Розрахунок абсолютної та відносної похибки

Абсолютна помилка і відносна помилка - два типи експериментальної помилки. Вам потрібно буде розрахувати обидва типи помилок у науці, тому корисно розуміти різницю між ними і те, як їх обчислювати.

Абсолютна помилка

Абсолютна помилка - це міра того, наскільки далеко вимір від істинного значення, або вказівку на невизначеність виміру. Наприклад, якщо ви вимірюєте ширину книги за допомогою лінійки з міліметровими відмітками, найкраще, що ви можете зробити, це виміряти ширину книги з точністю до міліметра. Ви вимірюєте книгу і знаходите, що вона 75 мм. Ви повідомляєте про абсолютну похибку вимірювання як 75 мм +/- 1 мм. Абсолютна похибка складає 1 мм. Зверніть увагу, що абсолютна помилка повідомляється в тих самих одиницях, що й вимір.

Крім того, у вас може бути відоме або розраховане значення, і ви хочете використати абсолютну помилку, щоб висловити, наскільки ваш вимір близький до ідеального значення. Тут абсолютна помилка виражається як різниця між очікуваними та фактичними значеннями.

Абсолютна помилка = фактичне значення – виміряне значення

Наприклад, якщо ви знаєте, що процедура повинна дати 1,0 літра розчину, а ви отримали 0,9 літра розчину, ваша абсолютна помилка складе 1,0 - 0,9 = 0,1 літра.

Відносна помилка

Спочатку потрібно визначити абсолютну помилку, щоб обчислити відносну помилку. Відносна помилка показує, наскільки велика абсолютна помилка порівняно із загальним розміром об'єкта, що вимірюється. Відносна помилка виражається дробом або множиться на 100 і виражається у відсотках.

Відносна помилка = Абсолютна помилка / Відоме значення

Наприклад, спідометр водія показує, що його машина їде зі швидкістю 60 миль на годину (миль на годину), хоч насправді вона їде зі швидкістю 62 милі на годину. Абсолютна похибка його спідометра становить 62 милі на годину – 60 миль на годину = 2 милі на годину. Відносна похибка виміру становить 2 милі на годину / 60 миль на годину = 0,033 або 3,3%.

Джерела

• Хазевінкель, Міхіль, вид. (2001). "Теорія помилок". Енциклопедія математики . Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Сталь, Роберт Г.Д.; Торрі, Джеймс Х. (1960). Принципи та процедури статистики з особливим упором на біологічні науки . Макгроу-Хілл.

Абсолютна та відносна похибка

Абсолютну і відносну похибку використовують для оцінки неточності у розрахунках з високою складністю. Також вони використовуються у різних вимірах та для округлення результатів обчислень. Розглянемо, як визначити абсолютну та відносну похибку.

Абсолютна похибка

Абсолютною похибкою числа називають різницю між цим числом та його точним значенням.
Розглянемо приклад: у школі навчається 374 учні Якщо округлити це число до 400, то абсолютна похибка виміру дорівнює 400-374=26.

Для підрахунку абсолютної похибки необхідно з більшої кількості віднімати менше.

Існує формула абсолютної похибки. Позначимо точне число буквою А, а буквою а – наближення до точного числа. Наближене число – це число, яке трохи відрізняється від точного і зазвичай замінює їх у обчисленнях. Тоді формула буде виглядати так:

Δа=А-а. Як знайти абсолютну похибку за формулою, ми розглянули вище.

Насправді абсолютної похибки недостатньо для точної оцінки виміру. Рідко, коли можна точно знати значення вимірюваної величини, щоб розрахувати абсолютну похибку. Вимірюючи книгу в 20 см завдовжки і припустившись похибки в 1 см, можна вважати вимір з великою помилкою. Але якщо похибка в 1 см була допущена при вимірі стіни 20 метрів, цей вимір можна вважати максимально точним. Тому на практиці важливіше значення має визначення відносної похибки виміру.

Записують абсолютну похибку числа за допомогою знак ±. Наприклад, Довжина рулону шпалер становить 30 м ± 3 см. Кордон абсолютної похибки називають граничною абсолютною похибкою.

Відносна похибка

Відносною похибкою називають ставлення абсолютної похибки числа до цього числа. Щоб розрахувати відносну похибку у прикладі з учнями, розділимо 26 на 374.

