Коло, коло, сегмент, сектор. Формули та властивості

Визначення. Окружність — це сукупність усіх точок на площині, що знаходяться на однаковій відстані від заданої точки Прояка називається центром кола.

Визначення. Діаметр кола D - Відрізок, який з'єднує дві точки кола і проходить через її центр.

Основні властивості кола

5. Якщо два кола стикаються в одній точці, то ця точка лежить на прямій, що проходить через центри цих кіл.

Формули довжини кола та площі кола

Формули довжини кола

Формули площі кола

Рівняння кола

2. Рівняння кола з радіусом r і центром у точці з координатами (a, b) у декартовій системі координат:

r 2 = ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2

3. Параметричне рівняння кола з радіусом r і центром у точці з координатами (a, b) у декартовій системі координат:

Стосовне коло та його властивості

Основні властивості дотичних до кола

3. Якщо дві дотичні, з точками дотику B і C, на одному колі не паралельні, то вони перетинаються в точці A, а відрізок між точкою дотику та точкою перетину однієї дотичної дорівнює такому ж відрізку на іншій дотичній:

Також, якщо провести пряму через центр кола О і точку перетину A цих дотичних, то кути утворений між цією прямою і дотичними будуть рівними:

Секальне коло та його властивості

Основні властивості січучих

1. Якщо з точки поза коло (Q) виходять дві січучі, які перетинають коло у двох точках A і B для однієї сіючої та C і D для іншої сіючої, то твори відрізків двох сіючих рівні між собою:

2. Якщо з точки Q поза коло виходить січна пряма, що перетинає коло у двох точках A і B, і дотична до точки дотику C, то добуток відрізків січної дорівнює квадрату довжини відрізка дотичної:

Що називається половиною кола?

Коли ми говоримо про геометрію, одна з перших фігур, яку ми вивчаємо, — це коло. Коло є особливою фігурою, тому що воно складається з усіх точок, що знаходяться на певній відстані від центру. Однак коли ми говоримо про половину кола, назва цієї фігури вже змінюється.

Половина кола називається "сектор". Сектор - це фігура, яка виходить, коли коло поділяється на дві частини. Одна з цих частин – сектор, що займає половину кола. Сектор позначається грецькою літерою "θ" (тета) і має свої особливості та властивості.

Сектор є важливим поняттям у геометрії та знаходить застосування у різних галузях науки та техніки. Він використовується для розгляду кутів, площ та багато інших геометричних величин. Тому знання назви та властивостей сектора корисне не тільки для шкільного курсу, але і для складніших завдань у вищій математиці та фізиці.

Центральний кут півкола

Якщо півколо розділений на дві рівні дуги, кожна з яких дорівнює 180 градусів, то центральний кут півкола дорівнюватиме 360 градусів.

Центральний кут півкола має особливе значення у геометрії, оскільки він допомагає визначити дугу чи довжину кола, і навіть впливає інші характеристики півкола.

Половина кола

Математично половина кола може бути визначена за допомогою кута. Кут половини кола дорівнює 180 градусам або π радіанам. Половина кола також може бути виражена за допомогою довжини дуги. Довжина дуги половини кола дорівнює половині довжини кола.

Властивості половини кола:

• Половина кола є симетричною щодо осі симетрії, що проходить через центр кола;
• Дуга половини кола становить 180 градусів або π радіанів;
• Довжина дуги половини кола дорівнює половині довжини кола;
• Площа фігури, обмеженої половиною кола, дорівнює половині площі кола;
• Половина кола є повним оборотом для половини тіла або об'єкта, що рухається вздовж неї.

Половина кола має безліч застосувань у різних галузях, включаючи геометрію, фізику, інженерію та архітектуру. Наприклад, половина кола може використовуватися для моделювання полігональних фігур, створення стабільних та міцних конструкцій, а також для розрахунку площ та обсягів.

Загалом половина кола є важливим елементом геометрії, який знаходить застосування у різних сферах людської діяльності.

Апофема півкола

Однією з основних властивостей півкола є його геометрична будова. Півколо являє собою половину кола, тобто його дугу разом з діаметром, на який ця дуга спирається. Півколо має безліч унікальних характеристик і властивостей, які можуть бути використані для формулювання апофеми.

Приклади апофем півкола:

1. У півкрузі довжина дуги пропорційна центральному куту, тому за відомого центрального вугілля можна визначити довжину дуги і навпаки. «Довжина дуги півкола прямо пропорційна його центральному розі.»
2. Півколо має найменшу площу серед усіх фігур з тією самою довжиною периметра. "Півколо - фігура з найменшою площею при заданій довжині периметра."
3. У півколо радіус є посереднім відрізком, який можна знайти між відрізком, що з'єднує дві дуги півкола, і діаметром півкола. "Радіус півкола - це посередній відрізок між діаметром і хордою півкола."

