викидається реактивний газовий струмінь. Сопло перетворює хаотичний тепловий рух молекул газу на впорядкований потік, спрямований від ракетного двигуна.

Якщо вам колись доводилося спостерігати старт великої ракети, ви, ймовірно, помітили дзвонові сопла, через які викидаються гази. Кожне сопло спрямовує реактивний газовий струмінь назад і в результаті дозволяє ракеті витягти максимально можливий спрямований вперед імпульс і набрати максимально можливу швидкість. Як побачимо у розділі 6, сопло дозволяє газам перетворити різні види внутрішньої енергії на кінетичну енергію; сопло ідеально підходить для того, щоб направити потік та розігнати молекули. Оптимальна форма сопла ракетного двигуна - це форма пісочного годинника. Таке сопло називається соплом Лаваля на честь його винахідника – шведа Карла Густава де Лаваля.

Для більш повного розуміння того, чому для сопла ракетного двигуна потрібна така складна форма, необхідно вивчити фізику газових потоків, швидкість яких близька до швидкості звуку або перевищує її. Пізніше ми поговоримо про це докладніше, а поки що нам достатньо буде коротко торкнутися цієї теми.

Усередині ракети біля входу в сопло Лаваля гарячий газ сильно стиснутий і знаходиться під величезним тиском. Подібно до газу з аерозольного балончика, розпечений газ з прискоренням вилітає із сопла в напрямку області нижчого тиску. Звуження сопла сприяє зростанню прискорення до певної межі. Саму тонку частину сопла газ проходить зі швидкістю звуку, і його характеристики починають кардинально змінюватися.Потім сопло розширюється, щоб розігнати надзвуковий реактивний газовий струмінь ще сильніше. Тут, в частині дзвону, що розширюється, вихідний невеликий обсяг сильно стисненого газу збільшується, і розпечений газ вже підготовлений для того, щоб вийти з сопла в навколишній простір.

Оптимальний (тобто забезпечує максимальну реактивну силу) діаметр зовнішньої половини сопла Лавал залежить від зовнішніх умов. На невеликій висоті над рівнем моря струмінь газу виходить у повітря, що знаходиться під нормальним атмосферним тиском, і в цьому випадку найкраще підходить відносно вузьке сопло. У стратосфері та в космосі гази виходять у розріджене середовище або у вакуум, тому потрібно ширше сопло. Як правило, конструктори знаходять певне компромісне рішення, щоб сопло підходило і для тих, і для інших умов.

На момент виходу із сопла вихідна енергія газу майже повністю переходить у кінетичну, а швидкість газового потоку спрямована геть від сопла. Однак оскільки газ продовжує горіти навіть після викиду із сопла, його кінетична енергія та швидкість зростають до фантастичних величин. Завдяки конструкції сопла Лаваля швидкість закінчення реактивного газового струменя — тобто швидкість направленого назад потоку газів, що виходить із двигуна ракети, досягає значень від 10 000 до 16 000 км/год.

Ракета викидає реактивний струмінь назад і повідомляє їй направлений назад імпульс. Реактивний газовий струмінь посилає ракету вперед і тим самим замикає процес передачі імпульсу. Все, що потрібне для отримання реактивної рушійної сили, - це власне викид газів; ракеті не потрібно відштовхуватися від будь-якого іншого тіла, і вона відмінно летить навіть у повній порожнечі.«Відштовхнувшись» із достатньою силою від власного викиду, ракета не лише компенсує власну вагу, а й піднімається із прискоренням. У момент старту космічний човник разом з паливним баком важить близько 20 000 000 Н, а реактивна сила дорівнює приблизно 30 000 000 Н. Це означає, що шатл може рухатися вгору з удвічі меншим прискоренням, ніж прискорення вільного падіння! У міру того, як корабель спалює своє паливо і його вага і маса зменшуються, він спрямовується вгору все швидше.

Поширена помилка: дія та протидія в ракетах

Помилка: Щоб розпочати рух, ракета має протидіяти якомусь сторонньому тілу.

Насправді: Оскільки рух ракети передбачає дію двох рівних і протилежно спрямованих сил - дії та протидії, ракета виштовхує назад реактивний газовий струмінь (дія), а реактивний струмінь штовхає ракету (протидія). Якщо струмінь газів і ударяється будь-що після виходу із сопла, це не має відношення до реактивного руху ракети.