Отримаємо число 0,0695, переведемо у відсотки та отримаємо 7 %. Відносну похибку позначають відсотками, оскільки це безрозмірна величина. Відносна похибка – це точна оцінка помилки вимірів. Якщо взяти абсолютну похибку в 1 см при вимірі довжини відрізків 10 см і 10 м, то відносні похибки відповідно дорівнюють 10 % і 0,1 %. Для відрізка довжиною 10 см похибка 1 см дуже велика, це помилка в 10%. А для десятиметрового відрізка 1 см не має значення лише 0,1 %.

Розрізняють систематичні та випадкові похибки. Систематичною називають ту похибку, що залишається незмінною при повторних вимірах. Випадкова похибка виникає в результаті на процес вимірювання зовнішніх факторів і може змінювати своє значення.

Правила підрахунку похибок

Для номінальної оцінки похибок є кілька правил:

• при складанні та відніманні чисел необхідно складати їх абсолютні похибки;
• при розподілі та множенні чисел потрібно скласти відносні похибки;
• при зведенні в ступінь відносну похибку множать показник ступеня.

Наближені та точні числа записуються за допомогою десяткових дробів. Береться лише середнє значення, оскільки точне може бути нескінченно довгим. Щоб зрозуміти, як записувати ці числа, необхідно дізнатися про вірні та сумнівні цифри.

Вірними називаються такі цифри, розряд яких перевершує абсолютну похибку числа. Якщо ж розряд цифри менший за абсолютну похибку, вона називається сумнівною. Наприкладдля дробу 3,6714 з похибкою 0,002 вірними будуть цифри 3,6,7, а сумнівними – 1 і 4. У записі наближеного числа залишають лише вірні цифри. Дріб у цьому випадку виглядатиме таким чином – 3,67.

Що ми дізналися?

Абсолютні та відносні похибки використовуються для оцінки точності вимірювань. Абсолютною похибкою називають різницю між точним та наближеним числом. Відносна похибка – це відношення абсолютної похибки числа до числа. Насправді використовують відносну похибку, оскільки є більш точної.

Глава 1 Вимірювання та похибки

Властивості фізичного об'єкта (яви, процесу) визначаються набором кількісних характеристик - фізичних величин. проводиться за допомогою деякого приладу, якому експериментатор довіряє). , що визначається вибором зразка.

Примітка. Результатом вимірювання може бути кількість відрахувань певної події, логічне твердження (так/ні) або навіть якісна оцінка (сильно/слабко/помірно). чисел.

Взаємозв'язок між різними фізичними величинами може бути описана фізичними законами, що являють собою ідеалізовану модель дійсності.

1.1 Результат виміру

Розглянемо найпростіший приклад: вимірювання довжини стрижня з допомогою лінійки. Лінійка проградуйована виробником з допомогою деякого зразка довжини — в такий спосіб, порівнюючи довжину стрижня з ціною розподілу лінійки, ми виконуємо непряме порівняння із загальноприйнятим стандартним стандартом.

Припустимо, ми приклали лінійку до стрижня і побачили на шкалі деякий результат x = x зм .

По-перше, значення x не може бути задано точно, хоча б тому, що воно обов'язково округлено до деякої цифри: якщо лінійка «звичайна», то в неї є ціна поділу; а якщо лінійка, наприклад, "лазерна" - у неї висвічується кінцева кількість значущих цифр на дисплеї.

По-друге, ми не можемо бути впевнені, що довжина стрижня насправді така хоча б з точністю до помилки округлення. Справді, ми могли прикласти лінійку зовсім рівно; сама лінійка могла бути виготовлена ​​не зовсім точно; стрижень може бути ідеально циліндричним тощо.

І, нарешті, якщо намагатися хоча б гіпотетично переходити до нескінченної точності виміру, втрачає сенс саме поняття «довжини стрижня». Адже на масштабах атомів у стрижня немає чітких кордонів, а значить говорити про його геометричні розміри в такому разі дуже важко!

Отже, з нашого прикладу видно, що ніякий фізичний вимір не може бути здійснений абсолютно точно, тобто у будь-якого виміру є похибка.

Зауваження. Також використовують еквівалентний термін помилка виміру (від англ. error). Наголосимо, що сенс цього терміну відрізняється від загальновживаного побутового: якщо фізик каже «у вимірі є помилка», це не означає, що воно неправильне і його треба переробити. Мається на увазі лише, що це вимір неточно, тобто має похибку.