Апофеми півкола цікаві тим, що вони прості та легко запам'ятовуються, а також дозволяють легко відтворити та використовувати геометричні закони, пов'язані з півколом. Вони можуть бути використані як у навчальних цілях, так і в повсякденному житті для демонстрації властивостей півкола та його застосування на практиці.

Косинус півкола

Косинус півкола визначається як відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи прямокутного трикутника, утвореного півколом.

Косинус півкола є тригонометричною функцією і позначається як cos(α), де α - кут півкола. Значення косинуса півкола завжди лежить у діапазоні від -1 до 1.На півкрузі косинус дорівнює 1 при α = 0 °, і косинус дорівнює -1 при α = 180 °. Звідси випливає, що значення косинуса півкола зменшуються зі збільшенням кута α, і досягають свого мінімального значення в точці α = 90°.

Властивості косинуса півкола:

1. Косинус півкола є парною функцією, тобто cos(-α) = cos(α).
2. Максимальне значення косинуса півкола дорівнює 1.
3. Мінімальне значення косинуса півкола дорівнює -1.
4. Значення косинуса півкола дорівнює 0 при α = 90 °.

Косинус півкола широко використовується в математиці, фізиці та інших наукових дисциплінах для вирішення різних завдань, пов'язаних із геометрією та тригонометрією. Він є однією з основних тригонометричних функцій і має безліч застосувань у різних галузях науки та техніки.

Діаметр півкола

Для обчислення діаметра півкола необхідно знати довжину однієї з його хорд і знати, що всі вони рівні за величиною. Також діаметр можна обчислити, знаючи радіус півкола - удвічі збільшивши його значення.

Діаметр півкола має важливе значення при виконанні геометричних завдань, таких як знаходження площі півкола, довжини дуги, відстані між точками на колі півкола.

Приклад:

Нехай задана довжина хорди півкола, що дорівнює 10 см. Тоді діаметр півкола складає 20 см.

Сектор півкола

Залежно від радіусу та кута, що визначає дугу півкола, сектор півкола може мати різні властивості та характеристики. Наприклад, його площа та довжина дуги можуть бути обчислені з використанням спеціальних формул.

Сектор півкола знаходить широке застосування у різних галузях математики, фізики, інженерії та інших науках. Він допомагає моделювати та описувати різні фізичні та геометричні явища, а також використовувати їх у практичних розрахунках та завданнях.

Амплітуда півкола

Амплітуда півкола є одним із основних параметрів, які можуть бути використані для опису форми півкола. Чим більше амплітуда, тим витягнутішою буде форма півкола. У разі півкола, амплітуда також визначає, наскільки високо або низько розташовується його вершина щодо основи.

Амплітуда півкола може бути виміряна як в одиницях довжини, так і у відсотках від довжини основи. Наприклад, якщо довжина основи півкола дорівнює 10 метрів, а амплітуда становить 5 метрів, то амплітуда півкола дорівнює 50% від довжини основи.

Приклади амплітуд півколів:

• Півколо з амплітудою 0 має форму лінії, тому що його вершина розташовується на підставі.
• Півколо з амплітудою, що дорівнює половині довжини основи, утворює форму півсфери.
• Півколо з амплітудою, що дорівнює довжині основи, утворює форму повного кола.

Амплітуда півкола відіграє важливу роль у геометрії, архітектурі, механіці та інших наукових галузях. Знання амплітуди півкола дозволяє визначити форму об'єктів, що являють собою півкола, та бере участь у вирішенні різних математичних завдань та завдань проектування.

Тангенс півкола

Тангенс півкола може бути використаний для вирішення різних геометричних та фізичних завдань, а також для апроксимації функцій у математичних моделях.

Необхідно відзначити, що тангенс півкола не визначено для деяких значень радіусу півкола, наприклад, для радіусу рівного нулю або негативного радіусу.

Важливо враховувати, що тангенс півкола може набувати значень як у радіанах, так і в інших одиницях вимірювання кута, наприклад, градусах.

Питання-відповідь:

Як називається половина кола?

Половина кола називається сектор.

Що означає термін «сектор»?

Сектор – це частина кола, обмежена двома радіусами та дугою.

Яка інформація потрібна для визначення сектора кола?

Для повного визначення сектора кола необхідно знати його центральний кут та радіус.

Якою є площа сектора кола?

Площа сектора кола дорівнює добутку центрального кута в радіанах на квадрат радіусу, поділеного на 2.

