Відносна похибка

Похибка вимірювання - Оцінка відхилення величини виміряного значення величини від її істинного значення. Похибка виміру є характеристикою (мірою) точності виміру.

Оскільки з'ясувати з абсолютною точністю справжнє значення будь-якої величини неможливо, неможливо і вказати величину відхилення виміряного значення від істинного. (Це відхилення прийнято називати помилкою виміру. У ряді джерел, наприклад, у БСЕ, терміни помилка виміру і похибка виміру використовуються як синоніми.) Можна лише оцінити величину цього відхилення, наприклад, за допомогою статистичних методів. При цьому за справжнє значення набуває середньостатистичного значення, отриманого при статистичній обробці результатів серії вимірювань. Це отримане значення перестав бути точним, лише найімовірнішим. Тому у вимірах необхідно вказувати, яка їхня точність. Для цього разом із отриманим результатом вказується похибка вимірів. Наприклад, запис T=2.8±0.1 c. означає, що дійсне значення величини T лежить в інтервалі від 2.7 с. до 2.9 с. деякою обумовленою ймовірністю (див. довірчий інтервал, довірча ймовірність, стандартна помилка).

У 2006 році на міжнародному рівні було прийнято новий документ, що диктує умови проведення вимірювань та встановив нові правила звірення державних еталонів. Поняття «похибка» почало старіти, натомість було запроваджено поняття «невизначеність вимірів».

Визначення похибки

Залежно від характеристик вимірюваної величини визначення похибки вимірювань використовують різні методи.

• Метод Корнфельда, полягає у виборі довірчого інтервалу в межах від мінімального до максимального результату вимірювання, і похибка як половина різниці між максимальним і мінімальним результатом вимірювання:

• Середня квадратична похибка:

• Середня квадратична похибка середнього арифметичного:

Класифікація похибок

За формою подання

• Абсолютна похибка - ΔX є оцінкою абсолютної помилки виміру. Розмір цієї похибки залежить від способу її обчислення, який, своєю чергою, визначається розподілом випадкової величини X_meas . При цьому рівність:

ΔX = | X_true − X_meas | ,

де X_true - Справжнє значення, а X_meas — виміряне значення має виконуватися з деякою ймовірністю близькою до 1. Якщо випадкова величина X_meas розподілена за нормальним законом, то, як правило, за абсолютну похибку приймають її середньоквадратичне відхилення. Абсолютна похибка вимірюється у тих самих одиницях виміру, як і сама величина.

• Відносна похибка - Відношення абсолютної похибки до того значення, яке приймається за істинне:

Відносна похибка є безрозмірною величиною або вимірюється у відсотках.

• Наведена похибка - відносна похибка, виражена ставленням абсолютної похибки засобу вимірювань до умовно прийнятого значення величини, постійному у всьому діапазоні вимірювань або в частині діапазону. Обчислюється за формулою

де X_n - нормуюче значення, яке залежить від типу шкали вимірювального приладу та визначається за його градуюванням:

- Якщо шкала приладу одностороння, тобто. нижня межа вимірювань дорівнює нулю, то X_n визначається рівною верхній межі вимірювань;
- якщо шкала приладу двостороння, то нормуюче значення дорівнює ширині діапазону вимірювання приладу.

Наведена похибка – безрозмірна величина (може вимірюватися у відсотках).

Через виникнення

• Інструментальні/приладові похибки - похибки, які визначаються похибками засобів вимірювань, що застосовуються, і викликаються недосконалістю принципу дії, неточністю градуювання шкали, ненаглядністю приладу.
• Методичні похибки - похибки, зумовлені недосконалістю методу, і навіть спрощеннями, покладеними основою методики.
• Суб'єктивні / операторні / особисті похибки - Похибки, зумовлені ступенем уважності, зосередженості, підготовленості та іншими якостями оператора.

У техніці застосовують прилади для вимірювання лише з певною заздалегідь заданою точністю – основною похибкою, яка допускається нормалі в нормальних умовах експлуатації для даного приладу.

Якщо прилад працює в умовах, відмінних від нормальних, виникає додаткова похибка, що збільшує загальну похибку приладу. До додаткових похибок відносяться: температурна, викликана відхиленням температури навколишнього середовища від нормальної, настановна, обумовлена ​​відхиленням положення приладу від нормального робочого положення тощо. За нормальну температуру навколишнього повітря приймають 20°С, нормальний атмосферний тиск 01,325 кПа.

Узагальненою характеристикою засобів вимірювання є клас точності, що визначається граничними значеннями основної і додаткової похибок, що допускаються, а також іншими параметрами, що впливають на точність засобів вимірювання; значення параметрів встановлено стандартами окремі види засобів вимірів. Клас точності засобів вимірювань характеризує їх точнісні властивості, але не є безпосереднім показником точності вимірювань, що виконуються за допомогою цих засобів, оскільки точність залежить також від методу вимірювання та умов їх виконання. Вимірювальним приладам, межі основної похибки яких задані у вигляді наведених основних (відносних) похибок, присвоюють класи точності, що вибираються з ряду наступних чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ; 5,0; 6,0) * 10n, де n = 1; 0; -1; -2 і т.д.