Кількісно похибку можна було б визначити як різницю між виміряним і «справжнім» значенням довжини стрижня: δ ⁢ x = x ізм - x іст. Однак на практиці таке визначення використовувати не можна: по-перше, через неминучу наявність похибок «справжнє» значення виміряти неможливо, і по-друге, саме «справжнє» значення може відрізнятися в різних вимірах (наприклад, стрижень нерівний або вигнутий, його торці тремтять через теплові флуктуації і т.д.). Тому зазвичай говорять про оцінку похибки.

Про виміряну величину також часто говорять як про оцінку, підкреслюючи, що ця величина не точна і залежить не тільки від фізичних властивостей об'єкта, що досліджується, але і від процедури вимірювання.

Зауваження. Термін оцінка має більш формальне значення. Оцінкою називають результат процедури отримання значення параметра чи параметрів фізичної моделі, і навіть іноді саму процедуру. Теорія оцінок є підрозділом математичної статистики. Деякі її положення викладені в розділі 3, але для більш серйозного розуміння слід звернутися до [5].

Для оцінки значення фізичної величини коректно використовувати не просто деяке фіксоване число x ізм, а інтервал (або діапазон) значень, в межах якого може лежати її «справжнє» значення. У найпростішому випадку цей інтервал може бути записаний як

де δ ⁢ x - абсолютна величина похибки. Цей запис означає, що досліджувана величина лежить в інтервалі x ∈ ( x ізм - δ ⁢ x ; x ізм + δ ⁢ x ) з деякою досить великою часткою ймовірності (детальніше про імовірнісний зміст інтервалів див. п. 2.2 ). Для наочної оцінки точності вимірювання зручно використовувати відносну величину похибки:

Вона показує, наскільки похибка мала порівняно з найбільшою величиною (її також можна виразити у відсотках: ε = δ ⁢ x x ⋅ 100 % ).

приклад. Штангенциркуль - прилад для вимірювання довжин з ціною розподілу 0,1⁢мм. Нехай діаметр деякого дроту дорівнює 0,37 мм. Вважаючи, що абсолютна помилка становить половину ціни поділу приладу, результат виміру можна буде записати як d = 0, 40 ± 0, 05 ⁢ мм (або d = ( 40 ± 5 ) ⋅ 10 - 5 ⁢ м ). Відносна похибка становить ε ≈ 13 % , тобто точність виміру дуже посередня - оскільки розмір об'єкта близький до межі точності приладу.

Про необхідність оцінки похибок.

Виміряємо довжини двох стрижнів х 1 і х 2 і порівняємо результати. Чи можна сказати, що стрижні однакові чи різні?

Здавалося б, достатньо перевірити, чи справедливо x1 = x2. Але жодні два результати виміру не рівні один одному з абсолютною точністю! Отже, без вказівки похибки виміру відповідь це питання дати неможливо .

З іншого боку, якщо похибка δ ⁢ x відома, можна стверджувати, що й виміряні довжини однакові у межах похибки досвіду , якщо | x 2 – x 1 | < δ ⁢ x (і різні у протилежному випадку).

Отже, без знання похибок неможливо порівняти між собою жодні два виміри, і, отже, неможливо зробити жодних значущих висновків за результатами експерименту: ні про наявність залежностей між величинами, ні про практичну застосовність якоїсь теорії, тощо. цим завдання правильної оцінки похибок є украй важливим, оскільки суттєве заниження чи завищення значення похибки (порівняно з реальною точністю вимірювань) веде до неправильних висновків.

У фізичному експерименті (у тому числі лабораторному практикумі) оцінка похибок повинна проводитися завжди (навіть коли упорядники завдання забули згадати про це).

1.2 Багаторазові виміри

Проведемо серію з n однакових (однотипних) вимірювань однієї і тієї ж фізичної величини (наприклад, багаторазово прикладемо лінійку до стрижня) і отримаємо ряд значень

Що можна сказати про цей набір чисел і про довжину стрижня? І чи можна збільшуючи кількість вимірів поліпшити кінцевий результат?

Якщо ціна поділу самої лінійки досить мала, то як неважко переконатися на практиці, величини майже напевно виявляться різними. Причиною тому можуть бути різні обставини, наприклад: у нас недостатньо гостроти зору і точності рук, щоб щоразу прикладати лінійку однаково; стінки стрижня можуть бути трохи нерівними; у стрижня може і не бути певної довжини, наприклад, якщо в ньому збуджені звукові хвилі, через що його торці вагаються, і т.д.

