Площі подібних трикутників

Подібні трикутники це наступний крок у вивченні трикутників після рівності. Потрібно повною мірою розуміти можливості подібності трикутників, щоб правильно використовувати усі властивості у вирішенні завдань. Розберемося у відмінностях рівності, подоби та рівновеличі, а також поговоримо про властивості сторін та визначення площ подібних трикутників.

Подібні трикутники

Подібними трикутниками називають трикутники, відповідні сторони яких пропорційні, а кути дорівнюють. Рівні трикутники також подібні з коефіцієнтом подібності рівним 1.

Мал. 1. Подібні трикутники

Коефіцієнт пропорційності (подібності) – це відношення довжин сторін одного трикутника до відповідних довжин сторін другого трикутника. Важливо при підрахунку коефіцієнта суворо дотримуватись яка сторона до якої належить.

Наприклад, якщо ви почали розрахунок поділом сторін більшого трикутника на сторони меншого, варто дотримуватися такого підходу і далі.

Ознаки подоби

Ознаки подоби чимось схожі на ознаки рівності трикутників. Усього їх тр:

• По двох кутах. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
• По трьох сторонах. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам іншого трикутника, такі трикутники подібні.
• По обидва боки і кут між ними. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути, укладені між цими сторонами рівні, такі трикутники подібні.

Властивості таких трикутників

• Сторони подібних трикутників пропорційні і ставляться одна до одної щодо рівному коефіцієнту подібності.
• Кути таких трикутників рівні.
• Площі подібних трикутників відносяться один до одного щодо рівного квадрату коефіцієнта подібності.

Зупинимося докладніше на останній властивості. Чому всі сторони співвідносяться як коефіцієнт у першому ступені, а площі в квадраті? Тому що площа – це половина твору основи на висоту.

Пропорційні одна одній не лише сторони, а й характерні відрізки: медіани, висоти, бісектриси.

Виходить, що обидві частини твору площі пропорційні, але у творі беруть участь як висота, так і основа. Значить коефіцієнт пропорційності має бути зведений у квадрат.

Потрібно чітко розрізняти поняття подібних та рівновеликих трикутників. Подібні трикутники мають коефіцієнт подібності, відповідно до якого співвідносяться сторони трикутника. А рівновеликі трикутники можуть, як завгодно різниться за значеннями сторін, важливо лише, щоб площі трикутників дорівнювали.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке подібні трикутники, поговорили про їхні властивості. Поговорили про відношення площ подібних трикутників і вивели це ставлення практично для кращого запам'ятовування формули.