Коло та коло

Огляньтеся навколо: геометричні фігури оточують нас усюди, а в математиці взагалі зустрічаються майже в кожному завданні. Не стали винятком і коло і коло, які потрапляють у завдання частіше, ніж може здатися. Тому ця стаття буде корисною: оволодієте всіма премудростями, необхідними для життя та іспитів.

Обруч та коло

Згадаймо один із предметів інвентарю художньої гімнастики – обруч. Це вузьке кільце великого діаметра, всередині якого немає нічого. Обруч складається лише з "контуру", тобто з того самого кільця. Саме за допомогою обруча ми наближаємося до терміна "коло".

Окружність - Це замкнута крива, всі точки якої рівновіддалені від центру.

Розберемо трохи докладніше, що означає фраза "рівновіддалені від центру". Припустимо, ми точно знаємо, де центр нашого обруча, і через цей центр натягнемо багато стрічок. Тоді виявиться, що довжина кожної стрічки від центру до обруча буде однаковою.

Тобто коло складається з нескінченної множини точок, які розташовуються на рівній відстані від центру.

Елементи кола

Радіус - Це відрізок, побудований від центру кола до будь-якої точки на кола.

Якщо згадати обруч із стрічками, то одна стрічка – це радіус. Радіус позначається буквою R. В колі можна побудувати безліч радіусів, і всі вони будуть рівними між собою.

Діаметр - Це відрізок, що з'єднує дві точки на колі та проходить через центр кола.

Можна відразу помітити, що діаметр складатиметься з двох радіусів, які проведені з різних боків від центру кола.

Діаметр позначається буквою D і дорівнює двом радіусам.

Хорда - Це відрізок, що з'єднує дві будь-які точки на колі. При цьому хорда не обов'язково проходить через центр кола.

Таким чином, хорда може мати будь-який розмір та будь-який напрямок, головне, щоб її початок та кінець лежали на колі.

Розглянемо властивості хорди.

1 властивість. При перетині двох хорд твори їхніх відрізків рівні.

Нехай у колі проведені хорди АВ і CD, які перетинаються у точці О. Тоді виконується рівність АВ*ОВ = СО*OD.

2 властивість. Рівні хорди стягують рівні дуги.

3 властивість. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і дуги, що стягуються їй, навпіл.

Якщо діаметр CD перпендикулярний хорді АВ, то АЕ = ЕВ.

Розглянемо, чому виконується ця властивість. Добудуємо трикутник АОВ, в якому АТ та ВВ – радіуси. Радіуси в колі дорівнюють, отже, трикутник рівнобедрений.

Розглянемо ОЕ - висота в рівнобедреному трикутнику, проведена до основи.

Висота в рівнобедреному трикутнику, проведена до основи, збігається з медіаною та бісектрисою, отже ОЕ – медіана, а значить АЕ = ЕВ.

Властивість 4. Кут між хордами кола, що перетинаються, дорівнює половині суми дуг, укладених між ними.

Зауважимо, що кути COB і AOD рівні між собою, оскільки є вертикальними.

Дуга - Це частина кола, початком і кінцем якого є дві довільні точки.

Допустимо, з нашого обруча виріжуть якусь частину. Тоді і вирізана частина, і частина, що залишиться, будуть дугами.

Піца та коло

Ми розглянули коло. Тут вже може виникнути питання: чим коло відрізняється від кола?

Коло – це геометрична фігура, яка обмежена коло.

Елементи кола

Розглянемо елементи кола.

Радіус, діаметр хорди у колі мають такі самі визначення, як і в колі. Оскільки ми тепер розглядаємо не лише контур, а всю фігуру, з'являються нові елементи.

Припустимо, до нас у гості прийшли друзі, і тепер треба розділити піцу між усіма.

Форма шматочків піци дуже нагадує сектор кола.

Сектор - Це частина кола, яку обмежують радіуси та дуга.

При цьому два радіуси ділять коло на два сектори: один більший, а інший менший.

Якщо ми захочемо відрізати тільки один шматочок піци, то і відрізаний шматочок, і піца, що залишилася, будуть секторами кола.

Тепер розріжемо піцу інакше. Відріжемо шматочок по прямій, не проходячи через її середину:

Таким чином, ми відріжемо не сектор, а сегмент від піци.

Сегмент - Це частина кола, яка обмежена хордою та дугою.

Причому одна хорда є межею для двох сегментів: і відрізаний шматочок піци, і частина, що залишилася, будуть сегментами. На малюнку нижче один сегмент зафарбований фіолетовим, а інший білим.

Формули для кола та кола

Ми розглянули кола та коло, а також їх елементи, проте жодне завдання не вдасться вирішити без формул. Давайте розглянемо їх.

Однак перед цим необхідно запровадити ще кілька термінів.

Довжина кола - Це довжина кривої, яка утворює кола.