У такій ситуації результат виміру інтерпретується як випадкова величина, що описується деяким ймовірним законом (розподілом). Докладніше про випадкові величини та методи роботи з ними див. 2 .

За набором результатів 𝐱 можна обчислити їхнє середнє арифметичне:

Це значення, обчислене за результатами кінцевого числа вимірювань n, прийнято називати вибірковим середнім. Тут і надалі для позначення вибіркових середніх будемо використовувати кутові дужки.

Крім середнього цікавить і те, наскільки сильно варіюються результати від досвіду до досвіду. Визначимо відхилення кожного виміру від середнього як

Розкид даних щодо середнього прийнято характеризувати середньоквадратичним відхиленням:

Значення середнього квадрата відхилення s 2 називають вибірковою дисперсією.

Збільшуватимемо число вимірювань n ( n → ∞ ). Якщо об'єкт вимірювання та методика досить стабільні, то відхилення від середнього Δ ⁢ x i будуть, по-перше, відносно малі, а по-друге, позитивні та негативні відхилення зустрічатимуться приблизно однаково часто. Тоді при обчисленні ( 1.1 ) майже всі відхилення Δ ⁢ x i скомпенсуються і очікується, що вибіркове середнє при n ≫ 1 прагнутиме до певної межі:

Тоді граничне значення x можна ототожнити з «істинним» середнім для досліджуваної величини.

Граничну величину середньоквадратичного відхилення при n → ∞ позначимо як

Зауваження. У випадку зазначені межі можуть і існувати. Наприклад, якщо вимірюваний параметр змінюється в часі або в результаті самого вимірювання, або зазнає великих випадкових стрибків і т.д. п. Такі ситуації потребують особливого розгляду, і ми на них не зупиняємось.

Зауваження. Якщо n мало (n < 10 ), для оцінки середньоквадратичного відхилення математична статистика рекомендує замість формули (1.3) використовувати виправлену формулу (детальніше див. п. 5.2): s n - 1 2 = 1 n - 1 ⁢ ∑ i = 1 n Δ ⁢ x i 2 , (1.4) де здійснено заміну n → n-1. Величину sn-1 часто називають стандартним відхиленням.

Отже, можна принаймні сподіватися на те, що результати невеликої кількості вимірювань мають невеликий розкид, так що величина ⟨ x ⟩ може бути використана як наближене значення (оцінка) істинного значення ⟨ x ⟩ ≈ x ¯ , а збільшення числа вимірювань дозволить уточнити результат.

Багато випадкових величин підпорядковуються так званому нормальному закону розподілу (докладніше див.Главу 2). Для таких величин можуть бути суворо доведені такі властивості:

при багаторазовому повторенні експерименту більша частина вимірювань ( ~ 68%) потрапляє в інтервал x - σ < x < x + + σ (див. п. 2.2).

вибіркове середнє значення ⟨ x ⟩ виявляється з більшою ймовірністю ближче до істинного значення x ¯ ніж кожен з вимірювань окремо. При цьому помилка обчислення середнього зменшується пропорційно до кореня з числа дослідів n (див. п. 2.4).

Вправа. Показати, що s 2 = ⟨ x 2 ⟩ - ⟨ x ⟩ 2 . (1.5) тобто дисперсія дорівнює різниці середнього значення квадрата ⟨ x 2 ⟩ = 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i 2 і квадрата середнього ⟨ x ⟩ 2 = ( 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i ) 2 .

1.3 Класифікація похибок

Щоб краще розібратися в тому, чи потрібно багаторазово повторювати виміри, і в якому разі це дозволить покращити результати досвіду, проаналізуємо джерела та види похибок.

У першу чергу, багаторазові вимірювання дозволяють перевірити відтворюваність результатів: повторні вимірювання в однакових умовах повинні давати близькі результати. В іншому випадку дослідження буде суттєво утруднене, якщо взагалі можливе. Таким чином, багаторазові вимірювання необхідні для того, щоб переконатися як у надійності методики, так і в існуванні вимірюваної величини як такої.

За будь-яких вимірів можливі грубі помилки — промахи (англ. miss). Це «помилки» у стандартному розумінні цього слова, що виникають з вини експериментатора або через інші непередбачувані обставини (наприклад, через збій апаратури). Промахів, звичайно, треба уникати, а результати таких вимірювань мають бути по можливості виключені з розгляду.