Стабілізація ракети

Поки ракета розтинає шари атмосфери, їй найкраще летіти носом уперед. Навіть птах, який раптом полетить хвостом уперед, виглядатиме досить безглуздо, але ракета, що втратила стабілізацію, до того ж надзвичайно небезпечна. Щоб зберегти правильну орієнтацію, ракета повинна мати динамічну обертальну стійкість. Чимало ракет було дистанційно знищено невдовзі після запуску, оскільки вони втратили динамічну стійкість і стали безладно перекидатися в повітрі.

Ракета динамічно стійка, якщо сумарний момент прикладених до неї сил щодо її центру мас дорівнює нулю за її орієнтації носом вперед.За будь-якого відхилення від цього положення вона повинна повертатися до нього. Будь-які моменти сил повинні або знову і знову розгортати ракету носом вперед, або вони повинні бути незначно малі.

Ракетний конструктор повинен взяти до уваги дві причини виникнення моментів сил. По-перше, силу тяги двигуна. Розташований у задній частині ракети, двигун штовхає ракету вперед, і потенційно це може мати неприємні наслідки. Зрештою, навіть звичайний візок легше направити в потрібний бік, якщо тягнути його спереду, а не штовхати ззаду. Для того, щоб ракета постійно була орієнтована носом вперед, двигун повинен створювати силу тяги, спрямовану точно до центру мас, тоді на ракету не діє момент сили. Якщо один із двигунів не зовсім точно орієнтований, його тяга може створити момент сили, який почне закручувати ракету, що злітає. Моменти сил, що виникають через усунення двигуна, — одна з найпоширеніших причин аварії сучасних ракет. Збій у роботі самого двигуна чи його системи управління може призвести до того, що ракета вийде з-під контролю.

По-друге, на ракету, доки вона перебуває в атмосфері, можуть діяти моменти аеродинамічних сил. Аеродинаміку ми вивчатимемо в 6-му розділі, а поки достатньо сказати, що повітряний потік, що обтікає ракету, допомагає ракеті летіти носом вперед за умови, що опір повітря у її хвостової частини більше, ніж спереду. У цьому випадку аеродинамічні сили прикладені до хвоста ракети за центром мас і направляють її носом уперед.

Стійкість найпростішої ракети забезпечується виключно аеродинамікою.Хвостове оперення ракети сприяє формуванню аеродинамічних сил, які утримують її хвіст позаду. Сопла двигунів теж ретельно вирівняні так, щоб реактивний газовий струмінь не створював моменту сили щодо центру мас ракети. Така ракета летить прямою, але нею важко управляти.

Сучасні високотехнологічні ракети хвостового оперення не мають, вони стабілізуються за рахунок реактивних сил. Такі ракети вміють контролювати власну орієнтацію та повертати сопла двигунів таким чином, щоб скоригувати траєкторію. Крім того, на корпусі таких ракет є невеликі додаткові кермові двигуни, які створюють моменти сил і підтримують правильну орієнтацію ракети. Більшість сучасних ракет-носіїв взагалі немає стабілізаторів. Їх стійкість і маневреність повністю забезпечують двигуни, що знаходяться під постійним контролем.

Те, що корекція траєкторії польоту здійснюється виключно за допомогою реактивного газового струменя, стає принципово важливим, коли космічний апарат залишає атмосферу Землі. У безповітряному просторі, де не виникають моменти аеродинамічних сил, політ корабля прямує лише спеціальними кермовими двигунами, які короткими викидами реактивних газових струменів повертають корабель у потрібному напрямку. Крила і хвостове оперення потрібні космічному човнику лише за повернення Землю, що він починає планувати у атмосфері. На орбіті ні крила, ні хвіст не працюють, бо там немає повітря, від якого вони могли б відштовхнутися.

Однак будь-який поважаючий себе командир космічного екіпажу хоче, щоб його корабель виглядав якомога елегантніше — не гірше, ніж зорельоти, які нам показують у блокбастерах.Космічні літальні апарати в кіно майже завжди прикрашені абсолютно марними в космічному просторі хвостовим оперенням та крилами. І коли ви вкотре побачите на екрані міжгалактичний крейсер з елегантними крилами та хвостом, не забувайте, що анітрохи не менш ефективним буде зореліт, схожий, скажімо, на гігантський та незграбний шкільний автобус.

Переклад з англійської мови Є. Валкіної та Ю. Пліскіної