Якщо ми за допомогою сантиметрової стрічки виміряємо довжину нашого обруча, то отримаємо довжину кола.

Довжина дуги - Це довжина частини кривої, яка утворює коло.

Відмінність від довжини кола лише тому, що тут вимірюється не вся крива, лише її часть.

У таблиці нижче наведено основні формули, які можуть зустрітися під час вирішення завдань.

Дуга кола

Дугу можна вимірювати у одиницях виміру довжини, а й у градусах. Вся дуга кола має градусну міру 360 (circ). Тоді половина дуги кола дорівнюватиме 180.

При цьому дуга, що дорівнює 180 \(\circ\) , називається півколо. Півколо обмежується двома кінцями діаметра.

Думаємо, хоч раз у житті ви чули фразу “повернутись на 180 \(\circ\) градусів” або “змінити свою думку на 180 \(\circ\) градусів”. Це означає, що людина змінює свою думку буквально протилежне. Розглянемо з прикладу кола: нехай людина стоїть у точці А. Йому потрібно пройти коло рівно 180 \(\circ\) .

Оскільки людині потрібно пройти півколо, вона обмежується діаметром. Добудуємо діаметр АВ, тоді наша людина опиниться в точці, тобто на протилежному боці кола.

А якщо він двічі пройде півколо, то знову опиниться в точці А, тобто пройде дугу 2 * 180 = 360 градусів.

Тому якщо людина перебуватиме в точці О і захоче повернутися на 180 градусів, то замість точки А вона дивитиметься на точку В. При повороті на 360 градусів людина знову дивитися на точку А.

Кути в колі

Центральний кут – це кут, вершина якого лежить у центрі кола. При цьому кут спирається на дугу кола.

На малюнку кут АОВ буде центральним.

Властивість центрального кута:

Наприклад, дуга АВ дорівнює 36 \(\circ\) , Тоді кут АОВ також дорівнює 36 \(\circ\) .

Вписаний кут - Це кут, вершина якого лежить на колі. Вписаний кут також має спиратися на дугу кола.

На малюнку кут АСВ – вписаний.

Властивості вписаного кута кола:

Наприклад, дуга АВ дорівнює 50 \(\circ\) тоді кут АСВ дорівнює 25 \(\circ\) .

Нехай кути АСВ, АЕВ та АКВ спираються на душу АВ. Тоді ці кути будуть рівними між собою.

Пригадаємо, що діаметр ділить коло на два півкола, градусні заходи яких дорівнюють 180 \(\circ\) . Тоді вписаний кут дорівнюватиме 180 \(\circ\) : 2 = 90 \(\circ\) .

Також важливо зауважити, що вписаний кут дорівнює половині центрального кута. При цьому ці кути обов'язково повинні спиратися на одну дугу.

Це легко довести, якщо згадати, що:

• центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається,
• вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.

Отже, \(ABC = \frac∠AOB\).

Терміни

Вертикальні кути – це кути, вершиною яких є та сама точка, сторони одного такого кута є продовження сторін іншого такого кута.

Фактчек

• Окружність - Це замкнута крива, всі точки якої рівновіддалені від центру. Елементами кола є радіус, діаметр, хорда, дуга.
• Коло – це геометрична фігура, яка обмежена коло. Крім радіусу, діаметра та хорди, у колі може зустрітися сегмент та сектор.
• Уся дуга кола має величину 360 градусів. Тоді половина дуги дорівнюватиме 180 градусам.
• В колі зустрічаються центральні та вписані кути.При цьому вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається, а центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається. Як наслідок, якщо центральний та вписаний кути спираються на одну дугу, то центральний кут дорівнює двом вписаним кутам.

Перевір себе

Завдання 1.
Що таке коло?

1. Замкнена крива, всі точки якої рівновіддалені від центру;
2. Геометрична фігура, яка обмежена замкненою кривою, всі точки якої рівновіддалені від центру;
3. Геометрична фігура, що має круглу форму;
4. Частина площини, обмежена замкненою кривою, всі точки якої рівновіддалені від центру.

Завдання 2.
Що таке діаметр кола?

1. Це відрізок, що з'єднує центр кола та будь-яку точку на колі;
2. Це відрізок, що з'єднує дві довільні точки на колі;
3. Це відрізок, що з'єднує дві точки на колі та проведений через центр кола;
4. Це половина дуги кола.

Завдання 3.
За якою формулою можна знайти довжину кола?

Завдання 4.
На колі виділили дугу 60 градусів. Яку частину від кола займає ця дуга?

Завдання 5.
Вписаний кут дорівнює 50 градусів. Чому дорівнює центральний кут, що спирається на ту саму дугу?

Відповіді: 1. - 1 2. – 3 3. – 2 4. – 3 5. – 3