Як зрозуміти, чи є «аномальний» результат промахом? Питання це вельми непросте. , по-перше, призвести до тенденційного спотворення результату досліджень, а по-друге, так можна упустити відкриття невідомого ефекту. Тому при наукових дослідженнях необхідно максимально ретельно проаналізувати причину кожного промаху, зокрема, багаторазово повторивши експеримент.

Зауваження: Часто причини аномальних відхилень неможливо встановити на етапі обробки даних, оскільки частина інформації про проведення вимірів до цього моменту втрачена. 1 .

При багаторазовому повторенні вимірі однієї і тієї ж фізичної величини похибки можуть мати систематичний або випадковий характер. хаотично при повторенні вимірювань як за величиною, так і за знаком, і в змінах не простежується будь-якої закономірності.

Крім того, зручно розділяти похибки за їх походженням.

інструментальні (або приладові) похибки, пов'язані з недосконалістю конструкції (неточності, допущені при виготовленні або внаслідок старіння), помилками калібрування чи ненормативними умовами експлуатації вимірювальних приладів;

методичні похибки, пов'язані з недосконалістю теоретичної моделі явища (використання наближених формул і моделей явища) або з недосконалістю методики виміру (наприклад, впливом взаємодії приладу та об'єкта виміру на результат виміру);

природні похибки, пов'язані з випадковим характером вимірюваної фізичної величини - вони є не стільки «помилками» вимірювання, скільки характеризують природу об'єкта, що вивчається, або явища.

Зауваження. Поділ похибок на систематичні та випадкові перестав бути однозначним і від постановки досвіду. Наприклад, виробляючи вимірювання не одним, а декількома однотипними приладами, ми переводимо систематичну помилку приладу, пов'язану з неточністю шкали і калібрування, у випадкову. Поділ за походженням також умовний, оскільки будь-який прилад схильний до впливу «природних» випадкових і систематичних помилок (шуми і наведення, трясіння, атмосферні умови тощо), а в основі роботи приладу завжди лежить деяке фізичне явище, що описується не зовсім досконалою теорією .

1.3.1 Випадкові похибки

Випадковий характер притаманний велику кількість різних фізичних явищ, й у тому чи іншою мірою проявляється у всіх без винятку приладів. Випадкові похибки виявляються при багаторазовому повторенні досвіду — як хаотичних змін ( флуктуацій ) значень < x i >.

Якщо випадкові відхилення від середнього у більшу чи меншу сторони приблизно рівноймовірні, можна розраховувати, що при обчисленні середнього арифметичного ( 1.1 ) ці відхилення скомпенсуються, і похибка результуючого значення ⟨ x ⟩ буде меншою, ніж похибка окремого виміру.

Випадкові похибки бувають пов'язані, наприклад,

з особливостями використовуваних приладів: технічними недоліками (люфт у механічних пристосуваннях, сухе тертя у кріпленні стрілки приладу); факторами (тряска, електромагнітні перешкоди та наведення);

з особливостями та недосконалістю методики виміру (помилка при відліку за шкалою, помилка часу реакції при вимірах з секундоміром);

Зупинимося докладніше на двох останніх випадках. Вони відрізняються тим, що випадковий розкид даних у них породжений безпосередньо об'єктом виміру. Якщо при цьому приладові похибки малі, то помилка експерименту виникає лише в той момент, коли ми по своїй волі здійснюємо заміну ряду виміряних значень на деяке середнє < x i > → ⟨ x ⟩ . Розкид даних у своїй характеризує не точність виміру, а сам досліджуваний об'єкт чи явище. Однак з математичної точки зору приладові та «природні» похибки невиразні — дивлячись на одні лише експериментальні дані неможливо з'ясувати, що саме стало причиною їхньої флуктуації: сам об'єкт дослідження чи інші, зовнішні причини.Таким чином, для дослідження природних випадкових процесів необхідно спочатку окремо дослідити та оцінити випадкові інструментальні похибки та переконатися, що вони досить малі.

