Функція косинуса

У прямокутному трикутнику ABC синус α, sin (α) визначається як відношення між стороною, що примикає до кута α, і стороною, протилежною прямому куту (гіпотенуза):

приклад

Графік косинуса

Правила косинуса

Функція зворотного косинуса

Арккосинус х визначаються як зворотна функція синусоїдальна X При -1≤x≤1.

Коли косинус y дорівнює x:

Тоді арккосинус x дорівнює функції зворотного косинуса x, яка дорівнює y:

arccos x = cos -1 x = y

приклад

arccos 1 = cos -1 1 = 0 рад = 0 °

Знаки тригонометричних функцій

Знак тригонометричної функції залежить виключно від координатної чверті, в якій розташовується числовий аргумент. Минулого разу ми вчилися переводити аргументи з радіанної міри в градусну (див. урок «Радіанна і градусна міра кута»), а потім визначати цю координатну чверть. Тепер займемося, власне, визначенням символу синуса, косинуса та тангенсу.

кута α — це ордината (координата y) точки на тригонометричному колі, що виникає при повороті радіуса на кут α.

кута α — це абсциса (координата x) точки на тригонометричному колі, що виникає при повороті радіуса на кут α.

кута α — це відношення синуса до косинусу.

Позначення: sin α = y;

Всі ці визначення знайомі вам з курсу алгебри старших класів.

Синім кольором позначено позитивний напрямок осі OY (вісь ординат), червоним - позитивний напрямок осі OX (вісь абсцис) На цьому «радарі» знаки тригонометричних функцій стають очевидними.

1. sin α > 0, якщо кут α лежить у I або II координатній чверті.
2. cos α > 0, якщо кут α лежить у I або IV координатній чверті Тому що тільки там координата x (вона ж абсциса) буде більшою за нуль;
3. tg α > 0, якщо кут α лежить у I чи III координатної чверті. x > 0, y > 0) та III координатної чверті ( x < 0, y < 0).

Для наочності відзначимо знаки кожної тригонометричної функції – синуса, косинуса та тангенсу – на окремих «радарах».

Зауважте: у своїх міркуваннях я жодного разу не говорив про четверту тригонометричну функцію — котангенс.

Тепер пропоную розглянути приклади, схожі на завдання B11 із пробного ЄДІ з математики, який проходив 27 вересня 2011 року. Адже найкращий спосіб зрозуміти теорію — це практика.Бажано багато практики. Зрозуміло, умови завдань було трохи змінено.

1. sin (3π/4);
2. cos (7?/6);
3. tg (5?/3);
4. sin (3π/4) · cos (5π/6);
5. cos (2π/3) · tg (π/4);
6. sin (5π/6) · cos (7π/4);
7. tg (3π/4) · cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) · tg (π/6).

