ax 2 + bx + c > 0.

Такі нерівності краще вирішувати, використовуючи геометричну ілюстрацію. Розглянемо окремо два випадки:

а > 0 та а < 0.

Це означає, що в даному випадку нерівність ax 2 + bx + c > 0 виконується за будь-яких значень х.

Якщо D = b 2 - 4ac > 0, то парабола y = ax 2 + bx + c перетинає вісь х у двох точках (рис.) з абсцисами:

Тому ax 2 + bx + c > 0 при х < x₁ а також при х > x₂.

Зрештою, якщо D = b 2 - 4ac = 0, то тричлен ax 2 + bx + c має один корінь
х = - b /_2a і, отже, представимо у вигляді а ( х + b /_2a ) 2

У цьому випадку парабола у = ax 2 + bx + c стосується осі х у точці з абсцисою - b /_2a (Рис.).

Тому ax 2 + bx + c > 0 при всіх значеннях хкрім х = - b /_2a

Тому нерівність ax 2 + bx + c > 0 не виконується за жодних значень х.

Якщо D = b 2 - 4ac > 0, то парабола у = ax 2 + bx + c перетинає вісь х у двох точках з абсцисами

У цьому випадку ax 2 + bx + c > 0 при тих значеннях х, які розташовані між корінням рівняння ax 2 + bx + c = 0, тобто при

Зрештою, якщо D= b 2 - 4ac = 0, то парабола у = ax 2 + bx + c стосується осі х у точці з абсцисою х = - b /_2a (Рис.).

У цьому випадку нерівність ax 2 + bx + c > 0 не виконується за жодних значень х.

Зауваження 1.Із розглянутого випливає, що якщо дискримінант квадратного тричлена ax 2 + bx + c позитивний, цей тричлен приймає як позитивні, і негативні значення.Якщо ж дискримінант негативний, то всі значення квадратного тричлена мають один і той же знак, а саме знак коефіцієнта при x 2 .

Примітка 2. При розв'язанні нерівності ax 2 + bx + c > 0 немає необхідності точно будувати параболу у = ax 2 + bx + c (наприклад, зовсім не потрібно шукати вершину параболи, точку перетину з віссю у і т. д.). Достатньо лише грубо уявити собі цю криву. Єдине, що потрібно зробити абсолютно точно, - це знайти коріння рівняння ax 2 + bx + c = 0 (при D > 0).

Приклади розв'язання квадратних нерівностей

приклад 1. Розв'язати нерівність 2x 2 + 4x - 6 > 0.

Квадратний тричлен 2x 2 + 4x - 6 має два дійсні корені x₁ = -3, x₂ =1. Тому парабола у = 2x 2 + 4x - 6 перетинає вісь х у двох точках, абсциси яких рівні -3 і 1. Оскільки коефіцієнт при x 2 більше за нуль, парабола у = 2x 2 + 4x - 6 спрямована нагору (рис.).

З малюнка видно, що тричлен 2x 2 + 4x - 6 позитивний при х < - 3 і при х >1.

приклад 2. Розв'язати нерівність

- x 2 + x - 1 > 0.

Дискримінант квадратного тричлена - x 2 + x - 1 негативний: D = -3. Тому за всіх х значення функції у = - x 2 + x - 1 мають один і той же знак, а саме знак коефіцієнта при x 2, тобто мінус. Отже, нерівність - x 2 + x - 1 > 0 не виконується за жодних значень х.

приклад 3. З'ясувати, за яких значень х дріб

позитивна і за яких - негативна.

Спочатку зазначеним вище способом визначимо знаки чисельника та знаменника даного дробу, а потім порівняємо їх.

Чисельник x 2 + 2x 2 - 3 позитивний при х < -3 і при х > 1, а негативний при
-3 < х <1 (рис., верхня числова вісь).

Вирішити нерівність графічно: 2x - 3y > 6.
Рішення: Переносимо змінні з різних боків нерівності.3У2X. Докладніше »

Розв'яжіть нерівність за допомогою методу інтервалів А) (х+8)(х-4)> 0 Б) х-5 -----.
Рішення: $$ (x+8)(x-4)>0 $$----------()----------()-------> -8 4Підставимо 0 в нерівність (оскільки він лежить між -8 і 4).Отримуємо від'ємне число, а значить, нами підходить два інтервали: (-∞;-4)U(8;+∞)$$ \frac -7. Докладніше »

розв'яжіть нерівність , використовуючи метод інтервалів (х+8)(х-4)>0.
Рішення: (х+8)(х-4)>0 (х+8)>0 (х-4)>0 X>-8 x>4Вичерчуємо дві прямі і виділяємо проміжки:x>-8 , x>4Відповідь:(4 ;плюс ∞) Розкриваємо дужки x2-4x+8x-32>0x2+4x-32>0y=0 y=x2+4x-32x2+4x-32=0D=144 1x= -4+12:2=4 2x= -4-12:2=-4 Будуємо графік функції x і відзначаємо точки (-4:4) Знаходимо інтервали для x і отримуємо відповідь x належить від (-∞:-4) та (4:∞). Докладніше »

Нерівність із модулем: $$ 3|x+3|+|x-10|-35 > 0 $$.
Рішення: Спростимо нашу нерівність, зручно зробити заміну $$ x+3=t $$ , отримуємо $$ 3|t|+|t-13|-35>0 $$ , її легше вирішити $$ t \geq 0 \ t \ geq 13 $$ Вирішуємо на інтервалі $$ (-oo;0) $$ $$ -3t+13-t-35[tex]x+38 (-\infty;-8.5) \cup (8;+\ infty) $$>0 \-4t-22>0 \-4t>22 t0 t11 t (11;13) $$На. Докладніше »