1.3.2 Систематичні похибки

Систематичні похибки, на відміну випадкових, неможливо виявити, виключити чи зменшити просто багаторазовим повторенням вимірів. Вони можуть бути обумовлені, по-перше, неправильною роботою приладів (інструментальна похибка), наприклад, зсувом нуля відліку за шкалою, деформацією шкали, неправильним калібруванням, спотвореннями через не нормативні умови експлуатації, спотвореннями через знос або деформацію деталей приладу, зміною параметрів приладу в часі через нагрівання тощо. По-друге, їх причиною може бути помилка в інтерпретації результатів (методична похибка), наприклад, через використання занадто ідеалізованої фізичної моделі явища, яка не враховує деякі значущі фактори (так, при зважуванні тіл малої щільності в атмосфері необхідно враховувати силу Архімеда; при вимірах в електричних ланцюгах може бути необхідний облік неідеальності амперметрів і вольтметрів і т. д.).

Систематичні похибки умовно можна поділити на такі категорії.

Відомі похибки, які можуть бути досить точно обчислені чи виміряні. При необхідності вони можуть бути враховані безпосередньо: внесенням поправок до розрахункових формул або результатів вимірювань. Якщо вони малі, їх можна відкинути, щоб спростити обчислення.

Похибки відомої природи, конкретна величина яких невідома, але максимальне значення помилки, що вноситься, може бути оцінено теоретично або експериментально.Такі похибки неминуче присутні в будь-якому досвіді, і завдання експериментатора - звести їх до мінімуму, удосконалюючи методики вимірювання та вибираючи досконаліші прилади.

Щоб оцінити величину систематичних похибок досвіду, необхідно врахувати паспортну точність приладів (виробник, як правило, гарантує, що похибка приладу вбирається у деякої величини), проаналізувати особливості методики виміру, і, по можливості, провести контрольні досліди.

Похибки відомої природи, оцінка величини яких з якихось причин утруднена (наприклад, опір контактів під час підключення електронних приладів). Такі похибки повинні бути виключені за допомогою модифікації методики вимірювання або заміни приладів.

Зрештою, не можна забувати про можливість існування помилок, про які ми не підозрюємо, але які можуть суттєво спотворювати результати вимірів. Такі похибки найнебезпечніші, а виключити їх можна лише багаторазовою незалежною перевіркою вимірювань, різними методами та в різних умовах.

У навчальному практикумі облік систематичних похибок обмежується, зазвичай, паспортними похибками приладів і теоретичними поправками до спрощеної моделі досліджуваного явища.

Точний облік систематичної помилки можливий лише за врахуванням специфіки конкретного експерименту. Особливу увагу треба привернути до себе залежність (кореляцію) систематичних зміщень при повторних вимірах. Одна й та сама похибка у різних випадках може бути інтерпретована як випадкова, і як систематична.

приклад. Калібрування електромагніту здійснюється за допомогою внесення до нього датчика Холла або іншого вимірювача магнітного потоку.При послідовних вимірах з різними струмами (і відповідно полями в зазорі) калібрування можна враховувати двома різними способами: • Виміряти значення поля для різних струмів, побудувати лінійну калібрувальну криву і потім використовувати значення, відновлені за цією кривою для обчислення поля струму, використовуваного у вимірах . • Для кожного вимірювання проводити додаткове вимірювання поля і взагалі не використовувати значення струму. У першому випадку похибка отриманого значення буде меншою, оскільки при проведенні прямої, окремі відхилення усередняться. При цьому похибка вимірювання поля носитиме систематичний характер і при обробці даних її треба буде враховувати в останній момент. У другому випадку похибка носитиме статистичний (випадковий) характер і її треба буде додати до похибки кожної вимірюваної точки. При цьому сама похибка буде більшою. Вибір тієї чи іншої методики залежить від конретної ситуації. При великій кількості вимірювань другий спосіб більш надійний, оскільки статистична помилка при усередненні зменшується пропорційно кореню з кількості вимірювань. Крім того, такий спосіб дозволяє уникнути методичної помилки, пов'язаної з тим, що залежність поля від струму не є лінійною.

приклад. Розглянемо вимірювання напруги по стрілочному вольтметрі. У показаннях приладу будуть присутні три типи похибки: 1. Статистична похибка, пов'язана з тремтінням стрілки та помилкою візуального спостереження, приблизно дорівнює половині ціни поділу. 2. Систематична похибка, пов'язана з неправильною установкою нуля. 3. Систематична похибка, пов'язана з неправильним коефіцієнтом пропорційності між напругою та відхиленням стрілки. Як правило, прилади сконструйовані таким чином, щоб максимальне значення цієї похибки було так само дорівнює половині ціни поділу (хоча це і не гарантується).