План дій такий: спочатку переводимо всі кути з радіанної міри в градусну (π → 180 °), а потім дивимося в якій чверті координатної лежить отримане число. Знаючи чверті, ми легко знайдемо знаки - за щойно описаними правилами. Маємо:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180 ° / 4) = sin 135 °. Оскільки 135 ° ∈ [90 °; 180°], це кут із II координатної чверті. Але синус у II чверті позитивний, тому sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180 ° / 6) = cos 210 °. Т.к. 210 ° ∈ [180 °; 270°], це кут III координатної чверті, в якій всі косинуси негативні. Отже cos (7π/6) < 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180 ° / 3) = tg 300 °. Оскільки 300 ° ∈ [270 °; 360°], ми знаходимося в IV чверті, де тангенс набуває негативних значень. Тому tg (5π/3) <0;
4. sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 6) = sin 135 ° · cos 150 °. Розберемося із синусом: т.к. 135 ° ∈ [90 °; 180°], це II чверть, де синуси позитивні, тобто. sin (3π/4) > 0. Тепер працюємо з косінусом: 150° ∈ [90°; 180 °] - знову II чверть, косинуси там негативні. Тому cos (5π/6) < 0. Нарешті, дотримуючись правила «плюс мінус дає знак мінус», отримуємо: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 4) = cos 120 ° · tg 45 °. Дивимося на косинус: 120 ° ∈ [90 °; 180°] — це II координатна чверть, тому cos (2π/3) < 0. Дивимося на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] - це I чверть (найпростіший кут у тригонометрії). Тангенс там позитивний, тому tg (π/4) >0. Знову отримали твір, у якому множники різних знаків. Оскільки "мінус на плюс дає мінус", маємо: cos(2π/3) · tg(π/4) <0;
6. sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180 ° / 6) · cos (7 · 180 ° / 4) = sin 150 ° · cos 315 °.Працюємо із синусом: оскільки 150° ∈ [90°; 180°], йдеться про II координатну чверть, де синуси позитивні. Отже, sin (5π/6) > 0. Аналогічно, 315 ° ∈ [270 °; 360 °] - це IV координатна чверть, косинуси там позитивні. Тому cos (7π/4) > 0. Отримали добуток двох позитивних чисел – такий вираз завжди позитивний. Укладаємо: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 3) = tg 135 ° · cos 300 °. Але кут 135 ° ∈ [90 °; 180 °] - це II чверть, тобто. tg (3π/4) < 0. Аналогічно, кут 300 ° ∈ [270 °; 360 °] - це IV чверть, тобто. cos (5π/3) >0. Оскільки «мінус плюс дає знак мінус», маємо: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
8. ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 6) = ctg 240 ° · tg 30 °. Дивимося на аргумент котангенсу: 240 ° ∈ [180 °; 270°] - це III координатна чверть, тому ctg (4π/3) > 0. Аналогічно, для тангенсу маємо: 30° ∈ [0; 90 °] - це I координатна чверть, тобто. найпростіший кут. Тому tg (π/6) > 0. Знову отримали два позитивні вирази — їхній твір теж буде позитивним. Тому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

На закінчення розглянемо кілька складніших завдань. Крім з'ясування знака тригонометричної функції, тут доведеться трохи порахувати саме так, як це робиться в справжніх завданнях B11. У принципі це майже справжні завдання, які дійсно зустрічаються в ЄДІ з математики.

Завдання. Знайдіть sin α, якщо sin 2 α = 0,64 і α ∈ [π/2; π].

Оскільки sin 2 α = 0,64 маємо: sin α = ±0,8. Залишилося вирішити: плюс чи мінус? За умовою, кут α ∈ [π/2; π] - це II координатна чверть, де всі синуси позитивні. Отже, sin α = 0,8 – невизначеність зі знаками усунена.

Завдання. Знайдіть cos α, якщо cos 2 α = 0,04 та α ∈ [π; 3π/2].

Діємо аналогічно, тобто. витягуємо квадратний корінь: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. За умовою, кут α ∈ [π; 3π/2], тобто.мова йде про ІІІ координатну чверть. Там усі косинуси негативні, тому cos α = −0,2.

Завдання. Знайдіть sin α, якщо sin 2 α = 0,25 та α ∈ [3π/2; 2π].

Маємо: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Знову дивимось на кут: α ∈ [3π/2; 2π] — IV координатна чверть, у якій, як відомо, синус буде негативним. Таким чином укладаємо: sin α = −0,5.

Завдання. Знайдіть tg α, якщо tg 2 α = 9 і α ∈ [0; π/2].

Все те саме, тільки для тангенсу. Виймаємо квадратний корінь: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Але за умовою кут α ∈ [0; π/2] - це I координатна чверть. Усі тригонометричні функції, в т.ч. тангенс, там позитивні, тож tg α = 3. Все!

• ЄДІ-2025
• Частина 1
• 1. Рівняння
• 2. Можливість
• 3. Планіметрія
• 4. Тригонометрія
• 5. Стереометрія
• 6. Похідні
• 7. Формули
• 8. Текстові завдання
• 11. Екстремуми функцій
• Частина 2
• 12. Тригонометричні рівняння
• 13. Складна стереометрія
• 14. Складні нерівності
• 15. Економічні завдання
• 16. Складна планіметрія
• 17. Завдання з параметром
• 18. Теорія чисел
• Архів
• X1. Рух та час
• X2. Графіки
• X3. Площі
• X4. Стереометрія
• X5. Економіка
• Про іспит
• Поради
• 2014
• 2015
• 2016
• 2017
• 2018
• 2019
• Школярам
• Студентам
• Реклама
• Про мене

• © 2010—2024 ІП Бердов Павло Миколайович
  ІПН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При використанні матеріалів посилання на сайт обов'язкове
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; пошта: [email protected]
• Карта сайту