За характером прояву

• Випадкова похибка - Похибка, що змінюється (за величиною і по знаку) від виміру до виміру. Випадкові похибки можуть бути пов'язані з недосконалістю приладів (тертя в механічних приладах тощо), трясінням у міських умовах, з недосконалістю об'єкта вимірювань (наприклад, при вимірюванні діаметра тонкого дроту, який може мати не зовсім круглий переріз внаслідок недосконалості процесу виготовлення) ), з особливостями самої вимірюваної величини (наприклад при вимірюванні кількості елементарних частинок, що проходять в хвилину через лічильник Гейгера).
• Систематична похибка - Похибка, що змінюється в часі за певним законом (приватним випадком є ​​постійна похибка, що не змінюється з часом). Систематичні похибки можуть бути пов'язані з помилками приладів (неправильна шкала, калібрування тощо), неврахованими експериментатором.
• Прогресуюча (дрейфова) похибка - Непередбачувана похибка, що повільно змінюється в часі. Вона є нестаціонарним випадковим процесом.
• Груба похибка (промах) - Похибка, що виникла внаслідок недогляду експериментатора або несправності апаратури (наприклад, якщо експериментатор неправильно прочитав номер поділу на шкалі приладу, якщо сталося замикання в електричному ланцюзі).

За способом вимірювання

• Похибка прямих вимірів
• Похибка непрямих вимірів - Похибка обчислюваної (не вимірюваної безпосередньо) величини:

Якщо F = F(x₁,x₂. x_n), де x_i — незалежні величини, що безпосередньо вимірюються, мають похибку Δx_i тоді:

також

• Вимірювання фізичних величин
• Клас точності
• Метрологія
• Система автоматизованого збору даних із лічильників по радіоканалу
• Методи електроаналітичної хімії

Література

• Назаров Н. Г. Метрологія. Основні поняття та математичні моделі. М: Вища школа, 2002. 348 с.

• Лабораторні заняття з фізики. Навчальний посібник/Гольдін Л. Л., Ігошин Ф. Ф., Козел С. М. та ін; за ред. Гольдіна Л. Л. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1983. - 704 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Відносна та абсолютна похибка: поняття, розрахунок та властивості

У наш час людина придумала і використовує безліч різноманітних вимірювальних приладів. Але якою б досконалою не була технологія їх виготовлення, усі вони мають більшу чи меншу похибку. Цей параметр, як правило, вказується на самому інструменті, і для оцінки точності величини, що визначається, потрібно вміти розбиратися в тому, що означають зазначені на маркуванні цифри.Крім того, відносна та абсолютна похибка неминуче виникає при складних математичних розрахунках. Вона широко застосовується у статистиці, промисловості (контроль якості) та у ряді інших областей. Як розраховується ця величина і як трактувати її значення – про це якраз і йтиметься у цій статті.

Позначимо через х наближене значення будь-якої величини, отримане, наприклад, у вигляді одноразового виміру, а ще через х₀ - Її точне значення. Тепер обчислимо модуль різниці між цими двома числами. Абсолютна похибка – це якраз і є те значення, що вийшло у нас внаслідок цієї нехитрої операції. Висловлюючись мовою формул, це визначення можна записати у такому вигляді: Δ x = | x - x 0 |.

Абсолютне відхилення має один важливий недолік - воно не дозволяє оцінити ступінь важливості помилки. Наприклад, купуємо ми на ринку 5 кг картоплі, а недобросовісний продавець при вимірі ваги помилився на 50 грам на свою користь. Тобто абсолютна похибка становила 50 грам. Для нас така помилка буде справжньою дрібницею і ми навіть не звернемо на неї уваги. А уявіть собі, що станеться, якщо при приготуванні ліків станеться така помилка? Тут уже все буде набагато серйозніше. А при завантаженні товарного вагона, напевно, виникають відхилення набагато більше цього значення. Тому сама собою абсолютна похибка малоінформативна. Крім неї дуже часто додатково розраховують відносне відхилення, що дорівнює відношенню абсолютної похибки до точного значення числа. Це записується наступною формулою: δ = Δ x / x₀.

Припустимо, ми маємо дві незалежні величини: х і у. Нам потрібно розрахувати відхилення наближеного значення їхньої суми.У цьому випадку ми можемо розрахувати абсолютну похибку як суму попередньо розрахованих абсолютних відхилень кожної з них. У деяких вимірах може статися так, що помилки у визначенні значень x та y будуть компенсувати один одного. А може статися й таке, що в результаті відхилення максимально посиляться. Тому коли розраховується сумарна абсолютна похибка, слід враховувати найгірший з усіх варіантів. Те саме справедливо і для різниці помилок кількох величин. Ця властивість характерна лише для абсолютної похибки, і щодо відхилення його застосовувати не можна, оскільки це неминуче призведе до невірного результату. Розглянемо цю ситуацію на такому прикладі.

Припустимо, вимірювання всередині циліндра показали, що внутрішній радіус (R₁) дорівнює 97 мм, а зовнішній (R₂) - 100 мм. Потрібно визначити товщину стінки. Спочатку знайдемо різницю: h = R₂ - R₁ = 3 мм. Якщо задачі не вказується чому дорівнює абсолютна похибка, її приймають за половину розподілу шкали вимірювального приладу. Таким чином, Δ(R₂) = Δ(R₁) = 0,5 мм. Сумарна абсолютна похибка дорівнює: Δ(h) = Δ(R₂) +Δ(R₁) = 1 мм. Тепер розрахуємо щодо відхилення всіх величин:

Як бачимо, похибка вимірювання обох радіусів не перевищує 5,2%, а помилка при розрахунку їх різниці - товщини стінки циліндра - становила цілих 33, (3)%!

Наступна властивість свідчить: відносне відхилення твору декількох числа приблизно дорівнює сумі відносних відхилень окремих співмножників:

Причому це правило справедливо незалежно від кількості оцінюваних величин. Третє і останнє властивість відносної похибки у тому, що відносна оцінка числа k-го ступеня приблизно | k | разів перевищує відносну похибку вихідного числа: