Зворотня пропорційність

Зворотна пропорційність займає значно більше часу щодо, ніж пряма. Тому учням варто бути готовими до того, що зворотна пропорційність вимагатиме часу та зусиль для вирішення завдань. Головне — пам'ятати основні визначення та бути уважним під час вирішення завдань.

Пропорційність.

Пропорційністю називається залежність одного числа від іншого. Наприклад, якщо в гаманці у людини певна кількість грошей, а вона купує цукерки, то зі збільшенням ціни на цукерки зменшиться кількість цукерок, які людина зможе купити.

Можна виділити два різновиди пропорційності:

• Пряма пропорційність. Це залежність, коли він збільшення одного числа веде до збільшення іншого в стільки ж разів. А зменшення одного числа веде до зменшення іншого в стільки ж разів.
• Назад пропорційність. Це залежність, коли він зменшення одного числа веде до збільшення іншого в стільки ж разів. А збільшення числа, навпаки, веде до зменшення іншого в стільки ж разів.

Кілька разів у визначенні повторювалася фраза «у стільки ж разів». Бувають ситуації, особливо у фізиці, коли величини пропорційні, але мають яскраво вираженого коефіцієнта пропорційності. Наприклад, температура веде до збільшення внутрішньої енергії тіла, але не прямо пропорційно. У таких ситуаціях кажуть, що цифри пропорційні.

Назад пропорційність.

І пряму, і зворотну пропорційність простіше розглядати завдання руху. Уявімо собі автомобіль, який їде зі швидкістю 90 км/год. Якщо приймемо відстань між двома містами за 180 км, то такий шлях машина має проїхати за 2 години. Поки що все зрозуміло.

Але що буде, якщо водій поспішить та збільшить швидкість до 180 км/год? Необхідний відрізок шляху він проїде швидше. Тобто на ту саму відстань водій витратить не 2 години, а 1 — збільшення швидкості призвело до зменшення часу в дорозі.

А що буде, якщо водій зменшить швидкість вдвічі, зі 120 км/год до 60 км/год? Значить, час у дорозі теж збільшиться вдвічі і становитиме не дві години, а чотири. Так зменшення швидкості призвело до збільшення часу в дорозі.

Графік обернено пропорційної залежності

Для будь-якої залежності можна побудувати графік функції.

Що таке функція? Це залежність двох чисел. Одне, зазвичай, у, називається функцією і від х, тобто аргументу.

Якщо уявити зворотну пропорційність у вигляді формули, це виглядатиме так:

у=к:х, де у – залежне число чи функція

х – незалежне число чи аргумент

до - постійна величина, яка називається коефіцієнтом зворотної пропорційності.

До речі, для наведеного прикладу коефіцієнтом зворотної пропорційності є величина шляху між двома містами, яку ми зробили постійною. Якби величина пройденого шляху була плаваючою, зворотної пропорційності не вийшло б.

приклад

Як приклад перевіримо, наскільки правильно працює наведена формула і чи дійсно вона відображає зворотну пропорцію. Виберемо коефіцієнт пропорційності, наприклад, число 3. Тоді функція набуде вигляду:

у = 3: х. Як перший значення х виберемо число 6, тоді у = 0,5. Якщо ми зменшимо число х у 2 рази, то вийде число 3 якому відповідає у=1. Тобто в результаті зменшення х у два рази у два рази збільшився, що повністю відповідає визначенню зворотної пропорційності.Для побудови графіка потрібно кілька точок, тому, якщо за умов завдання потрібні побудови, краще записувати всі значення таблицю.

Особливо відзначимо, що коефіцієнт пропорційності не може дорівнювати нулю або бути негативним числом. А аргумент не може дорівнювати нулю, але негативним числом може бути.

Що ми дізналися?

Ми поговорили, що таке пропорційність. Розділили визначення зворотної пропорційності та прямої пропорційності. Навели приклад зворотної пропорційної залежності та записали формулу зворотної пропорційності.

Пряма та зворотна пропорційність

Пряма та зворотна пропорційність – це одна з основ математики та геометрії 6 класу. Причому це та основа, знання якої стануть у нагоді не тільки при вирішенні завдань, але і в реальному житті: пропорційні один одному бувають фізичні величини, заробітні плати і цукерки, куплені в магазині.

Що таке пропорція?

Пропорція – це взаємозв'язок двох величин. Тобто, якщо змінюється одна величина, змінюється інша. Якщо одна величина пропорційна іншій, а друга пропорційна третій, то всі ці величини пов'язані між собою. Поділяють пряму та зворотну пропорцію. Дамо їм визначення та наведемо наочні приклади.

Пряма пропорція

Пряма пропорція – це взаємини величин, у якому, збільшуючи одну величину, ми автоматично збільшимо іншу. Найпростіший приклад це булочки в магазині та ціна на них. Булочка у будь-якому випадку коштує 30 руб. Купуючи одну штуку, ми платимо 30 руб.

Якщо збільшимо розмір покупки, то пропорційно зросте і вартість. Вона не може не зрости, адже булочник не віддаватиме свій товар просто так. За 2 булочки ми заплатимо 60 рублів, за 3 – 90 і таке інше.

Якщо встановлювати залежність між кількістю булочок та ціною на них, то вийде таке відношення:

Ціна булочок/кількість = 30/1 = 60/2 і так далі. Зауважимо, що це ставлення дорівнює одному й тому числі. У цьому прикладі це число 30. Воно буде постійним для будь-якого варіанта цієї пропорції. Саме в цьому прикладі це число є одночасно і ціною однієї булочки.

Іншими словами, для наведеного прикладу пропорційність можна пояснити так: хоч би скільки булочок ми купили, все одно ціна однієї буде 30 рублів. Ось і все. У межах математики кажуть, що й коефіцієнт пропорційності не змінюється, то числа пропорційні.

Для того, щоб зрозуміти, чи змінюється коефіцієнт, потрібно просто поділити один на одного числа цієї пропорції і порівняти результат. Тобто взяти спочатку відношення ціни однієї булочки до її кількості, а потім ціни 30 булочок до їхньої кількості. Коефіцієнт збереже своє значення, отже, ці числа прямопропорційні.

Зворотня пропорція

Існує також поняття зворотної пропорції. Часто буває так, що одна величина залежить від іншої, але не прямопропорційна. Порівняємо дві взаємопов'язані між собою величини. Наприклад, мотоцикліст залив у бак бензин. Що менше бензину залишається у баку мотоцикліста, то більше проїхав водій. Тут є зворотна залежність кількості бензину і пройденої відстані.

Як легко запам'ятати?

Є 4 прості схеми запам'ятовування теми, дві для кожного виду пропорційності.

Для прямої пропорції завжди працює схема: «більше-більше» або «менше-менше». Тобто при збільшенні однієї величини збільшиться і інша, або при зменшенні однієї величини зменшиться інша.

Відповідно, для зворотної пропорційності навпаки: «більше-менше» або «менше-більше». Тобто чим більше одна величина, тим менша інша і навпаки.

Що ми дізналися?

Ми навели пояснення прямої та зворотної пропорційності. Вивели прості схеми для запам'ятовування теми та обговорили зрозумілі приклади.